2024-2025学年山东省青岛市青岛实验数学九上开学达标测试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年山东省青岛市青岛实验数学九上开学达标测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在矩形ABCD中,有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO=S△ADO；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD=45°时，矩形ABCD会变成正方形．正确结论的个数是( )
A．2B．3C．4D．5
2、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（ ）
A．5B．3C．2.4D．2.5
3、（4分）如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为
A．B．4C．6 D．8
4、（4分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD=，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
5、（4分）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是（ ）．
A．B．C．D．
6、（4分）在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组邻边相等D．对角线互相垂直
7、（4分）如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是 ．
10、（4分）使代数式有意义的的取值范围是________.
11、（4分）命题“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是______，它是___命题（填“真”或“假”）.
12、（4分）当时，二次根式的值是______．
13、（4分）已知一组数据1，5，7，x的众数与中位数相等，则这组数据的平均数是___________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．
（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；
（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？
15、（8分）我们知道一个“非负数的算术平方根”指的是“这个数的非负平方根”。据此解答下列问题：
（1）是的算术平方根吗？为什么？
（2）是的算术平方根吗？为什么？
（3）你能证明：吗？
16、（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接CE、DF，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H。
（1）求证：CE⊥DF；
（2）求的值．
17、（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AC，BD=DC，BE//DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；
（2）在图2中，画一个菱形．
18、（10分）已知反比例函数（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）判断点B（－1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（3）当－3＜x＜－1时，求y的取值范围．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=cm，P是BC上任意一点，过P作PD//AB，PE//AC，则PE+PD的值为__________________.
20、（4分）平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为和两部分，则该平行四边形的周长为______．
21、（4分）直线y＝2x﹣4与x轴的交点坐标是_____．
22、（4分）在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE=BD，则∠AEC=_____．
23、（4分）已知点P(-2,1)，则点P关于x轴对称的点的坐标是__．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重 合，CG与EF交于点p，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ的周长最小值是__
25、（10分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是AB的中点．若在AC上存在一点E，使得△ADE与原三角形相似．
（1）确定E的位置，并画出简图：
（2）求AE的长．
26、（12分）已知：如图平行四边形中，，且，过作于，点是的中点，连接交于点，点是的中点，过作交的延长线于.
（1）若，求的长.（2）求证：.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝CO，AC＝BD，
故①③正确；
∵BO＝DO，
∴S△ABO＝S△ADO，故②正确；
当∠ABD＝45°时，∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD会变成正方形，故⑤正确，
而④不一定正确，矩形的对角线只是相等且互相平分，
∴正确结论的个数是4.
故选C.
2、A
【解析】
根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE =CD+DE，代入求出即可．
【详解】
如图，连接EC，
∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，
∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE=CD+DE，
即AE=4+(8−AE) ，
解得：AE=5，
故选A.
此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于作辅助线.
3、A
【解析】
试题分析：根据三角形的中位线等于第三边一半的性质，得这个等边三角形的中位线长为2。故选A。
4、A
【解析】
①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；③在Rt△AEP中，利用勾股定理，可求得EP、BE的长，再依据△APD≌△AEB，即可得出PD=BE，据此即可判断.
【详解】
①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB，故①正确；
②∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED，故②正确；
③在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=，
又∵PB=，
∴BE=，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，故③错误，
故选A.
本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形面积、勾股定理等，综合性质较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
5、A
【解析】
如下图，分别过、作的垂线交于、，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴．
故选A.
6、A
【解析】
根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选A．
本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别平行的四边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7、B
【解析】
观察函数图象得到当x＜2时，即图象在y轴的左侧，函数值都都大于1．
【详解】
解：观察函数图象可知当x＜2时，y＞1，所以关于x的不等式kx+b＞1的解集是x＜2．
故选：B．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，关于的不等式的解集就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于1的自变量x的取值范围．
8、C
【解析】
根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．
【详解】
A、x2-9，可用平方差公式，故A能用公式法分解因式；
B、-a2+6ab-9 b2能用完全平方公式，故B能用公式法分解因式；
C、-x2-y2不能用平方差公式分解因式，故C正确；
D、x2-1可用平方差公式，故D能用公式法分解因式；
故选C．
本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD.
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AB=DE=CD，即D为CE中点.
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°.
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°.
∴∠CEF=30°.
∵EF=，
∴CE=2
∴AB=1
10、x≥﹣1．
【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式，即可求出x的取值范围．
【详解】
解：由题意得，1+x≥0，
解得x≥-1．
故答案为x≥-1．
本题考查二次根式的意义和性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
11、到角的两边距离相等的点在角平分线上， 真.
【解析】
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】
解：命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边距离相等的点在角平分线上”，它是真命题．
本题考查了互逆命题的知识和命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12、2
【解析】
把x=3代入二次根式，可得.
【详解】
把x=3代入二次根式，可得.
故答案为：2
本题考核知识点：二次根式化简. 解题关键点：熟练进行化简.
13、4.1
【解析】
分别假设众数为1、1、7，分类讨论、找到符合题意得x的值，再根据平均数的定义求解可得．
【详解】
若众数为1，则数据为1、1、1、7，此时中位数为3，不符合题意；
若众数为1，则数据为1、1、1、7，中位数为1，符合题意，
此时平均数为=4.1；
若众数为7，则数据为1、1、7、7，中位数为6，不符合题意；
故答案为：4.1．
本题主要考查众数、中位数及平均数，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）t=1；（2）当时，△EBF∽△DCF；
【解析】
（1）利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式计算．
（2）利用△EBF∽△DCF，得出，列出方程求解．
【详解】
解：（1）∵DE⊥AF，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEO=90°，
∵∠ADE+∠AEO=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE=BF，
∴1+t=2t，
解得t=1；
（2）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=4，
∵BF=2t，AE=1+t，
∴FC=4-2t，BE=4-1-t=3-t，
当△EBF∽△DCF时，
，
∴=，
解得，t1=，t2=（舍去），
故t=．
所以当t=时，△EBF∽△DCF.
本题主要考查了四边形的综合题，利用了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，难度一般.
15、（1）不是；（2）是；（3）见解析.
【解析】
根据平方根与算术平方根的定义，以及绝对值的意义即可作出判断．
【详解】
（1）-2不是4的算术平方根，
∵（-2）2=4，
∴-2是4的平方根，
但-2＜0，
∴-2不是4的算术平方根；
（2）2是4的算术平方根，
∵22=4，
∴2是4的算术平方根，
（3）可以证明：，
∵，，
∴.
此题主要考查了算术平方根的定义、绝对值的意义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
16、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）运用△BCE≌Rt△CDF（SAS），再利用角的关系求得∠CKD=90°即可解题．
（2）设正方形ABCD的边长为2a，设CH=x，利用勾股定理求出a与x之间的关系即可解决问题．
【详解】
（1）证明：设EC交DF于K．
∵E，F分别是正方形ABCD边AB，BC的中点，
∴CF=BE，
在Rt△BCE和Rt△CDF中，
，
∴△BCE≌Rt△CDF（SAS），
∠BCE=∠CDF，
又∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠CDF+∠ECD=90°，
∴∠CKD=90°，
∴CE⊥DF．
（2）解：设正方形ABCD的边长为2a．
EB=EG，∠BEC=∠CEG，∠EGC=∠B=90°
∵CD∥AB，
∴∠ECH=∠BEC，∴∠ECH=∠CEH，
∴EH=CH，
∵BE=EG=a，CD=CG=2a，
在Rt△CGH中，设CH=x，
∴x2=（x-a）2+（2a）2，
∴x=a，
∴GH=EH-EG=a-a=a，
∴．
本题考查的是旋转变换、翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟知旋转、翻折不变性是解答此题的关键，学会构建方程解决问题．
17、（1）作图见解析 （2）作图见解析
【解析】
（1）连接AD、BC相交于点O，Rt△AOB即为所求；
（2）连接AD交BE于F，连接CF，四边形BFCD即为所求．
【详解】
（1）连接AD、BC相交于点O，Rt△AOB即为所求；
（2）连接AD交BE于F，连接CF，四边形BFCD即为所求．
本题考查了尺规作图的问题，掌握直角三角形和菱形的性质是解题的关键．
18、（1）这个函数的解析式为：；（1）点C在函数图象上，理由见解析；（3），－2＜y＜－1．
【解析】
（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值；
（1）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于2时，即该点在函数图象上；
（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．
【详解】
解：（1）∵反比例函数（k为常数，k≠0）的图象经过点A（1，3），
∴把点A的坐标代入解析式，得，解得，k=2．
∴这个函数的解析式为：．
（1）∵反比例函数解析式，
∴2=xy．
分别把点B、C的坐标代入，得
（－1）×2=－2≠2，则点B不在该函数图象上；
3×1=2，则点C在函数图象上．
（3）∵k＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小．
∵当x=－3时，y=－1，当x=－1时，y=－2，
∴当－3＜x＜－1时，－2＜y＜－1．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、6
【解析】
分析：先证明BE=PE，AE=PD，把求PE+PD的长转化为求AB的长，然后作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中求AB的长即可.
详解：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∵PE//AC，
∴∠BPE=∠C=30°，
∴∠BPE=∠B=30°，
∴BE=PE.
∵PD//AB，PE//AC，
∴四边形AEPD是平行四边形，
∴AE=PD，
∴PE+PD=BE+AE=AB.
作AF⊥BC于点F.
∴,.
∵AB2=AF2+BF2,
∴,
∴AB=6,
故答案为：6.
点睛：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意把求PE+PD的长转化为求AB的长是是解答本题的关键.
20、20cm或22cm．
【解析】
根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，可以求解．
【详解】
如图：
∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE为角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴①当BE=3cm，CE=4cm，AB=3cm，
则周长为20cm；
②当BE=4cm时，CE=3cm，AB=4cm，
则周长为22cm．
本题考查平行四边形的性质，分类讨论是关键.
21、（2，0）
【解析】
与x轴交点的纵坐标是0，所以把代入函数解析式，即可求得相应的x的值．
【详解】
解：令，则，
解得．
所以，直线与x轴的交点坐标是．
故填：．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
22、22.5°
【解析】
连接AC，由正方形性质可知BD=AC，∠ACB=45°，由CE=BD得AC=CE，所以∠CAE=∠CEA，因为∠ACB=∠CAE+∠AEC=2∠AEC=45°，即可得答案.
【详解】
如图：连接AC，
∵ABCD是正方形
∴AC=BD，∠ACB=45°，
∵CE=BD
∴∠CAE=∠CEA，
∵∠ACB=∠CAE+∠AEC=2∠AEC=45°
∴∠AEC=22.5°，
故答案为：22.5°
本题考查正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.
23、 (-2,-1)
【解析】
根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
点P（﹣2，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案是：（﹣2，﹣1）．
考查了关于x轴对称的对称点，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．首先证明PQ=PN，PB=PG，推出PQ+PG=PN+PB≥BN，求出BN即可解决问题．
【详解】
解：如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．
由翻折的性质以及对称性可知；PQ=PN，PG=PC，HG=CD=4，
∵QH=QG，
∴QG=2，
在Rt△BCN中，BN= ，
∵∠CBG=90°，PC=PG，
∴PB=PG=PC，
∴PQ+PG=PN+PB≥BN=2，
∴PQ+PG的最小值为2，
∴△GPQ的周长的最小值为2+2，
故答案为2+2．
本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
25、（1）画出简图见解析；（2）AE的长为4或．
【解析】
(1)分别从△ADE∽△ABC与△ADE∽△ACB去求解，即可画出图形；
(2)分别从当时，△ADE∽△ABC与当时，△ADE∽△ACB去分析求解即可求得答案．
【详解】
画出简图如图所示：
当DE1∥BC时，△ADE∽△ABC
当∠ADE2=∠C时，△ADE∽△ACB
(2)∵D是AB的中点，AB＝6，
∴AD＝3，
∵∠A是公共角，
∴当时，△ADE∽△ABC，
∴，
解得：AE1＝4；
∴当时，△ADE∽△ACB，
∴，
解得AE2＝，
∴AE的长为4或．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确地进行分类讨论，熟练运用相似三角形的相关知识是解题的关键.
26、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）由已知四边形是平行四边形得出，且，可求出AF，再通过证明即可求出的长；（2）通过作辅助线证明即可证明.
【详解】
解：（1）在平行四边形中，
，
∵，
∴，
，，
∴，
∴.
点是的中点，
，
.
∴，
∴
∴，，
∴.
（2）连接，
∵，，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴.
方法二：取中点，连接（其他证法均参照评分）
本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，利用三角形证明与是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分