上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月摸底考试数学试题

这是一份上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月摸底考试数学试题，共8页。试卷主要包含了09，已知，则__________，给出下列命题等内容，欢迎下载使用。
一､填空题
1.已知，则__________.
2.设复数满足（是虚数单位），则的虚部是__________.
3.已知向量，若，则实数__________.
4.焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________.
5.幂函数的图像经过点，则的值为__________.
6.已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是__________.
7.不等式的解集为__________.
8.已知，若对一切成立，则__________.
9.函数的对称中心是，则__________.
10.给出下列命题：
①“”是“”的充分非必要条件；
②“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；
③“平面向量与的夹角是锐角”的充要条件是“”.
其中正确命题的序号是__________（把所有正确命题的序号都写上）
11.在正方形所在平面上有点，使得都是等腰三角形.那么具有这样性质的点共有__________个
12.已知，若数列为严格增数列，则实数的取值范围是__________.
二､选择题
13.若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
14.在中，若且，则是（ ）
A.等边三角形
B.等腰三角形，但不是等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形，但不是等腰三角形
15.若复数满足，则的最小值为（ ）
A.3 B.2 C. D.1
16.已知，对关于的方程的实数解情况进行讨论，下面的结论中错误的是（ ）
A.至多有三个实根
B.至少有一个实根
C.当且仅当时有实根
D.存在，使原方程有三个实根
三､解答题
17.已知且.
（1）求的值；
（2）求的大小.
18.已知，集合，
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
19.如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且分别在轴负半轴和正半轴上，分别在轴负半轴和正半轴上.
（1）试用平面解析几何的方法证明：；
（2）设四边形的一条边的中点为，试用平面解析几何的方法证明：.
20.己知数列为等差数列，数列为等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）记，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由.
21.对定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意的都有，则称函数为区间上的“函数”.
（1）判断：函数与是否是上的“函数”，其中，；
（2）对于（1）中的函数，若不等式对一切的恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数是区间上的“函数”，求实数和的值.
【附加题】已知实数且，数列满足：，，试判断数列的单调性.
参考答案
一､填空题
1.1 2.3 3.3 4. 5.2 6.
7. 8. 9.0 10.① 11.9个 12.
二､选择题
13.A 14.D 15.C 16.D
三､解答题
17.答案：（1），
（2），
又，所以.
18.答案：因为，所以.
（1）因为，所以.
所以.于是或.
①，则；②，则.所以或.
（2）因为，对于：
①时，；
②或.
当时，，
当时.
③，则集合有两个元素，
所以，同（1）的②.
所以，或，或，或.
19.解：（1）设，则为方程的两根，
所以，
设，同理；
（2）由（1），，所以，而
由题意，，所以，
，所以.
20.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，得，则，
由，得，解得，则，
或
综上，数列的通项公式分别为和或.
（2）时
所以，
于是
两式相减得：
因此
时
所以，
于是
两式相减得：
因此
（3）时，，所以无意义，固只能
所以，而，所以，
所以对于任意的正整数，有，所以，
因此不存在正整数，使得.
21.解：（1）是上的“函数”，不是上的“函数”，
（2）因为不等式对一切的恒成立，
所以
可知
所以，
解得：
实数的取值范围是.
（3）由“函数”定义知，恒成立，且恒成立，所以，
且存在闭区间和常数，使得对任意的，
都有，
所以，
得，
所以，
因此
显然有
若，则，不符合题意，舍去，
若，则或，
此时函数为是上的“函数”，
所以或.
【附加题】
解：
令，则.
于是有.
正实数
显然在时，，故，数列是严格增数列.