四川省内江市第一中学2024届高三上学期开学考试数学（文）试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.
1. 设，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D. 3
2. 已知双曲线M：的焦点到其渐近线的距离为4，则双曲线M的渐近线的方程是（ ）
A. B. C. D. y＝±2x
3. 函数的单调增区间（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列求导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设a，b都是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6. 设一组样本数据的平均数为100，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便．某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是
A ①B. ②C. ④D. ⑤
9. 设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A. B.
C. D.
10. 从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（ ）
A B. C. D.
11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是
A. B. C. D.
12. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13 已知，则____.
14. 如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积为______.
15. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为______．
16. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．
18. 某土特产超市为预估年元旦期间游客购买土特产的情况，对年元旦期间的位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：
附：参考公式和数据：，.
附表：
（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关.
（2）为做好年元旦的营销活动，该超市从年元旦期间的位游客购买金额少于元的人群中按照分层抽样的方法任选人进行购物体验回访，并在这人中随机选取人派发购物券，问能拿到购物券的人恰好是一男一女的概率是多少？
19. 如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积.
20. 在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
21. 已知函数，若函数在点处的切线方程为.
（1）求，值；
（2）求的单调区间；
（3）当时，若存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线M，N的极坐标方程；
（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数取值范围.安全出口编号
①②
②③
③④
④⑤
①⑤
疏散乘客时间(s)
120
220
160
140
200
购买金额（元）
人数
不少于元
少于元
合计
男
女
合计