备战2025年高考一轮复习数学百练热点教案第73练求参数的取值范围（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考一轮复习数学百练热点教案第73练求参数的取值范围（Word版附解析），共34页。教案主要包含了基础知识，典型例题，历年好题精选等内容，欢迎下载使用。

求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围
1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下：
（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围
① 椭圆（以为例），则，
② 双曲线：（以为例），则（左支）（右支）

③ 抛物线：（以为例，则
（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程
（3）点与椭圆（以为例）位置关系：若点在椭圆内，则
（4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件
2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围
（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”；③ 反比例函数；④ 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：
（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域
（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可
二、典型例题：
例1：已知椭圆，、是其左右焦点，离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围；
解：（1）
椭圆方程为：代入可得：
椭圆方程为：
（2）由（1）可得： 设，
则

在椭圆上

即
例2：已知椭圆的离心率为，其左，右焦点分别是，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为
（1）求椭圆的方程
（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围
解：（1）
的周长

椭圆方程为：
（2）设直线的方程为，，

联立直线与椭圆方程：
，解得：

，代入可得：

由条件可得：

，代入可得：


例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且在所有过焦点的弦中，弦长的最小值为
（1）求椭圆方程
（2）若过点的直线 与椭圆交于不同的两点（在之间），求三角形与三角形面积比值的范围
解：（1）
由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为

椭圆方程为
（2）设，


联立直线与椭圆方程：


同号


设，所解不等式为：
，即
例4：已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切
（1）求椭圆的方程
（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程
（3）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围
解：（1） 与圆相切

即，解得
（2）由（1）可得 线段的垂直平分线交于点
即
的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，设为

（3）思路：由已知可得，设，则所求为关于的函数，只需确定的范围即可，因为，所以有可能对的取值有影响，可利用此条件得到关于的函数，从而求得范围。
解：与椭圆的交点为，设
，因为，化简可得：
①
考虑
由①可得
时，可得
例5：已知椭圆的离心率，左焦点为，椭圆上的点到距离的最大值为
（1）求椭圆的方程
（2）在（1）的条件下，过点的直线与圆交于两点，与点的轨迹交于两点，且，求椭圆的弦长的取值范围
解：（1）由离心率可得：
依题意可得： 可得：
椭圆方程为：
（2）由（1）可得椭圆方程为 不妨设
① 当直线斜率不存在时，，符合题意，可得：
② 当直线斜率存在时，
设直线
在圆中
可得：
解得：
设，联立直线与椭圆方程：
消去可得：





由可得：
综上所述：的取值范围是
例6：已知椭圆的两个焦点，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为
（1）求椭圆的方程
（2）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，若直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围
解：（1）使得的点恰有两个
的最大值为
为短轴顶点时，

到焦点的距离的最大值为
椭圆的方程：
（2）由椭圆方程可得圆
设，由圆的性质可得：
代入可得： 满足方程
则到的距离
下面计算：联立方程
设
不妨设
设，所以
设
在单调递增
所以，即
例7：已知椭圆过点，且离心率
（1）求椭圆方程
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围
解：（1）可得：
椭圆方程为，代入可得：
椭圆方程为：
设，联立方程可得：

设中点，则
则的中垂线为：，代入可得：
，代入可得：
或
即的取值范围是
例8：在平面直角坐标系中，原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦．
（1）求抛物线的准线方程和焦点坐标;
（2）当时，设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆相切，求半径的取值范围？
解：（1）由抛物线可得：，准线方程：
（2）设直线， ，联立方程：




与圆相切
，不妨令
则，令
在单调递减，在单调递增

则若关于的方程有两解，只需关于的方程有一解
时，与有一个交点

例9：已知椭圆的离心率为，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是
（1）求椭圆的方程
（2）设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率和取值范围
解：（1）
的周长


椭圆方程为：
（2）由椭圆方程可得： ，设过且与圆相切的直线方程为

，整理可得：

两条切线斜率是方程的两根
联立直线与椭圆方程可得：
消去可得：
，同理可得：

由可得：

设，可知为增函数，
例10：已知椭圆，其中为左右焦点，且离心率为，直线与椭圆交于两不同点，当直线过椭圆右焦点且倾斜角为时，原点到直线的距离为
（1）求椭圆的方程
（2）若，当的面积为时，求的最大值
解：（1）设直线

椭圆方程为
（2）若直线斜率存在，设，

联立方程：消去可得：，整理可得：
考虑
即
等号成立条件：
时的最大值是
当斜率不存在时，关于轴对称，设
，再由可得：
可计算出
所以综上所述的最大值是
三、历年好题精选
1、已知点是双曲线上的动点，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2、（2015，新课标I）已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3、（2014，四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是______
4、（2016，广东省四校第二次联考）抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5、（2016，贵州模拟）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且是线段的中点，若果三点的圆恰好与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过定点的直线与椭圆交于两点，且.若实数满足，求的取值范围.
6、（2015，山东理）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点
①求的值；②求面积最大值.
7、（2014，四川）已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形
（1）求椭圆的标准方程
（2）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点
① 证明：平分线段（其中为坐标原点）
② 当最小时，求点的坐标
8、（2014，湖南）如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且
（1）求的方程
（2）过作的不垂直于轴的弦为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值
9、（2014，山东）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当的横坐标为3时，为正三角形
（1）求的方程
（2）若直线，且和有且只有一个公共点
① 证明直线过定点，并求出定点坐标
② 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由

10、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.
（1）求椭圆的方程;
（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由;
（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.
11、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的焦距为2
（1）若椭圆经过点，求椭圆C的方程；
（2）设，为椭圆的左焦点，若椭圆存在点，满足，求椭圆的离心率的取值范围；
12、已知定点，曲线C是使为定值的点的轨迹，曲线过点.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过点，且与曲线交于，当的面积取得最大值时，求直线的方程；
（3）设点是曲线上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交曲线的长轴于点，求的取值范围.
13、已知圆,若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围．
14、已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共
线，且，求的取值范围.
习题答案：
1、答案：B
解析：设，其中，由焦半径公式可得：

代入可得：
因为 所以解得
由对称性可知：当时，
2、答案：A
解析：由可得，所以
，则，由得：
代入到不等式：，解得
3、答案：5
解析：由两条动直线 可得两条信息：①两个定点坐标，且两条直线垂直，垂足即为，所以为直角三角形，可知，由均值不等式可得，等号成立当且仅当
4、答案：A
解析：过分别作准线的垂线，垂足设为
设，由抛物线定义可得：
在梯形中，可得为中位线
由余弦定理可知在中，

5、解析：设椭圆的半焦距为
由为线段中点，
所以三点圆的圆心为，半径为
又因为该圆与直线相切，所以
所以，故所求椭圆方程为；
若与轴不垂直，可设其方程为，代入椭圆方程
可得，由，得
设，根据已知，有
于是
消去，可得
因为，所以
即有，有
6、解析：（1） 椭圆离心率为
，
左、右焦点分别是,
圆：
圆：由两圆相交可得，即，交点，
，
整理得，解得（舍去）
故椭圆C的方程为.
（2）① 椭圆E的方程为，
设点，满足，射线，
代入可得点，于是.
② 点到直线距离等于原点O到直线距离的3倍：
，得，整理得
，
当且仅当等号成立.
而直线与椭圆C：有交点P，则
有解，即有解，
其判别式，即，则上述不成立，等号不成立，
设，则在为增函数，
于是当时，故面积最大值为12.
7、解析：（1）由已知可得：解得：
椭圆方程为：
（2）① 由（1）可得：，设

所以设，，联立椭圆方程可得：


设为的中点，则点的坐标为
的斜率
在上，即平分
② 由①可得：
由弦长公式可得：



等号成立当且仅当
最小时，点的坐标为
8、解析：（1）由可得：





（2）由（1）可得：，设直线，联立方程可得：

设


中点
即
与双曲线联立方程可得：


设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为
，因为点在直线的异侧



由 时，
综上所述：四边形面积的最小值为2
9、解析：（1）依题意可知，设，则的中点为

由抛物线定义可知：，解得：或（舍）
抛物线方程为：
（2）① 由（1）可得，设


的斜率为 直线
设直线，代入抛物线方程：
和有且只有一个公共点

设，则可得：
当时，
，整理可得：
恒过点
当时，可得：，过点
过点
② 由①可得：过点

设
在直线上，
设 直线的方程为
代入抛物线方程可得：



，等号成立当且仅当
10、解析：（1）由左顶点为可得，又，所以
又因为，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）直线的方程为，由消元得，.
化简得，，
所以，.
当时，，
所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则
直线的方程为，令，得点坐标为，
假设存在定点，使得，
则，即恒成立，
所以恒成立，所以即
因此定点的坐标为.
（3）因为，所以的方程可设为，
由得点的横坐标为
由，得
，
当且仅当即时取等号，
所以当时，的最小值为．
11、解析：（1）依题意可得：
将代入椭圆方程可得：
解得：
椭圆方程为
（2）可知，设，可知：
由可得：
，整理可得：
联立方程：，可解得：
，即
12、解析：（1） 2分
曲线C为以原点为中心，为焦点的椭圆
设其长半轴为,短半轴为,半焦距为，则，
曲线C的方程为 4分
（2）设直线的为代入椭圆方程，得
，计算并判断得，
设,得
到直线的距离，设，则
当时，面积最大
的面积取得最大值时，直线l的方程为：
和 9分
（3）由题意可知：=,=
设其中，将向量坐标代入并化简得：
m（，
因为，所以，
而，所以
13、解析：(1)设椭圆的焦距为2C，因为a=,,
,所以椭圆C的方程为.
(2)设,
联立直线与椭圆方程得：
,则
,
M()到直线的距离。
,显然若点H也在直线AB上,则由对称性可知,直线就是y轴与已知矛盾,
要使得|AG|=|BH|,
只要|AB|=|GH|,
,
当时,，
当k时, ,
综上.
14、解析：(1)由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时，
即取最大值，且.
由得
又为定值，，
综上得；
又由，可得，即，
经计算得，，，
故椭圆方程为.
(2) ①当直线与中有一条直线垂直于轴时，.
②当直线斜率存在但不为0时，
设的方程为：，由消去可得：
，
代入弦长公式得：，
同理由消去可得，
代入弦长公式得：，
所以
令，则，所以，
由①②可知，的取值范围是.