2024-2025学年江苏省南京师大附中树人学校八年级（上）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京师大附中树人学校八年级（上）第一次月考数学试卷(含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=47°，则∠E的度数为( )
A. 100°
B. 53°
C. 47°
D. 33°
3.如图△ABC≌△DEF，点D、E在直线AB上，BE=4，AE=1，则DE的长为( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
4.等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是( )
A. 10cmB. 11cmC. 6cm或8cmD. 10cm或11cm
5.A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个△ABC，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的( )
A. 三边垂直平分线的交点B. 三边中线的交点
C. 三个内角角平分线的交点D. 三边高的交点
6.如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A=50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么∠DBC的度数为( )
A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°
7.如图，已知△ABC的周长是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD=3cm，则△ABC的面积是( )
A. 48cm2B. 54cm2C. 60cm2D. 66cm2
8.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.如图，已知AD=BC，要使△ABC≌△CDA，还要添加的一个条件可以是______. (只需填上一个正确的条件)．
10.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，若∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠EDF=54°，则∠A=______°.
11.如图，把一个长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=54°，则∠FGE的度数为______．
12.如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，则∠1与∠2的数量关系是______．
13.如图所示.A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1km，DC=1km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2km，BF=0.7km.试求建造的斜拉桥长至少有______km．
14.如图，在△ABC中，AB=4，AC=5.5，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN/​/BC分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长为______．
15.如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为______cm2．
16.如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A2023B2023O= ______．
17.如图，AB=7cm，∠CAB=∠DBA=60°，AC=5cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动当点PO运动到某处时有△ACP与△BPQ全等，则Q的运动速度是______cm/s．
18.如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N分别为BD、BC上的动点，若BC=4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′．
(2)△ABC的面积为______．
(3)在直线l上找一点P(在答题纸上图中标出)，使PB+PC的长最短．
20.(本小题8分)
如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.AC与DE交于点G，
(1)求证△ABC≌△DEF；
(2)若∠B=50°，∠ACB=60°，求∠EGC的度数．
21.(本小题8分)
麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C，E在直线l上(点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度)，点A，D在l的异侧，且AB//DE，∠A=∠D，测得AB=DE．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BE=100m，BF=30m，求池塘FC的长．
22.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，BC=CD，AC=DE，AB/​/CD，∠B=∠DCE=90°，AC与DE相交于点F．
(1)求证：△ABC≌△ECD；
(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
(1)若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
(2)若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
24.(本小题8分)
如图，已知△ABC，点P为∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
(1)求证：PE=PF；
(2)若BE=CF，求证：点P在BC的垂直平分线上．
25.(本小题8分)
如图，已知△ABC(AC(1)如图1，在AB边上寻找一点M，使∠AMC=∠ACB；
(2)如图2，在BC边上寻找一点N，使得NA+NB=BC．
26.(本小题8分)
如图甲，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)说明△ADC≌△CEB．
(2)说明AD+BE=DE．
(3)已知条件不变，将直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，若DE=3、AD=5.5，则BE= ______．
27.(本小题8分)
【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
【概念理解】
(1)如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC ______(填“是”或“不是”)互为“形似三角形”．
(2)如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=36°，∠B=48°.求证：CD为△ABC的等腰分割线；
【概念应用】
(3)在△ABC中，∠A=45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
28.(本小题8分)
在△ABC中，AB=AC，BC=8，点M从点B出发沿射线BA移动，同时点N从点C出发沿线段AC的延长线移动，点M，N移动的速度相同，MN与BC相交于点D．
(1)如图1，过点M作ME/​/AC，交BC于点E；
①图中与BM相等的线段有______、______；
②求证：△DME≌△DNC；
(2)如图2，若∠A=60°，当点M移动到AB的中点时，求CD的长度；
(3)如图3，过点M作MF⊥BC于点F，在点M从点B向点A(点M不与点A，B重合)移动的过程中，线段BF与CD的和是否保持不变？若保持不变，请直接写出BF与CD的长度和；若改变，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据轴对称图形定义，可知图C中不存在一条直线，折叠后两边可重合．
故选：C．
根据轴对称图形定义，找到一条直线，图形沿该直线折叠，两边可完全重合，则为轴对称图形．
本题考查轴对称图形的定义，判断能否找到对称轴是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≅△DEF，∠A=100°，
∴∠D=∠A=100°，
在△DEF中，∠F=47°，
∴∠E=180°−∠D−∠E=33°，
故选：D．
根据全等三角形的性质得出∠D=∠A=100°，再根据三角形内角和定理即可得出∠E的度数
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵BE=4，AE=1，
∴AB=AE+BE=5，
∵△ABC≌△DEF，
∴DE=AB=5，
故选：A．
根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：若4是底边，则三角形的三边分别为4、3、3，
能组成三角形，周长=4+3+3=10，
若4是腰长，则三角形的三边分别为4、4、3，
能组成三角形，周长=4+4+3=11，
综上所述，此三角形的周长是10或11．
故选：D．
分边4是底边和腰长两种情况讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，然后求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并判断是否能组成三角形．
5.【答案】A
【解析】解：利用线段垂直平分线的性质得：三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，所以要放在三边垂直平分线的交点上．
故选：A．
为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图2，∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=180°−50°2=65°；
由题意得：DA=DB，
∴∠DBA=∠A=50°，
∴∠DBC=65°−50°=15°．
故选：B．
求出∠ABC的度数，证明∠DBA=∠A=50°，即可解决问题．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等几何知识点是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF=3(cm)，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=12×AB×OF+12×BC×OD+12×AC×OE
=12×OD×C△ABC
=12×3×36
=54(cm2).
故选：B．
过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，根据角平分线的性质可得OD=OE=OF=3cm，再根据S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12×OD×C△ABC即可计算结果．
本题主要考查角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质有关知识，关键是作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可逐一判断．
【解答】
解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
OP=OPPE=PF,
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
{MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN,
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故(1)正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故(3)正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE=定值，故(2)正确，
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，故(4)错误．
故选B．
9.【答案】AB=DC
【解析】解：添加条件为：AB=CD，
∵在△ABC和△CDA中，
AD=CBAC=ACAB=CD，
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
故答案为：AB=CD．
要证明△ABC≌△CDA，题目中有条件AD=BC，还有公共边AC=AC，再加一对边相等就可以用SSS证明△ABC≌△CDA，故可以添加条件AB=CD．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA，要证明两个三角形全等必须有边相等这一条件．
10.【答案】72
【解析】解：在△BDF和△CED中，
BF=CD∠B=∠CBD=CE，
∴△BDF≌△CED(SAS)，
∴∠BFD=∠CDE，
∵∠FDC=∠B+∠BFD=∠FDE+∠EDC，
∴∠B=∠EDF=54°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=180°−54°−54°=72°，
故答案为：72．
由“SAS”可证△BDF≌△CED，可得∠BFD=∠CDE，由外角的性质∠B=∠EDF=54°，可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
11.【答案】72°
【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠1=54°，∠FGE=∠AEG，
由折叠的性质得：∠GEF=∠DEF=54°，
∴∠AEG=180°−54°×2=72°，
∴∠FGE=72°，
故答案为：72°．
由平行线的性质得∠DEF=∠1=54°，由折叠的性质得∠GEF=∠DEF=54°，再由平角定义求出∠AEG，即可求得∠FGE．
本题考查的是平行线的性质、翻折变换(折叠问题)，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12.【答案】∠1+∠2=90°
【解析】解：如图，
在△ABC与△EDF中，
BC=EF=1∠ABC=∠DEF=90°AB=DE=3，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠1=∠CAB，
∵∠CAB+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故答案为：∠1+∠2=90°．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13.【答案】1.1
【解析】解：由题意知：BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，
∵在△ADB和△ADC中，
DB=DC∠ADB=∠ADCAD=AD，
∴△ADB≌△ADC(SAS)，
∴AB=AC=3km，
故斜拉桥至少有3−1.2−0.7=1.1(千米)．
故答案为：1.1．
根据BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，得出△ADB≌△ADC，进而得出AB=AC=3，这样可得出斜拉桥长度．
此题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据已知得出△ADB≌△ADC是解问题的关键．
14.【答案】9.5
【解析】解：∵BE，CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB，
∵MN/​/BC，
∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC，
∴MB=ME，NC=NE，
∵AB=AC=4，
∴△AMN的周长
=AM+ME+NE+AN
=AM+MB+AN+NC
=AB+AC
=4+5.5
=9.5．
故答案为：9.5．
根据BE、CE是角平分线和MN/​/BC可以得出MB=ME，NE=NC，继而可以得出△AMN的周长=AB+AC，从而可以得出答案．
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出MB=ME，NE=NC是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△APB和△DPB中，
∠ABP=∠DBPBP=BP∠APB=∠DPB，
∴△APB≌△DPB(ASA)，
∴S△ABP=S△DBP=12S△ABD，AP=DP，
∴△ACP和△DCP等底同高，
∴S△ACP=S△DCP=12S△ACD，
∴S△PBC=S△DPB+S△DCP=12(S△ABD+SACD)=12S△ABC，
∵△ABC的面积为12cm2，
∴S△PBC=12×12=6(cm2)，
故答案为：6．
延长AP交BC于点D，根据角平分线和垂线的定义，易证△APB≌△DPB(ASA)，得到S△ABP=S△DBP=12S△ABD，AP=DP，进而得到S△ACP=S△DCP=12S△ACD，即可求出△PBC的面积．
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
16.【答案】α22022
【解析】解：∵B1A2=B1B2，∠A1B1O=α，
∴∠A2B2O=12α，
同理∠A3B3O=12∠A2B2O=122α，
∠A4B4O=123α，
∴∠AnBnO=12n−1α，
∴∠A2023B2023O=α22022，
故答案为：α22022．
根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O=12α，依此类推即可得到结论．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
17.【答案】2或207
【解析】解：设点Q在射线BD上运动速度为x cm/s，它们运动的时间为t s，
①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
∴5=7−2t，2t=xt，
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
∴5=xt，2t=7−2t
解得：x=207，t=74．
综上，Q的运动速度是2cm/s或207cm/s，
故答案为：2或207．
分两种情况：①△ACP≌△BPQ时AC=BP，AP=BQ，②△ACP≌△BQP时AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是了解全等三角形的对应角相等，对应边相等，解决此题的关键是注意分类讨论．
18.【答案】3
【解析】解：连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，如图：
∵BA=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且平分AC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴CM=AM，
∴CM+MN=AM+MN，
根据“垂线段最短”得：AM+MN≥AD，
即当点M在线段AD上时，AM+MN为最小，最小值为线段AD的长，
∵△ABC的面积为6，BC=4，
∴S△ABC=12BC⋅AD=6，
∴AD=2×64=3，
∴CM+MN的最小值为3．
故答案为：3．
首先连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，再根据等腰三角形的性质得BD是线段AC的垂直平分线，从而得CM=AM，则CM+MN=AM+MN，然后根据“垂线段最短”得AM+MN≥AD，据此可得出当点M在线段AD上时，AM+MN为最小，最小值为线段AD的长，最后根据三角形的面积求出AD即可．
此题主要考查了轴对称最短路线问题，垂线段的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)72；
(3)连接BC′，交l于P，点P即为所求．
【解析】【分析】
(1)首先确定A、B、C三点关于l轴的对称点位置，再连接即可；
(2)利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可；
(3)连接BC′，于直线l的交点就是p点位置．
此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点关于对称轴的对称点位置．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)2×4−12×1×2−12×1×3−12×1×4=8−1−32−2=72，
故答案为72；
(3)见答案．
20.【答案】(1)证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
∵AB=DE，BC=EF，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)；
(2)解：如图，

由(1)知，△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠B=∠DEF，
∴AB//DE，
∴∠EGC=∠A，
∵∠B=50°，∠ACB=60°，
∴∠A=180°−∠B−∠ACB=70°，
∴∠EGC=70°．
【解析】(1)由BE=CF，可得BC=EF，证明△ABC≌△DEF(SSS)即可；
(2)如图，由(1)知，△ABC≌△DEF(SSS)，则∠B=∠DEF，AB//DE，∠EGC=∠A，由三角形内角和定理可得∠A=180°−∠B−∠ACB=70°，进而可求∠EGC的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21.【答案】(1)证明：∵AB//DE，
∴∠ABC=∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
∠ABC=∠DEFAB=DE∠A=∠D
∴△ABC≌DEF(ASA)；
(2)解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF
∴BF+FC=EC+FC，
∴BF=EC，
∵BE=100m，BF=30m，
∴FC=100−30−30=40m．
答：FC的长是40m．
【解析】(1)先由平行线的性质得到∠ABC=∠DEF，再利用ASA证明△ABC≌△DEF即可；
(2)利用全等三角形的性质证明BF=EC，再结合已知条件即可得到答案．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：在Rt△ABC和Rt△ECD中，
AC=DEAB=EC，
∴Rt△ABC≌Rt△ECD(HL)，
(2)解：AC⊥DE.理由如下：
∵△ABC≌△ECD，
∴∠BCA=∠CDE，
∵∠B=∠DCE=90°，
∴∠BCA+∠ACD=90°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
∴∠DFC=180°−(∠CDE+∠ACD)=90°，
∴AC⊥DE．
【解析】(1)根据HL即可证明△ABC≌△ECD．
(2)根据△ABC≌△ECD得到∠BCA=∠CDE，结合∠B=∠DCE=90°得到∠DFC=90°，即可得结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)因为DM、EN分别垂直平分AC和BC，
所以AM=CM，BN=CN，
所以△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
因为△CMN的周长为15cm，
所以AB=15cm；
(2)因为∠MFN=70°，
所以∠MNF+∠NMF=180°−70°=110°，
因为∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
所以∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
所以∠A+∠B=90°−∠AMD+90°−∠BNE=180°−110°=70°，
因为AM=CM，BN=CN，
所以∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
所以∠MCN=180°−2(∠A+∠B)=180°−2×70°=40°．
【解析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等边对等角的性质、三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；
(2)根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
24.【答案】证明：(1)∵点P为∠BAC的平分线上一点
∴∠BAP=∠FAP
∵PE⊥AB，PF⊥AF
∴∠PEA=∠PFA=90°
在△APE和△APF中
∠BAP=∠FAP∠PEA=∠PFAAP=AP
∴△APE≌△APF(AAS)
∴PE=PF
(2)连接PB、PC，如下图：

由(1)可得：∠BEP=∠CFP=90°
又∵PE=PF，BE=CF
∴△BPE≌△CPF(SAS)
∴BP=CP
∴点P在BC的垂直平分线上
【解析】(1)通过证明△APE≌△APF，即可求证；
(2)连接PB、PC，通过证明△BPE≌△CPF，得到BP=CP，即可求证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
25.【答案】解：(1)如图1，点M为所作；
(2)如图2，点N为所作．

【解析】(1)作∠ACE=∠B，CE与AB的交点为M；
(2)作AC的垂直平分线交BC于N，则NA=NC，所以NA+NB=BC．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26.【答案】2.5
【解析】(1)证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∵∠ADC=∠BEC，AC=BC，
∴△ADC≌△CEB．
(2)证明：由(1)知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
(3)证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中
∵∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BECAC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=3、AD=5.5，
∴BE=CD=CE−DE=2.5．
故答案为：2.5．
(1)由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
(2)由(1)得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
(3)与(1)证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
27.【答案】是
【解析】(1)解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=36°，
∵∠ABC=72°，
∴∠BDC=72°，
∴△CBD和△ABC互为“形似三角形”，
故答案为：是；
(2)证明：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°−36°−48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=12×96°=48°，
∴∠BCD=∠B，
∴△BCD是等腰三角形，∠ACD=∠A=36°，∠B=∠B=48°，∠ADC=∠ACB=96°，
∴CD为△ABC的等腰分割线；
(3)解：(Ⅰ)当△ACD是等腰三角形时，
①如图1，
当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°，
此时∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=90°；
②如图2，
当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC=180°−45°2=67.5°，
此时∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=45°+67.5°=112.5°；
③当AC=CD时，这种情况不存在；
(Ⅱ)当△BCD是等腰三角形时，
①如图3，
当CD=DB时，∠B=∠BCD=∠ACD，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=∠ACD+45°，
∵∠BDC+∠B+∠BCD=180°，
∴∠ACD+45°+∠ACD+∠ACD=180°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=2×45°=90°；
②如图4，
当BC=BD，∠B=∠ACD时，
∴∠BCD=∠BDC=∠ACD+∠A=∠ACD+45°，
由∠B+2∠BDC=180°，
得，∠ACD+2(∠ACD+45°)=180°，
∴∠ACD=30°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°+2×30°=105°；
③当CD=CB时，这种情况不存在；
综上所述：∠ACB=90°或112.5°或105°．
(1)推出∠BCD=36°，∠ABC=72°，∠BDC=72°，从而得出结论；
(2)可计算得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠A=36°，∠B=∠B，∠BDC=∠ACB，从而得出结论；
(3)分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形，当△ACD是等腰三角形时，再分为：AC=AD，AD=CD，AC=CD三种情形讨论，同样当△BC D是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出∠ACB的度数即可．
本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类．
28.【答案】EM CN
【解析】(1)①解：∵点M，N同时移动且移动的速度相同，
∴BM=CN，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵ME/​/AC，
∴∠N=∠DME，∠ACB=∠MEB，
∴∠MEB=∠B，
∴BM=ME，
故答案为：EM；CN；
②证明：∵BM=ME，BM=CN，
∴ME=CN，
在△DME和△DNC中，
∠MDE=∠NDC∠DME=∠NME=CN，
∴△DME≌△DNC(AAS)；
(2)解：过点M作ME/​/AC，交BC于点E，如图所示：
∵∠A=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵ME/​/AC，
∴∠BEM=∠ACB=60°，
由(1)可知：BM=ME=CN，
∴△BEM是等边三角形，
∴BE=BM，
∵M是AB的中点，
∴BE=BM=12AB=12BC，
∴BE=CE=4，
由(1)可知：△DME≌△DNC，
∴DE=CD，
∴CD=12CE=2，
∴CD的长度为2；
(3)解：线段BF与CD的和是保持不变，理由如下：
由(1)可知：BM=ME，
∵MF⊥BE，
∴BF=EF，
由(1)可知：△DME≌△DNC，
∴DE=DC，
∴BF+CD=12BC=4．
(1)①由题意可得BM=CN，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠MEB=∠B，可得BM=ME；
②由“AAS”可证△DME≌△DNC；
(2)先证△BME是等边三角形，可得BE=BM=4，由全等三角形的性质可得DE=DC=2；
(3)由全等三角形的性质可得BF=EF，由全等三角形的性质可得DC=DE，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．