北师大版数学高二选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 综合提升检测卷(原卷+解析卷）

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第三章空间向量与立体几何 综合提升检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，且，则x的值为（    ）A． B． C．6 D．－6【答案】D【分析】空间中两向量平行，其对应坐标成比例，故可求之.【详解】因为，所以，解得.故选：D.2．下面关于空间向量的说法正确的是（    ）A．若向量平行，则所在直线平行B．若向量所在直线是异面直线，则不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面【答案】D【分析】利用平行向量的意义判断A；利用空间共面向量的意义判断BCD作答.【详解】向量平行，所在直线可以重合，也可以平行，A错误；可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误；显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确.故选：D3．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝（　　）A．﹣3 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】根据线面垂直的向量表示即可求解.【详解】因为，所以，解得，所以.故选：B4．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）    A． B．C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为，所以，所以，即，又，所以.故选：D  5．如图，已知正方体的棱长为a，设，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意取得，且，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，正方体中，棱长为，且，可得，可得，且，则，因为，所以.故选：D.6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】因为，为的中点，则，由圆锥的几何性质可知平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，  则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又因为，所以，点到平面的距离为.故选：B.7．已知四面体满足，，，且该四面体的体积为，则异面直线与所成角的大小为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】将四面体放入长方体中，根据体积公式计算得到，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】如图所示：将四面体放入长方体中，  ，解得，故，以为轴建立空间直角坐标系，，，，或，或，，设异面直线与所成的角的大小为，，，则；或，；综上所述：异面直线与所成的角的大小为或.故选：C8．如图，长方体中，，P为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（    ）  A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为B．当时，若平面的法向量记为，则C．当时，二面角的余弦值为D．若，则【答案】C【分析】根据题意可知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别表示各点的坐标，然后利用空间向量求解二面角、线面角的方法计算各选项即可.【详解】如下图所示：   以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系；由，可知，则，设，，选项A，当时，，所以，所以，平面ABCD的法向量为，所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为：，故A正确；选项B，当时，，所以，所以，平面的法向量记为，由.,由可知，，所以可取，所以，故B正确；选项C，当时，，所以，平面的法向量记为，设平面的法向量记为，由.,由可知，，所以可取，所以二面角的余弦值为，所以，故C错误；选项D，若，，，因为，所以，所以，，由，解得，所以，即，故D正确.故选：C选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（    ）A．B．C． 是平面 的一个法向量D． 【答案】ABC【分析】运用数量积逐项分析.【详解】由题意可知 都是非零向量，对于A， ，正确；对于B， ，正确；对于C， 平面ABCD， 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，正确；对于D， 平面ABCD， 平面ABCD， ，错误；故选：ABC.10．若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是（    ）A．B．C．，使得D．设与的夹角为，则【答案】BCD【分析】A选项，只有平面时，才能得到；BCD选项，可通过线面关系及面面关系及法向量定义进行推导.【详解】对于A，当且平面时，才满足，故A错误；对于B，若，则，若，则，即可得到，故B正确；对于C，若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确；对于D，设与的夹角为，则，所以，故D正确.故选：BCD.11．在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（    ）A．直线平面B．直线平面C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球表面积【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，求出相应三棱锥的体积和外接球的表面积，即可得出结论.【详解】由题意，在正方体中，棱长为2，P，E，F分别为棱，，BC的中点，为侧面的中心，建立空间直角坐标系如下图所示，  则,,A项，  ，设面的法向量为，则，即解得：，当时，，∵，∴直线与面不平行，A错误；B项，  设面的法向量为，则，即解得：，当时，，∵，∴直线与平面平行，B正确；C项，  ，C正确；D项，  如图，三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线，  ∴为三棱锥外接球的直径，由几何知识得，∴三棱锥的外接球表面积为，D正确；故选：BCD.12．如图，在直棱柱中，D，E分别是BC与AC上的任一点，，，，则下列结论正确的是（    ）  A．存在，使得B．平面平面ABCC．若平面，则D．若，且E为AC中点，则平面BDE与平面所成的夹角的余弦值为【答案】ABD【分析】A选项，当E为AC中点，通过说明面可得；B选项，注意到面ABC即可；C选项，由题可得；D选项，如图以E为原点建立空间直角坐标系，求出平面BDE与平面法向量即可.【详解】对于A，当时，E为AC中点，∵，∴在等腰三角形ABC中，，又在直三棱柱中，面ABC且BE在面ABC内，∴且，，AC在面内，∴面且在面内，∴，A正确；对于B，在直三棱柱中，面ABC且在面内，∴面面ABC，B正确；对于C，若平面，因平面ABC，平面ABC平面，则，则任意且，C错误；对于D，如图建系，设，则，，，设平面的法向量为，则，取，又平面BDE的一个法向量为.则平面BDE与平面所成的夹角的余弦值为，D正确.  故选：ABD.三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．在空间直角坐标系中，点与点之间的距离__________．【答案】【分析】由空间中两点间距离公式即可求解.【详解】由空间中两点间距离公式可得,故答案为：14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，则OB1与平面PAC的夹角为 _____.【答案】/【分析】利用向量法求得与平面的夹角.【详解】设正方体的边长为，则，，设平面的法向量为，则，故可设，设与平面所成角为，，则，所以.故答案为：15．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面内，则实数的值为________．【答案】【分析】根据题意,存在实数使得等式成立,将各点坐标代入,列出方程组求解即可.【详解】点在平面内,存在实数使得等式成立,,，解得.故答案为：16．在平行六面体中，，且，则的余弦值是________.【答案】/【分析】利用空间向量基本定理，得到，求出，，再由向量夹角公式求的余弦值.【详解】由题设，可得如下示意图，  ∴，设，则，又，所以，，，所以以.，所以故答案为：.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知向量，，，且，.(1)求向量，，；(2)求向量与向量所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空间向量平行与垂直的坐标表示即可求解；（2）利用空间向量的线性运算与夹角余弦的坐标表示即可求解.【详解】（1）因为，，所以，解得，故，又因为，所以，即，解得，故，故.（2）由（1）得，，，所以，故向量与向量所成角的余弦值为.18．如图，在三棱锥中，平面，．  (1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为平面平面，所以，同理，所以为直角三角形，又因为，，所以，则为直角三角形，故，又因为，，所以平面.（2）由（1）平面，又平面，则，以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，  则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，所以，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.19．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．  (1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．【答案】(1)证明见解析；(2)1【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，  则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令 ，得，，设平面的法向量，则，令 ，得，，，化简可得，，解得或，或，.20．在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.21．如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)与平面所成的角的正弦值为【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【详解】（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，，因为，所以,在中，，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又因为，所以，所以，设与平面所成的角的正弦值为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.22．如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面．(1)若点是的中点，求证：平面；(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；【分析】（1）连接，可得四边形是平行四边形，或，从而，可证得平面；（2）取中点，连接，分别以为轴，建立空间直角坐标系，假设点存在，设点的坐标为，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量为，由二面角的余弦值为可得的值，可得的长．【详解】（1）方法一：连接，由已知得，，且，所以四边形是平行四边形，即，又平面平面，所以平面．方法二：连接，由已知得，且，，即，又平面平面所以平面（2）取中点，连接，由题易得是正三角形，所以，即，由于平面，分别以为轴，建立如图空间直角坐标系，，假设点存在，设点的坐标为，，设平面的法向量，则，即，可取，又平面的法向量为，所以，解得：，由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即．故上存在点，当时，二面角的余弦值为．