2023-2024学年下学期四川省自贡第二十八中学八年级入学数学试卷

这是一份2023-2024学年下学期四川省自贡第二十八中学八年级入学数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面四幅图分别是由体育运动长鼓舞、武术、举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 5，6，12B. 4，4，8C. 2，3，4D. 2，3，5
3.细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染，支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在，数据300nm用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列分式变形从左到右一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.如图，OP平分，于点C，点D在OB上，若，，则的面积为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
6.如图，在中，，，于E，，，则BE的长是( )
A. 2cm
B.
C. 1 cm
D. 3 cm
7.已知，则代数式的值为( )
A. 3B. C. 2D.
8.如图，已知和都是等腰三角形，，BD，CE交于点F，连接下列结论：①；②；③AF平分；④，正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式______.
10.计算：______.
11.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是__________.
12.已知实数a、b、c满足；则______.
13.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为_________.
14.如图，AE是的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点若，，则______
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解方程
四、解答题：本题共9小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题5分
计算：
17.本小题5分
先化简再求值，其中a是方程的根.
18.本小题5分
如图，在中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且，若
求证：是等边三角形；
请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由.
19.本小题6分
如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为
画出，并写出点的坐标；
求出的面积；
在y轴上找出一点P，使周长值最小不写画法，但需保留作图痕迹
20.本小题6分
阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
分解因式：；
求多项式的最小值；
已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
21.本小题6分
某开发商要建一批住房，经调查了解，若甲、乙两队分别单独完成，则乙队完成的天数是甲队的倍；若甲、乙两队合作，则需120天完成．
甲、乙两队单独完成各需多少天？
施工过程中，开发商派两名工程师全程监督，需支付每人每天食宿费150元．已知乙队单独施工，开发商每天需支付施工费为10 000元．现从甲、乙两队中选一队单独施工，若要使开发商选甲队支付的总费用不超过选乙队的，则甲队每天的施工费最多为多少元？总费用=施工费+工程师食宿费．
22.本小题6分
已知、都是等腰直角三角形，直角顶点均为点C，点F、G分别为AD、BE的中点.
求证：≌；
请判断的形状，并说明理由.
23.本小题6分
有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性.如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：
图2是由四个全等的直角三角形边长分别为a，b，c，且和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式；
如图2，在的条件下，若，，求阴影部分的面积；
如图3，以中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形ABCD的面积.
24.本小题8分
已知线段于点B，点D在直线l上点D与B不重合，分别以AB，AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点
如果点F在线段BD上，如图①，证明：≌；
如果点F在线段BD的延长线上，如图②，试猜想线段DF，CE，CF之间的数量关系，并证明你的猜想；
如果点F在直线BD上，且，，请直接写出CF的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、，长度是5、6、12的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、，长度是4、4、8的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、，长度是2、3、4的线段能组成三角形，故C符合题意；
D、，长度是2、3、5的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3.【答案】A
【解析】解：
故选：
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、当时，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：
分别根据分式的基本性质判断即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：过P作于K，
平分，于点C，
，
，
的面积
故选：
过P作于K，由角平分线的性质推出，而，即可求出的面积
本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到
6.【答案】A
【解析】解：，，
，，
在和中，
，
≌
，，
故选：
由题中可得≌，得出对应线段，，进而可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
7.【答案】B
【解析】解：，
，
，
故选：
根据求出，，变形后代入，即可求出答案．
本题考查了分式的加减，能求出是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
≌，
，，故①正确；
如图，作于点M，于点N，设AD交EF于点O，
在和中，
，，
，
，故②正确；
≌，，，
，
，
，
，
平分，
，故④正确；
若③成立，则，
，
，推出，
由题意知，AB不一定等于AD，
不一定平分，故③错误；
综上所述，结论正确的有①②④，共计3个，
故选：
利用“SAS”证明≌，由全等三角形的性质证明，，即可判断结论①；作于点M，于点N，设AD交EF于点O证明，即判断结论②；利用三角面积公式证明，由角平分线的判定定理即可判断结论④；题目中条件无法证明结论③正确．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质，熟练掌握相全等三角形的判定是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：原式
故答案为：
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】2
【解析】解：
故答案为：
根据积的乘方得出原式，再算乘法，算乘方，最后求出答案即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，能正确根据积的乘方进行变形是解此题的关键．
11.【答案】10
【解析】解：设多边形有n条边，
则，解得
所以这个多边形的边数是
经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数．
解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列出式子.
12.【答案】8或
【解析】解：设，
则，，，
故
，
当时，，，，
，
当时，，
，
故答案为：8或
根据，可以得到它们的比值或者a、b、c的关系，从而可以求得所求式子的值．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法，利用分类讨论的方法解答．
13.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接AD，AM，依据等腰三角形三线合一的性质可证明AD为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．由线段垂直平分线的性质可知，则，故当A、M、D在一条直线上时，有最小值，进而求出答案.
【解答】解：连接AD，
是等腰三角形，点D是BC边的中点，
，
，
解得，
是线段AB的垂直平分线，
当A、M、D在一条直线上时，有最小值，最小值是AD为
的周长的最小值为
故答案为
14.【答案】37
【解析】解：连接CE，过E作于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
是线段BC的中垂线，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：
连接CE，过E作于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可．
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
15.【答案】解：方程的两边同乘，得：，
解得：，
经检验：当时，，
是原分式方程的增根，故原分式方程无解．
【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
16.【答案】解：原式

【解析】先算乘方，去绝对值，再算加减．
本题考查实数的运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．
17.【答案】解：
是方程的根
原式
【解析】先根据分式的混合运算法则化简，然后利用整体代入的思想解决问题即可．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是用整体代入的思想解决问题．
18.【答案】证明：，点D是AC边的中点，
垂直平分AC，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
解：，理由如下：
是等边三角形，
，
，，
，
，
点D是AC边的中点，
，

【解析】根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解；
根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
此题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：即为所求作的图形；
；
如图所示，点P即为所求的点，使得周长值最小．
【解析】首先确定A、B、O三点关于y轴的对称点位置，再连接即可；
利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可；
找出B点关于y轴的对称点，再连接，与y轴的交点就是P点位置．
此题主要考查了作图--轴对称变换，以及最短路线，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．
20.【答案】解：；
，
，
，
多项式的最小值为；
，
，
即，
，
，，，
的周长为
【解析】根据阅读材料中的方法分解即可；
根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；
原式配方后，利用非负数的性质即可求解．
此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21.【答案】解：设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需天．根据题意，得
解得
经检验，是原分式方程的解．
答：甲队单独完成需200天，乙队单独完成需300天．
设甲队每天的施工费为y元．根据题意，得
，
解得
答：甲队每天施工费最多为15150元．
【解析】此题主要考查了分式方程的应用，根据已知利用总工作量为1得出等式方程是解题关键．
假设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需天，根据总工作量为1得出等式方程求出即可；
分别表示出甲、乙两队单独施工所需费用，得出不等式，求出即可．
22.【答案】证明：、都是等腰直角三角形，
，，，，
，
在和中，
，
≌；
解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接CF，
由知，≌，
，，，
点F、G分别为AD、BE的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
即，
是等腰直角三角形．
【解析】根据等腰直角三角形的性质求出，，，，进而求出，利用SAS即可证明≌；
结合求出，，，进而求出，利用SAS证明≌，结合全等三角形的性质即可求出是等腰直角三角形．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】解：
图2从整体看，大正方形的边长为c，.
面积表示为：；
从构成看，大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成，
面积可表示为：，
，
；
，
，
，
阴影部分的面积，
阴影部分的面积；
图3中两个长方形的边长均为和，
两个长方形的面积相等．
四边形ABCD的面积，
，阴影部分的面积为1，
四边形ABCD的面积
四边形ABCD的面积
【解析】从整体看，大正方形的边长为c，那么面积表示为：；从构成看，大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成，可表示为：，让两个式子相等，整理即可；
根据，，以及中得到式子可得和ab的值，阴影部分的面积为：，展开后进行整理，然后计算即可；
易得图3中两个长方形的边长均为和，那么它们的面积相等．根据边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积个小长方形的面积-边长为c的正方形的面积=阴影部分的面积，把相关数值代入计算即可得到四边形ABCD的面积．
本题考查完全平方公式的应用．根据图形中最大面积的不同表示方法得到相关等式是解决本题的关键．
24.【答案】证明：，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌；
解：
证明：，
，
由得，≌，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解：①如图①中，
，
设，
，，
，
，
②如图②中，
设，
则，
，，
，
，
，
综上所述，或
【解析】由等边三角形的性质得出，，，根据SAS可证明≌；
由全等三角形的性质得出，，，证出，得出，则可得出结论；
分两种情况，由等边三角形的性质可得出答案．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．