备战2025年高考一轮复习数学百练热点教案第9练零点存在的判定与证明（Word版附解析）

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1、函数的零点：一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
2、零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图像，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法：
（1）可直接判断的几个结论：
① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数
② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③ 若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像
7、证明零点存在的步骤：
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
例1：函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
思路：函数为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可
解： ，

，使得
答案：C
例2：函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
思路：先能判断出为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。时，，从而，，所以，使得
答案：A
小炼有话说：（1）本题在处理时，是利用对数的性质得到其的一个趋势，从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。
（2）本题在估计出时，后，也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明，比如。正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保证快速找到合适的例子。
例3：（2010，浙江）已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
思路：条件给出了的零点，且可以分析出在为连续的增函数，所以结合函数性质可得
答案：B
例4：已知函数，当时，函数的零点，则________
思路：由的范围和解析式可判断出为增函数，所以是唯一的零点。考虑，，所以，从而
答案：
例5：定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若的“新驻点”分别为，则（ ）
A. B. C. D.
思路：可先求出，由“新驻点”的定义可得对应方程为：，从而构造函数
，再利用零点存在性定理判断的范围即可
解：
所以分别为方程的根，即为函数：
的零点

在单调减，在单调增，而，时，，而


答案：C
例6：若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过， 则可以是（ ）
A． B．
C． D．
思路：可判断出单增且连续，所以至多一个零点，但的零点无法直接求出，而各选项的零点便于求解，所以考虑先解出各选项的零点，再判断的零点所在区间即可
解：设各选项的零点分别为，则有
对于，可得：

，所以C选项符合条件
答案：C
例7：设函数，若实数分别是的零点，则（ ）
A. B.
C. D.
思路：可先根据零点存在定理判断出的取值范围：，从而；，从而 ，所以有，考虑，且发现为增函数。进而，即
答案：A
例8：已知定义在上的函数，求证：存在唯一的零点，且零点属于
思路：本题要证两个要素：一个是存在零点，一个是零点唯一。证明零点存在可用零点存在性定理，而要说明唯一，则需要函数的单调性
解：
在单调递增

，使得
因为单调，所以若，且
则由单调性的性质：与题设矛盾
所以的零点唯一
小炼有话说：如果函数在单调递增，则在中，，即函数值与自变量一一对应。在解答题中常用这个结论证明零点的唯一性
例9：（2011年，天津）已知，函数（的图像连续不断）
（1）求的单调区间
（2）当时，证明：存在，使得
解：（1） 令
解得： 在单调递减，在单调递增
（2）思路：由（1）可得在单调递减，在单调递增，从而从图像上看必然会在存在使得，但由于是证明题，解题过程要有理有据。所以可以考虑将所证等式变为，构造函数，从而只需利用零点存在性定理证明有零点即可。
解：设
由（1）可得：当时，在单调递减，在单调递增


，因为
根据零点存在性定理可得：
，使得
即存在，使得
小炼有话说：（1）在证明存在某个点的函数值与常数相等时，往往可以将常数挪至函数的一侧并构造函数，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。
（2）本题在寻找小于零的点时，先观察表达式的特点：，意味着只要取得足够大，早晚比要大的多，所以只需要取较大的自变量便可以找到的点。选择也可，选择等等也可以。
例10：已知函数，其中常数，若有两个零点，求证：
思路：若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证且，即只需判断的符号，可先由存在两个零点判断出的取值范围为 ，从而，只需将视为关于的函数，再利用函数性质证明均大于零即可。
解：
令
设，可得为增函数且
时，
时，
在单调递减，在单调递增
所以在，
有两个零点



在单调递增

在单调递增
而
，使得即
另一方面：

而
，使得即
综上所述：