
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2024-2025学年陕西省咸阳市百灵中学数学九上开学经典试题【含答案】
展开一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)如图,中,与关于点成中心对称,连接,当( )时,四边形为矩形.
A.B.
C.D.
2、(4分)的值是( )
A.±4B.4C.﹣4D.±2
3、(4分)下列代数式变形正确的是( )
A.B.
C.D.
4、(4分)函数的图象如图所示,则关于的不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
5、(4分)计算的结果是( )
A.16B.4C.2D.-4
6、(4分)若分式的值为0,则x的值是( )
A.0B.1C.0或1D.0或1或-1
7、(4分)下列四个选项中运算错误的是( )
A.B.C.D.
8、(4分)下列函数中,随的增大而减少的函数是( )
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)如图放置的两个正方形,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),M是BC边上一个动点,联结AM,MF,MF交CG于点P,将△ABM绕点A旋转至△ADN,将△MEF绕点F旋转恰好至△NGF.给出以下三个结论:①∠AND=∠MPC; ②△ABM≌△NGF;③S四边形AMFN=a1+b1.其中正确的结论是_____(请填写序号).
10、(4分)已知a=﹣,b=+,求a2+b2的值为_____.
11、(4分)如图是一辆慢车与一辆快车沿相同路线从地到地所行的路程与时间之间的函数图象,已知慢车比快车早出发小时,则、两地的距离为________ .
12、(4分)函数为任意实数)的图象必经过定点,则该点坐标为____.
13、(4分)当时,二次根式的值是______.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线BD向上折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F.
(1)求证:BF=DF;
(2)如图2,过点D作DG∥BE交BC于点G,连接FG交BD于点O,若AB=6,AD=8,求FG的长.
15、(8分)如图,反比例函数 y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A(1,3),B(n,-1).
(1)求反比例函数与一次函数的函数关系式;
(2)根据图象,直接回答:当x取何值时,一次函数的值大于反比例函数的值;
(3)连接AO、BO,求△ABO的面积;
(4)在y轴上存在点P,使△AOP为等腰三角形,请直接写出点P的坐标.
16、(8分)已知,如图,A点坐标是(1,3),B点坐标是(5,1),C点坐标是(1,1)
(1)求△ABC的面积是____;
(2)求直线AB的表达式;
(3)一次函数y=kx+2与线段AB有公共点,求k的取值范围;
(4)y轴上有一点P且△ABP与△ABC面积相等,则P点坐标是_____.
17、(10分)如图,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD对折,点C落在点C′的位置,BC′交AD于点G.
(1)求证:AG=C′G;
(2) 求△BDG的面积.
18、(10分)八年级(1)班开展了为期一周的“孝敬父母,帮做家务”社会活动,并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现,把结果划分成A,B,C,D,E五个等级.老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间,制作成如下的频数分布表和扇形统计图.
(1)求a,b的值;
(2)根据频数分布表估计该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间;
(3)该班的小明同学这一周帮父母做家务2小时,他认为自己帮父母做家务的时间比班级里一半以上的同学多,你认为小明的判断符合实际吗?请用适当的统计量说明理由.
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)如图,正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上,若点A的坐标是(-1,4),则点C的坐标是_____.
20、(4分)计算=________________.
21、(4分)若是正比例函数,则的值为______.
22、(4分)如图所示,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2,0),与y轴相交于点(0,4),结合图象可知,关于x的方程ax+b=0的解是_____.
23、(4分)如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是__________.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分)如图,在正方形网格中,△OBC的顶点分别为O(0,0),B(3,﹣1)、C(2,1).
(1)以点O(0,0)为位似中心,按比例尺2:1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′,放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′,画出△OB′C′,并写出点B′、C′的坐标:B′( , ),C′( , );
(2)在(1)中,若点M(x,y)为线段BC上任一点,写出变化后点M的对应点M′的坐标( , ).
25、(10分)自年月日日起,合肥市进入冰雪灾害天气,如图,一棵大树在离地面米处折断,树的顶端落在离树干底部米处,求这棵树折断之前的高度.
26、(12分)(1)计算:
(2)计算:
(3)求不等式组的整数解.
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、C
【解析】
由对称性质可先证得四边形AEFB是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形,得到AF=BE,进而得到△BCA为等边三角形,得到角度为60°
【详解】
∵与关于点成中心对称
∴AC=CF,BC=EC
∴四边形AEFB是平行四边形
当AF=BE时,即BC=AC,四边形AEFB是矩形
又∵
∴△BCA为等边三角形,故
选C
本题主要考查平行四边形的性质与矩形的判定性质,解题关键在于能够证明出三角形BCA是等边三角形
2、B
【解析】
由于表示的算术平方根,所以根据算术平方根的定义即可得到结果.
【详解】
,
.
故选:.
本题主要考查算术平方根的定义,一个非0数的算术平方根是正数,算术平方根容易与平方根混淆,学习中一定要熟练区分之.
3、D
【解析】
利用分式的基本性质对四个选项一一进行恒等变形,即可得出正确答案.
【详解】
解:A.,故本选项变形错误;
B. ,故本选项变形错误;
C.,故本选项变形错误;
D.,故本选项变形正确,
故选D.
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
4、C
【解析】
解一元一次不等式ax+b>0(或<0)可以归结为以下两种:(1)从函数值的角度看,就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;(2)从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有点的横坐标所构成的集合。
【详解】
观察图像,可知在x轴的上方所有x的取值,都满足y>0,结合直线过点(-2,0)
可知当x>-2时,都有y>0
即x>-2时,一元一次不等式kx+b>0.
故选:C
此题考查一次函数与一元一次不等式,解题关键在于结合函数图象求解
5、B
【解析】
根据算术平方根的定义解答即可.
【详解】
==1.
故选B.
本题考查了算术平方根的定义,解题的关键是在于符号的处理.
6、A
【解析】
分式的值为0的条件是:分子为0,分母不为0,两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
【详解】
∵=0,
∴x−x=0,即x(x−1)=0,x=0或x=1,
又∵x−1≠0,
∴x≠±1,综上得,x=0.
故选A.
此题考查分式的值为零的条件,解题关键在于掌握运算法则
7、C
【解析】
根据二次根式的运算法则,逐一计算即可.
【详解】
A选项,,正确;
B选项,,正确;
C选项,,错误;
D选项,,正确;
故答案为C.
此题主要考查二次根式的运算,熟练掌握,即可解题.
8、D
【解析】
根据一次函数的性质,k<0,y随x的增大而减少,找出各选项中k值小于0的选项即可.
【详解】
A、B、C选项中的函数解析式k值都是正数,y随x的增大而增大,
D选项y=-2x+8中,k=-2<0,y随x的增大而减少.
故选D.
本题考查了一次函数的性质,主要利用了当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、①②③.
【解析】
①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°,根据旋转的性质得到∴∠NAD=∠BAM,∠AND=∠AMB,根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°,可知∠DAM=∠AND,②根据旋转的性质得到GN=ME,等量代换得到AB=ME=NG,根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF;③由旋转的性质得到AM=AN,NF=MF,根据全等三角形的性质得到AM=NF,推出四边形AMFN是矩形,根据余角的想知道的∠NAM=90°,推出四边形AMFN是正方形,于是得到S四边形AMFN=AM1=a1+b1;
【详解】
①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°,
∴∠BAM+∠DAM=90°,
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN,
∴∠NAD=∠BAM,∠AND=∠AMB,
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°,
∴∠DAM=∠AND,故①正确,
②∵将△MEF绕点F旋转至△NGF,
∴GN=ME,
∵AB=a,ME=a,
∴AB=ME=NG,
在△ABM与△NGF中,AB=NG=a,∠B=∠NGF=90°,GF=BM=b,
∴△ABM≌△NGF;故②正确;
③∵将△ABM绕点A旋转至△ADN,
∴AM=AN,
∵将△MEF绕点F旋转至△NGF,
∴NF=MF,
∵△ABM≌△NGF,
∴AM=NF,
∴四边形AMFN是矩形,
∵∠BAM=∠NAD,
∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°,
∴∠NAM=90°,
∴四边形AMFN是正方形,
∵在Rt△ABM中,a1+b1=AM1,
∴S四边形AMFN=AM1=a1+b1;故③正确
故答案为①②③.
本题考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,旋转的性质,正确的理解题意是解题的关键.
10、1
【解析】
把已知条件代入求值.
【详解】
解:原式=
=.
故答案是:1.
直接代入即可,也可先求出a+b、ab的值,原式=(a+b)2﹣2ab,再整体代入.
11、1
【解析】
分析:根据数量关系“路程=速度×时间”结合函数图象,即可得出v快=v慢,设两车相遇的时间为t,根据数量关系“路程=速度×时间”即可得出t•v慢=(t-2)•v快=276,解之即可得出t与v慢的值,将慢车的速度代入s=18v慢中即可求出A、B两地的距离.
详解:
根据函数图象可知:s=(14-2)v快=18v慢,
∴v快=v慢.
设两车相遇的时间为t,
根据函数图象可知:t•v慢=(t-2)•v快=276,
解得:t=6,v慢=46,
∴s=18v慢=18×46=1.
故答案为1.
点睛:考查了函数的图象以及解一元一次方程,根据数量关系结合函数图象找出快、慢两车速度间的关系是解题的关键.
12、 (1,2)
【解析】
先把函数解析式化为y=k(x-1)+2的形式,再令x=1求出y的值即可.
【详解】
解:函数可化为,
当,即时,,
该定点坐标为.
故答案为:.
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,把原函数的解析式化为y=k(x-1)+2的形式是解答此题的关键.
13、2
【解析】
把x=3代入二次根式,可得.
【详解】
把x=3代入二次根式,可得.
故答案为:2
本题考核知识点:二次根式化简. 解题关键点:熟练进行化简.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断;
(2)根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断四边形BFDG是菱形,再根据折叠特性设未知边,构造勾股定理列方程求解.
【详解】
(1)证明:根据折叠得,∠DBC=∠DBE,
又AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB,
∴∠DBE=∠ADB,
∴DF=BF;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴FD∥BG,
又∵DG∥BE,
∴四边形BFDG是平行四边形,
∵DF=BF,
∴四边形BFDG是菱形;
∵AB=6,AD=8,
∴BD=1.
∴OB= BD=2.
假设DF=BF=x,∴AF=AD-DF=8-x.
∴在直角△ABF中,AB2+AF2=BF2,即62+(8-x)2=x2,
解得x=,
即BF=,
∴,
∴FG=2FO=.
此题考查了四边形综合题,结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答,考查了翻折不变性,综合性较强,是一道好题.
15、(1)y=,y=x+2;(2)-1<x<0或x>1;(1)3;(3)P(0,- )或P(0,)或P(0,6)或P(0,).
【解析】
(1)利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据图象,当自变量取相同的值时,函数图象对应的点在上边的函数值大,据此即可确定;
(1)设一次函数交y轴于D,根据S△ABO=S△DBO+S△DAO即可求解;
(3)求得OA的长度,分O是顶角的顶点,和A是顶角顶点,以及OA是底边三种情况进行讨论即可求解.
【详解】
解:(1)∵A(1,1)在反比例函数图象上,∴k=1,
∵B(n,-1)在y=的图象上,
∴n=-1.
∵A(1,1),B(-1,-1)在一次函数y=mx+b图象上,
∴,
解得m=1,b=2.
∴两函数关系式分别是:y=和y=x+2.
(2)由图象得:当-1<x<0或x>1时,一次函数的值大于反比例函数的值;
(1)设一次函数y=x+2交y轴于D,则D(0,2),则OD=2,
∵A(1,1),B(-1,-1)
∴S△DBO=×1×2=1,S△DAO=×1×2=1
∴S△ABO=S△DBO+S△DAO=3.
(3)OA= = ,
O是△AOP顶角的顶点时,OP=OA,则P(0,- )或P(0,),
A是△AOP顶角的顶点时,由图象得, P(0,6),
OA是底边,P是△AOP顶角的顶点时,
设 P(0,x),分别过A、P作AN⊥x轴于N,PM⊥AN于M,
则AP=OP=x,PM=1,AM=1-x,
在Rt△APM中, 即
解得x= ,
∴P(0,).
故答案为:(1)y=,y=x+2;(2)-1<x<0或x>1;(1)3;(3)P(0,- )或P(0,)或P(0,6)或P(0,).
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法求函数解析式,用待定系数法确定函数的解析式,是常用的一种解题方法.同时在求解面积时,要巧妙地利用分割法,将面积分解为两部分之和.
16、 (1)1;(2)y=﹣x+;(3)2<k≤1或﹣≤k<2;(1)(2,)或(2,).
【解析】
(1)根据A、B、C三点的坐标可得AC=3﹣1=2,BC=5﹣1=1,∠C=92°,再利用三角形面积公式列式计算即可;
(2)设直线AB的表达式为y=kx+b.将A(1,3),B(5,1)代入,利用待定系数法即可求解;
(3)由于y=kx+2是一次函数,所以k≠2,分两种情况进行讨论:①当k>2时,求出y=kx+2过A(1,3)时的k值;②当k<2时,求出y=kx+2过B(5,1)时的k值,进而求解即可;
(1)过C点作AB的平行线,交y轴于点P,根据两平行线间的距离相等,可知△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形,面积相等.根据直线平移k值不变可设直线CP的解析式为y=﹣x+n,将C点坐标代入,求出直线CP的解析式,得到P点坐标;再根据到一条直线距离相等的直线有两条,可得另外一个P点坐标.
【详解】
解:(1)∵A点坐标是(1,3),B点坐标是(5,1),C点坐标是(1,1),
∴AC=3﹣1=2,BC=5﹣1=1,∠C=92°,
∴S△ABC=AC•BC=×2×1=1.
故答案为1;
(2)设直线AB的表达式为y=kx+b.
∵A点坐标是(1,3),B点坐标是(5,1),
∴,解得,
∴直线AB的表达式为y=﹣x+;
(3)当k>2时,y=kx+2过A(1,3)时,
3=k+2,解得k=1,
∴一次函数y=kx+2与线段AB有公共点,则2<k≤1;
当k<2时,y=kx+2过B(5,1),
1=5k+2,解得k=﹣,
∴一次函数y=kx+2与线段AB有公共点,则﹣≤k<2.
综上,满足条件的k的取值范围是2<k≤1或﹣≤k<2;
(1)过C点作AB的平行线,交y轴于点P,此时△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形,所以面积相等.
设直线CP的解析式为y=﹣x+n,
∵C点坐标是(1,1),
∴1=﹣+n,解得n=,
∴直线CP的解析式为y=﹣x+,
∴P(2,).
设直线AB:y=﹣x+交y轴于点D,则D(2,).
将直线AB向上平移﹣=2个单位,得到直线y=﹣x+,与y轴交于点P′,此时△ABP′与△ABP是同底等高的两个三角形,所以△ABP与△ABC面积相等,易求P′(2,).
综上所述,所求P点坐标是(2,)或(2,).
故答案为(2,)或(2,).
本题考查了三角形的面积,待定系数法求一次函数的解析式,一次函数图象与系数的关系,一次函数图象上点的坐标特征,直线平移的规律等知识,直线较强,难度适中.利用数形结合、分类讨论是解题的关键.
17、(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据矩形的性质可得AD=BC,AB=DC,AD∥BC,∠BAD=90°,从而得出∠GDB=∠DBC,然后根据折叠的性质可得BC= BC′,∠GBD=∠DBC,从而得出AD= BC′,∠GBD=∠GDB,然后根据等角对等边可得GD=GB,即可证出结论;
(2)设GD=GB=x,利用勾股定理列出方程即可求出GD的长,然后根据三角形的面积公式求面积即可.
【详解】
(1)证明:∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC,AB=DC,AD∥BC,∠BAD=90°
∴∠GDB=∠DBC
由折叠的性质可得BC= BC′,∠GBD=∠DBC
∴AD= BC′,∠GBD=∠GDB
∴GD=GB
∴AD-GD= BC′-GB
∴AG=C′G;
(2)解:设GD=GB=x,则AG=AD-GD=8-x
在Rt△ABG中
即
解得:
即
∴S△BDG=
此题考查的是矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理和求三角形的面积,掌握矩形的性质、折叠的性质、等角对等边、利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.
18、 (1)a=20,b=15;(2)该班学生这一周帮助父母做家务时间的平均数约为1.68小时;(3)符合实际,理由见解析.
【解析】
(1)读图可知:C等级的频率为40%,总人数为50人,可求出a,则b也可得到;
(2)借助求出的a b的值,可估计出该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间;
(3)求得中位数后,根据中位数的意义分析.
【详解】
(1)a=50×40%=20,b=50-2-10-20-3=15;
(2)由“中值法”可知,=1.68(小时),
答:该班学生这一周帮助父母做家务时间的平均数约为1.68小时;
(3)符合实际.
设中位数为m,根据题意,m的取值范围是1.5≤m<2,因为小明帮父母做家务的时间大于中位数.所以他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多.
本题考查读频数分布直方图、扇形图的能力和利用统计图获取信息的能力,加权平均数的计算以及中位数的应用.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、 (3,0)
【解析】
试题分析:此类问题是初中数学的重点,是中考中比较常见的知识点,一般难度不大,需熟练掌握.
【详解】
根据点A的坐标即可确定正方形的边长,从而求得点C的坐标.
∵正方形ABCD,点A的坐标是(-1,4)
∴点C的坐标是(3,0).
考点:坐标与图形性质.
20、
【解析】
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案.
【详解】
原式=,
故答案为:.
本题考查了二次根式的乘法运算,正确化简二次根式是解题关键.
21、2
【解析】
根据正比例函数的定义即可求解.
【详解】
依题意得a-1=1,解得a=2
此题主要考查正比例函数的定义,解题的关键是熟知正比例函数的特点.
22、x=1
【解析】
【分析】一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解.
【详解】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(1,0),
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=1,
故答案为:x=1.
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系.任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 (a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
23、
【解析】
根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积,因为△ABC的面积是菱形面积的一半,根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积.
【详解】
设AP,EF交于O点,
∵四边形ABCD为菱形,
∴BC∥AD,AB∥CD.
∵PE∥BC,PF∥CD,
∴PE∥AF,PF∥AE.
∴四边形AEFP是平行四边形.
∴S△POF=S△AOE.
即阴影部分的面积等于△ABC的面积.
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半,
菱形ABCD的面积=ACBD=5,
∴图中阴影部分的面积为5÷2=.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(1)画图见解析;B′(﹣6,2),C′(﹣4,﹣2);(2)(-2x,-2y)
【解析】
(1)延长BO,CO,在延长线上分别截取OB′=2OB,OC′=2OC,连接B'C',即可得到放大2倍的位似图形△OB'C';再根据各点的所在的位置写出点的坐标即可;(2)M点的横坐标、纵坐标分别乘以-2即可得M′的坐标.
【详解】
解:(1)如图(2分)
B′(﹣6,2),C′(﹣4,﹣2)
(2)M′(﹣2x,﹣2y).
本题考查位似变换,利用数形结合思想解题是关键.
25、米
【解析】
由题意得,在直角三角形中,知道了两直角边,运用勾股定理直接解答即可求出斜边.
【详解】
解:∵AC=4米,BC=3米,∠ACB=90°,
∴折断的部分长为=5,
∴折断前高度为5+3=8(米).
此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力.
26、(1);(2);(3)不等式组的整数解是0.
【解析】
(1)先把二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;
(2)利用完全平方公式和平方差公式计算;
(3)分别解两个不等式得到和x<1,然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集,从而得到不等式组的整数解
【详解】
解:(1)原式;
(2)原式;
(3)
解不等式①得,;
解不等式②得,,
∴不等式组的解集为,
∴不等式组的整数解是0.
本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍,也考查了解不等式组.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
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