重庆市巴蜀中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷（Word版附解析）

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2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
它的否定是存在量词命题，即，，
故选：B.
2. 今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A. 45B. 48C. 53D. 43
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设出集合得到集合以及中元素的个数，即可得出中元素的个数．
【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，
集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，
表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素，
表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素，
又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，
故选：C．
3. 关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当时，可知不等式恒成立；当时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.
【详解】x的不等式对一切恒成立，
当时，不等式对一切恒成立，
当时，时，则有，解得，
所以k的取值范围是.
故选：D
4. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意利用对数的运算法则可得，再由符号说明表达式即可求得.
【详解】易知，
由可得；
所以，解得.
故选：B
5. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.
【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为，
因此小轮每秒钟转的弧度数为，
所以小轮每秒转过的弧长是.
故选：C
6. 已知函数，若为奇函数，则（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数定义可得恒成立，化简可求.
【详解】因为为奇函数，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，，
故选：D.
7. 若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用在上有变号零点列式求解即得.
【详解】函数，求导得，
由函数在区间上不单调，得在上有变号零点，
由，得，
则，令，
于是，即有，
令，函数在上单调递减，函数值从减小到，
在上单调递增，函数值从增大到，
由在上有变号零点，得直线与函数的图象有交点，
且当有两个交点时，两个交点不重合，因此，解得，
所以k的取值范围是.
故选：B
8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得到的奇偶性和单调性，从而令，若仅有一个实数根，则，，此时推出只有两个根，不合要求，若有两个实数根，由对称性可知，故和均有两个解，有根的判别式得到且，结合函数单调性和奇偶性得到.
【详解】的定义域为R，且，
故为偶函数，
且当时，恒成立，
故在0,+∞上单调递增，
由对称性可知在上单调递减，，
令，若仅有一个实数根，则，，
此时，解得或，仅有2个实数根，不合要求，舍去；
若有两个实数根，由对称性可知，
需要满足和均有两个解，
即和均有两个解，
由，解得，
又，故且，
即.
故选：A
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若，则下列与角的终边可能相同的角是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.
【详解】对于A，，因此A正确；
对于B，，因此B不正确；
对于C，，因此C正确；
对于D，，因此D正确。
故选：ACD.
10. 若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 点是图象的一个对称中心B. 点是图象的一个对称中心
C. 周期函数D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，分别令和令，得，可判断结论；B选项，分别令和令，得，可判断结论；C选项，当满足已知，不符合结论，可判断；D选项，令，证得时是3为首项1为公差的等差数列，可求.
【详解】令，则，有，
令，则，得，
又，所以点是图象的一个对称中心，故A正确；
令，则，
令，则，又，
所以点是图象的一个对称中心，故B正确；
设，符合题意，但不是周期函数，故C错误；
令，有，则，
令，有，，
所以时是3为首项1为公差的等差数列，
这样，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ）
A. 的取值范围是B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先令，参变分离化简，得，我们将题中函数零点个数问题转化为，函数交点问题，然后求得a的取值范围；利用图像可知两个零点的大小关系，然后去验证两个关系即可；然后利用两个的关系，利用基本不等式判断；假设正确，利用零点与的关系消元，然后利用不等式性质以及构造函数证明即可.
【详解】令，
令，
由题可知，，，
令，得，
显然，当x∈0,1时，，所以单调递减；
当x∈1,+∞时，，所以单调递増；
，得示意图
所以都符合题意，故A错误；
由示意图可知 ，
显然，
当且时，易知取两个互为倒数的数时，函数值相等，
因为，所以互为倒数，即，故B正确；
，
等且仅当时等号成立，
因为，所以，故C正确；
因为，要证，
即证，
因为，所以，
即证，
我们分别证明，，
证明：
因为，
所以，
证明：
要证，即证，
不妨设，得，
显然，当时，h′x0，此时hx单调递増；
故，故，即，
所以证得，即证得，
即得，故选项D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：零点问题解决的关键是转化，有变量的式子，我们经常参变分离，然后将零点问题转化为两个函数的交点问题，画图判断即可；对于选择题中的一些选项，我们可以假设正确，然后验证即可；题中存在多个变量，我们经常需要找到变量之间的关系，然后消元，变成一个变量，然后解决即可.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知为钝角，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系以及平方关系即可求得结果.
【详解】由可得，即，
又因为，可得，
因此可得，即得，
又因为为钝角，所以.
故答案为：
13. 已知，，则的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案.
【详解】因为，，
故，
当且仅当，结合，即时等号成立，
所以，即的最大值是，
故答案为：
14. 对于函数，，若对任意的，存在唯一的使得，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】借助导数研究单调性，并求出函数在给定区间上的值域，再结合集合包含关系，列出不等式解题即可.
详解】函数，求导得，令，求导得，
函数在R上单调递增，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此函数在R上单调递增，当时，，
函数，求导得，当时，，
当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到；
在上单调递增，函数值从增大到，
由对任意的，存在唯一的使得，得，
即，解得，所以实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是将题目转化为值域之间的包含关系，再借助导数研究单调性，得到值域.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知数列满足，且．
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的知识求得正确答案.
（2）先求得，然后利用错位相减求和法求得.
【小问1详解】
由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
当时，.
当时，由，
得，
两式相减得，也符合，
所以.
所以，
所以，
两式相减得，
两边乘以得.
16. 已知函数，．
（1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间；
（2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）有极大值，无极小值，单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的定义域，求导，由得到或2，验证后舍去，满足要求，求出的单调区间，并得到极值情况；
（2），定义域为0,+∞，求导，得到φx的单调性及，根据得到实数a的取值范围.
【小问1详解】
，定义域为0,+∞，
则，
因为函数在处取得极大值，
所以，解得或2，
当时，，
令得或，令得，
故在上单调递增，在12,1上单调递减，
此时为极小值点，不合要求，
当时，，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时为极大值点，满足要求，
综上，，有极大值，无极小值，
单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
，定义域为0,+∞，
则，
因为，所以，
令φ′x>0得，令φ′x