资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩2页未读，
继续阅读
北师大版数学高二选择性必修第一册 第五章 计数原理 单元综合检测卷(原卷+解析卷）
展开
这是一份北师大版数学高二选择性必修第一册 第五章 计数原理 单元综合检测卷(原卷+解析卷），文件包含北师大版数学高二选择性必修第一册第五章计数原理单元综合检测卷原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第一册第五章计数原理单元综合检测卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
第五章 计数原理 单元综合检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列四个问题属于组合问题的是（ ）A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长【答案】C【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选：C.2．某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（ ）A．9种 B．10种 C．11种 D．12种【答案】A【分析】由列举法，结合分类计数原理即可求解.【详解】用表示编号的面试者回答的试题为，其中，所以的全部可能情况有：，所以共有9种，故选：A3．的展开式中的系数为（ ）A．10 B．40 C．30 D．20【答案】B【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.【详解】解：展开式的通项公式为，令，得，则的系数为.故选:B4．2023年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是（ ）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】C【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解.【详解】将4名志愿者分配到两所敬老院，则由以下两种分配方案：①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有种，②两所敬老院各安排两名志愿者，则有种，故共有种方案，故选：C5．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A．240 B．360 C．480 D．600【答案】C【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.【详解】将区域标号，如下图所示： 因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法.故选：C.6．贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序.A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定贵州两名球员的顺序，再确定其余6人的表演顺序即可.【详解】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为，在确定其余6人顺序为，由分步乘法原理可得一共有种顺序.故选：C.7．五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合组合计数知识，由分类与分步计数原理分别计算样本空间与事件包含的样本点个数，再应用古典概型概率公式求解即可.【详解】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.该旅游博主游览五岳可分两类方法：第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有种方法；第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有种方法；由分类计数原理可得，共有种方法.设“该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有种方法；第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：若该月只游览两大名山，则只有种方法；若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有种方法，则第二步共有种方法；由分步计数原理，则完成事件共有种方法.由古典概型概率公式得.故选：C.8．伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】推导出，由得到展开式中的系数，由此得到结论.【详解】由，,，两边同时除以，得，又展开式中的系数为，所以，所以故选：A选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．展开式中二项式系数最大的是，则可以是（ ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】BCD【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.【详解】根据二项式系数的对称关系，当时，所有二项式系数中，，且均为最大；当时，所有二项式系数中， 最大；当时，所有二项式系数中，，且均为最大；故选:BCD.10．下列四个关系式中，一定成立的是（ ）A．B．C．D．【答案】AC【分析】根据排列数公式和排列数的性质，准确化简、运算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，所以D错误.故选：AC.11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）A．若任意选择三门课程，选法总数为B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为D．若政治必须选，选法总数为【答案】AC【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理、分类加法计数原理及排列组合，依次判断各选项，即可得解．【详解】对于A，任意选择三门课程，选法总数为，A正确；对于B，物理和化学至少选一门，分两类，第一类：物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，有种方法，共有种选法；第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的五门中选一门，有种方法，共有种选法，由分类加法计数原理知，选法总数为，B错误；对于C，物理和历史不能同时选，选法总数为，C正确；对于D，政治必须选，另两门从余下六门中任选两门，选法总数为，D错误．故选：AC12．设，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】先将的展开式的通项表示出来，然后将看作一个整体，可将原式表示成 ，根据所求式子，利用赋值法即可；A中将代入即可；B中求的系数，在中需求出的系数，在中需求出的系数，进而求得的系数；C中由题干可知，分别令，，得到的两式作差即可求出所求式子的值；D中有题干知，只需令即可.【详解】的展开式的通项为，所以，故选项A正确；又，从而的展开式中的系数为，故选项错误；令，得，令，得，两式相减得，所以，故选项C正确；令得，故选项D正确；故选：ACD.三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有 种（用数字作答）．【答案】20【分析】先分为两组，再利用全排列知识求解.【详解】由题意得，5位学生中有3位学生选取同一名导师，先将5人分为2组，一组3人，一组2人，再将2组对应两名导师，故有种方案.故答案为：2014．某校举办校运动会，需从某班级3名男同学4名女同学中选出3名志愿者，选出的3人中男女同学都有的概率为 .【答案】【分析】根据题意先求出7人中选3人共有种方法，选出的3人中男女同学都有，则分1男2女，2男1女，求出符合要求的方法数，进而求出答案.【详解】根据题意,7人中选3人共有种方法，若选出的3人中男女同学都有，则选出为1男2女或2男1女，若选出 1男2女，方法数为；若选出 2男1女，方法数为；所以选出的3人中男女同学都有的方法数共有种所以选出的3人中男女同学都有的概率为.故答案为：.15．的展开式中含项的系数为 .【答案】【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合数即可求解.【详解】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.故答案为：.16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】72【分析】根据给定信息，利用用色多少分类，再结合分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】观察图形知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，因此计算涂色方法可用3色和4色，使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区必同色，涂2区与4区有4种方法，涂3区与5区有3种方法，涂1区有2种方法，则涂色方法有（种）；使用4种颜色，选取同色的方案有2种，涂同色的两块有4种方法，涂另外3块依次有3，2，1种方法，则涂色方法有（种），所以不同的涂色方法共有（种）.故答案为：72四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）.(1)写出每场比赛的两支球队；(2)写出冠亚军的所有可能情况.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据组合知识列举所有情形即可；（2）根据排列知识列举所有情形即可.【详解】（1）这是一个组合问题，将两支球队的组合用一个集合表示，共有6个组合：{甲，乙}、{甲，丙}、{甲，丁}、{乙，丙}、{乙，丁}、{丙，丁}.（2）这是一个排列问题，即从4支球队中任意选取2支，按照冠军和亚军顺序排列，共有12种排列方式（符号（甲，乙）表示“甲是冠军，乙是亚军”）：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）、（乙，甲）、（丙，甲）、（丁，甲）、（丙，乙）、（丁，乙）、（丁，丙）.18．（1）计算：；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用排列数公式可求得所求代数式的值；（2）利用组合数公式可证得结论成立.【详解】（1）；（2）证明：，，因此，.19．（1）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，求；（2）的二项式系数的最大值是多少？【答案】（1）；（2）【分析】（1）写出第项的二项式系数与第项的二项式系数，即可得到方程，根据组合数的性质计算可得；（2）根据二项式系数的性质计算可得.【详解】（1）二项式展开式的通项为（且），所以第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，依题意可得，所以；（2）二项式展开式的一共项，则第项和第项二项式系数相等同时取得最大值，又展开式的通项为（且）所以第项的二项式系数为，第项二项式系数为，即的二项式系数的最大值是.20．电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(2)女生互不相邻的坐法有多少种？(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？【答案】(1)720种(2)1440种(3)960种．【分析】（1）根据题意，由捆绑法，即可得到结果；（2）根据题意，由插空法，即可得到结果；（3）根据题意，结合捆绑法，插空法，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有种排法；（2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有种；（3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种．21．在的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据二项式系数的性质得到二项式系数最大的项为第11项，然后求解即可；（2）设系数绝对值最大的项是第项，然后列不等式求解即可；（3）设第项的系数最大，然后列不等式求解即可.【详解】（1）由题意得二项式系数最大的项为第11项，即.（2）设系数绝对值最大的项是第项，于是，化简得，解得，因为，所以，即是系数绝对值最大的项.（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第项的系数最大，所以，化简得，解得，即第9项系数最大，.22．某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．(1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．【答案】(1)25(2)72【分析】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性．【详解】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为，②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为，所以共有选法种数为20+5=25；（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：，第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：，第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ，所以共有不同的分配方案数为：．
第五章 计数原理 单元综合检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列四个问题属于组合问题的是（ ）A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长【答案】C【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选：C.2．某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（ ）A．9种 B．10种 C．11种 D．12种【答案】A【分析】由列举法，结合分类计数原理即可求解.【详解】用表示编号的面试者回答的试题为，其中，所以的全部可能情况有：，所以共有9种，故选：A3．的展开式中的系数为（ ）A．10 B．40 C．30 D．20【答案】B【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.【详解】解：展开式的通项公式为，令，得，则的系数为.故选:B4．2023年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是（ ）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】C【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解.【详解】将4名志愿者分配到两所敬老院，则由以下两种分配方案：①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有种，②两所敬老院各安排两名志愿者，则有种，故共有种方案，故选：C5．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A．240 B．360 C．480 D．600【答案】C【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.【详解】将区域标号，如下图所示： 因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法.故选：C.6．贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序.A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定贵州两名球员的顺序，再确定其余6人的表演顺序即可.【详解】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为，在确定其余6人顺序为，由分步乘法原理可得一共有种顺序.故选：C.7．五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合组合计数知识，由分类与分步计数原理分别计算样本空间与事件包含的样本点个数，再应用古典概型概率公式求解即可.【详解】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.该旅游博主游览五岳可分两类方法：第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有种方法；第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有种方法；由分类计数原理可得，共有种方法.设“该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有种方法；第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：若该月只游览两大名山，则只有种方法；若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有种方法，则第二步共有种方法；由分步计数原理，则完成事件共有种方法.由古典概型概率公式得.故选：C.8．伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】推导出，由得到展开式中的系数，由此得到结论.【详解】由，,，两边同时除以，得，又展开式中的系数为，所以，所以故选：A选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．展开式中二项式系数最大的是，则可以是（ ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】BCD【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.【详解】根据二项式系数的对称关系，当时，所有二项式系数中，，且均为最大；当时，所有二项式系数中， 最大；当时，所有二项式系数中，，且均为最大；故选:BCD.10．下列四个关系式中，一定成立的是（ ）A．B．C．D．【答案】AC【分析】根据排列数公式和排列数的性质，准确化简、运算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，所以D错误.故选：AC.11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）A．若任意选择三门课程，选法总数为B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为D．若政治必须选，选法总数为【答案】AC【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理、分类加法计数原理及排列组合，依次判断各选项，即可得解．【详解】对于A，任意选择三门课程，选法总数为，A正确；对于B，物理和化学至少选一门，分两类，第一类：物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，有种方法，共有种选法；第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的五门中选一门，有种方法，共有种选法，由分类加法计数原理知，选法总数为，B错误；对于C，物理和历史不能同时选，选法总数为，C正确；对于D，政治必须选，另两门从余下六门中任选两门，选法总数为，D错误．故选：AC12．设，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】先将的展开式的通项表示出来，然后将看作一个整体，可将原式表示成 ，根据所求式子，利用赋值法即可；A中将代入即可；B中求的系数，在中需求出的系数，在中需求出的系数，进而求得的系数；C中由题干可知，分别令，，得到的两式作差即可求出所求式子的值；D中有题干知，只需令即可.【详解】的展开式的通项为，所以，故选项A正确；又，从而的展开式中的系数为，故选项错误；令，得，令，得，两式相减得，所以，故选项C正确；令得，故选项D正确；故选：ACD.三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有 种（用数字作答）．【答案】20【分析】先分为两组，再利用全排列知识求解.【详解】由题意得，5位学生中有3位学生选取同一名导师，先将5人分为2组，一组3人，一组2人，再将2组对应两名导师，故有种方案.故答案为：2014．某校举办校运动会，需从某班级3名男同学4名女同学中选出3名志愿者，选出的3人中男女同学都有的概率为 .【答案】【分析】根据题意先求出7人中选3人共有种方法，选出的3人中男女同学都有，则分1男2女，2男1女，求出符合要求的方法数，进而求出答案.【详解】根据题意,7人中选3人共有种方法，若选出的3人中男女同学都有，则选出为1男2女或2男1女，若选出 1男2女，方法数为；若选出 2男1女，方法数为；所以选出的3人中男女同学都有的方法数共有种所以选出的3人中男女同学都有的概率为.故答案为：.15．的展开式中含项的系数为 .【答案】【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合数即可求解.【详解】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.故答案为：.16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】72【分析】根据给定信息，利用用色多少分类，再结合分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】观察图形知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，因此计算涂色方法可用3色和4色，使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区必同色，涂2区与4区有4种方法，涂3区与5区有3种方法，涂1区有2种方法，则涂色方法有（种）；使用4种颜色，选取同色的方案有2种，涂同色的两块有4种方法，涂另外3块依次有3，2，1种方法，则涂色方法有（种），所以不同的涂色方法共有（种）.故答案为：72四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）.(1)写出每场比赛的两支球队；(2)写出冠亚军的所有可能情况.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据组合知识列举所有情形即可；（2）根据排列知识列举所有情形即可.【详解】（1）这是一个组合问题，将两支球队的组合用一个集合表示，共有6个组合：{甲，乙}、{甲，丙}、{甲，丁}、{乙，丙}、{乙，丁}、{丙，丁}.（2）这是一个排列问题，即从4支球队中任意选取2支，按照冠军和亚军顺序排列，共有12种排列方式（符号（甲，乙）表示“甲是冠军，乙是亚军”）：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）、（乙，甲）、（丙，甲）、（丁，甲）、（丙，乙）、（丁，乙）、（丁，丙）.18．（1）计算：；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用排列数公式可求得所求代数式的值；（2）利用组合数公式可证得结论成立.【详解】（1）；（2）证明：，，因此，.19．（1）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，求；（2）的二项式系数的最大值是多少？【答案】（1）；（2）【分析】（1）写出第项的二项式系数与第项的二项式系数，即可得到方程，根据组合数的性质计算可得；（2）根据二项式系数的性质计算可得.【详解】（1）二项式展开式的通项为（且），所以第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，依题意可得，所以；（2）二项式展开式的一共项，则第项和第项二项式系数相等同时取得最大值，又展开式的通项为（且）所以第项的二项式系数为，第项二项式系数为，即的二项式系数的最大值是.20．电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(2)女生互不相邻的坐法有多少种？(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？【答案】(1)720种(2)1440种(3)960种．【分析】（1）根据题意，由捆绑法，即可得到结果；（2）根据题意，由插空法，即可得到结果；（3）根据题意，结合捆绑法，插空法，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有种排法；（2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有种；（3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种．21．在的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据二项式系数的性质得到二项式系数最大的项为第11项，然后求解即可；（2）设系数绝对值最大的项是第项，然后列不等式求解即可；（3）设第项的系数最大，然后列不等式求解即可.【详解】（1）由题意得二项式系数最大的项为第11项，即.（2）设系数绝对值最大的项是第项，于是，化简得，解得，因为，所以，即是系数绝对值最大的项.（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第项的系数最大，所以，化简得，解得，即第9项系数最大，.22．某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．(1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．【答案】(1)25(2)72【分析】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性．【详解】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为，②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为，所以共有选法种数为20+5=25；（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：，第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：，第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ，所以共有不同的分配方案数为：．
相关资料
更多
