初中冀教版（2024）第二章 几何图形的初步认识2.3 线段长短的比较精品综合训练题

这是一份初中冀教版（2024）第二章 几何图形的初步认识2.3 线段长短的比较精品综合训练题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，AB=10，点C、D分别是线段AB上两点(CD>AC,CD>BD)，用圆规在线段CD上分别截取CE=AC，DF=BD，若点E与点F恰好重合，则CD的长度为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
2.把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是( )
A. 过一点有无数条直线B. 两点确定一条直线
C. 两点之间线段最短D. 线段是直线的一部分
3.在直线上任取一点A，截取AB=6cm，再截取AC=14cm，则AB的中点D与AC的中点E之间的距离为( )
A. 4cmB. 8cmC. 4cm或10cmD. 3cm或8cm
4.如图，已知A、B两个城镇之间有两条线路，线路①：隧道公路线段AB；线路②：普通公路折线段AC−CB，我们知道，线路①的路程比线路②的路程小；理由既可以是两点之间，线段最短，还可以是
A. 垂线段最短B. 直角三角形，斜边大于直角边
C. 两点之间，直线最短D. 三角形两边之和大于第三边
5.为了比较线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，结果点B在CD的延长线上，则( )
A. ABCDC. AB=CDD. 以上都有可能
6.如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB的中点，现给出下列结论：①CD=AC−DB，②CD=14AB，③CD=AD−BC，④BC=2AD−AB，其中正确的结论是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ②③④D. ②③
7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是( )
A. 3 2−1B. 7−1C. 3−1D. 2
8.如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=6，点P为平面内一点，且BP=2，点Q为CD上一个动点，则AQ+PQ的最小值为( )
A. 11B. 5 2−2C. 103−2D. 13
9.如图，在平面直角坐标系中，圆心为H(x,y)的动圆经过点A(0,3)且始终与x轴相切，切点为B，与y轴交于点C，连接AB、BC、AH.则有3个结论：
①∠HAB=∠BAO；
②AB2+BC2=4AH2；
③y=16x2+32；
其中正确的个数是( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
10.小王准备从A地去往B地：如图，导航提供的三条可选路线长分别为131km、108km、128km;但实际A、B两地之间的距离为95.5km.请你试着说明“导航提供的三条路线长度都大于95.5km”这一现象的数学知识是( )
A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短
C. 两点之间，直线最短D. 两点确定一条直线
11.如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若∠BAC=50°，OD=5，点O到直线AC的距离是5，则可求得∠1的度数是25°，其依据可从下列条件中选择：①角的平分线的定义；②角的平分线的性质；③角的平分线的判定；④点到直线的距离的定义；⑤两点之间，线段最短.则下列选择正确的是( )
A. ①③④B. ②③④C. ①②③④D. ①②③④⑤
12.如图1，A，B两个村庄在一条河1(不计河的宽度)的两侧，现要建一座码头，使它到A，B两个村庄的距离之和最小，如图2中的点C即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是( )
A. 两直线相交只有一个交点B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短D. 经过一点有无数条直线
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是−9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB=1，则C点表示的数是________．
14.如图，在数轴上，点A表示的数为−1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为 ．
15.延长线段AB至点C，使得BC=13AB，点D为线段AC的中点，且DC=6cm，则AB的长是______cm．
16.如图已知AE=10，若想求得图中所有线段长度和，只需知道图中的线段______；此时所有线段长度和为______(用第一空线段表示)．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，C为线段AB上一点，M为AC的中点，N为BC的中点，其中AC=6，AC0)．
①求点M，N对应的数(用含t的式子表示)；
②t为何值时，OM=2BN？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．由作图可得点C和点D分别是AE、BF的中点，再根据线段中点的定义可得答案．
【解答】
解：∵CE=AC，DF=BD，点E与点F恰好重合，
∴点C和点D分别是AE、BF的中点，
∴CE=12AE，DF=12BF，
∵AB=10，
∴CD=CE+DF=12AE+12BF=12AB=5．
故选C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，利用线段的性质是解题关键．
根据线段的性质，可得答案．
【解答】
解：把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是两点之间线段最短，
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：①B，C在点A同侧时如图，
∵D是AB的中点，E是AC的中点，
∴AD=12AB=3cm，AE=12AC=7cm，
∴DE=AE−AD=7−3=4(cm)；
②B，C在点A两侧时如图，
∵D是AB的中点，E是AC的中点，
∴AD=12AB=3cm，AE=12AC=7cm，
∴DE=AE+AD=7+3=10(cm)．
综上：D与E之间距离为4cm或10cm，
故选：C．
画出图形，得出两种情况，分别求出AE和AD长，即可求出答案．
本题考查了求两点之间距离的应用，注意要进行分类讨论．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是线段的性质，三角形三边关系有关知识，根据三角形三边的关系即可得出答案
【解答】
解：线路①的路程比线路②的路程小；理由既可以是两点之间，线段最短，还可以是三角形两边之和大于第三边
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了线段的长短比较，
根据线段的长短比较，点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，可得答案．
【解答】
解：由点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，得AB>CD．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】解：∵点C为线段AB的中点，D为CB的中点，
∴AC=BC=12AB,CD=BD=12BC，
∴CD=BC−BD=AC−BD，CD=14AB，故①②正确；
∵CD=AD−AC，
∴CD=AD−BC，故③正确；
∵AD=AC+CD=12AB+12BC，
∴BC=2AD−AB，故④正确；
故选：A．
先由线段中点的定义得到AC=BC=12AB,CD=BD=12BC，则CD=BC−BD=AC−BD，CD=14AB，即可判断①②；根据CD=AD−AC即可判断③；根据AD=AC+CD=12AB+12BC即可判断④．
本题主要考查了两点间的距离，解答本题的关键是熟练掌握两点间的距离公式．
7.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了菱形的性质，翻折变换，勾股定理以及含30°角的直角三角形性质，得出A′点位置是解题关键.过点M作MF⊥DC交CD的延长线于点F，根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用勾股定理和含30°角的直角三角形性质即可求出A′C的长．【解答】
解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上，
过点M作MF⊥DC交CD的延长线于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=12MD=12，
∴CF=CD+DF=52，FM= DM2−DF2= 32，
∴MC= FM2+CF2= 7，
∴A′C=MC−MA′= 7−1．
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等有关知识，，由已知得点P在以B为圆心，2为半径的⊙B上，延长AD到A′，使DA′=DA=6，连接QA′，连接BA′交⊙B于点P′，推出AQ+PQ的最小值为A′B−2，再根据勾股定理求出A′B的长即可解决问题．
【解答】
解：∵点P为平面内一点，且BP=2，
∴点P在以B为圆心，2为半径的⊙B上，
延长AD到A′，使DA′=DA=6，连接QA′，连接BA′交⊙B于点P′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD垂直平分AA′，
∴QA′=QA，
∵AQ+PQ=A′Q+PQ+PB−P′B≥A′B−P′B=A′B−2，
∴AQ+PQ的最小值为A′B−2，
在Rt△A′AB中，
A′A=2AD=12，AB=5，
由勾股定理，得A′B= A′A2+AB2= 122+52=13，
∴AQ+PQ的最小值为A′B−2=13−2=11
9.【答案】D
【解析】解：连接HB，HC，
则有HB=HA=HC，
∴HB2=HA2，∠HBA=∠HAB，
∴y2=(x−3)2+(y−3)2，整理得：y=16x2+32，故③正确；
∵HB⊥x，
∴HB//y轴，
∴∠HBA=∠BAO，
∴∠HAB=∠BAO，故①正确；
延长BH交⊙H于点D，连接AD，
∵HB//y，
∴BC=AD，
∴BC=AD，
∵BD为⊙H直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：AD2+AB2=BD2，
∴AB2+BC2=4AH2，故②正确；
综上①②③正确，共3个，
故选：D．
连接HB，HC，延长BH交⊙H于点D，连接AD，则HB=HA=HC，根据两点间的距离得y2=(x−3)2+(y−3)2判断③；由HB//y轴得∠HBA=∠BAO即可判断①；由圆周角定理即可判断②．
此题考查了圆周角定理，两点间的距离和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是线段的性质的有关知识，根据线段的性质：两点之间、线段最短即可解答．
【解答】
解：“导航提供的三条路线长度都大于95.5km”这一现象的数学知识是两点之间，线段最短
11.【答案】C
【解析】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，OD=5，
∴OE=OD=5，
∵点O到直线AC的距离是5，
∴OF=5，
∴OE=OF，
∴点O在∠BAC的角平分线上，
∴∠1=12∠BAC=12×50°=25°．
故选：C．
点到直线的距离的定义作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的定义，利用角平分线的性质即可求得OE=OD=5，利用角的平分线的判定得到OA是∠BAC的角平分线，即可求得∠1的度数是25°．
本题主要考查了角的平分线的判定与性质，点到直线的距离，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
利用线段的性质解答即可．
【解答】
解：图2中所示的C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是两点之间，线段最短．
故选：C．
13.【答案】−2
【解析】【分析】
本题主要考查数轴，解决此题的关键是能利用数轴的对折找到距离相同的点．先根据折叠得出折叠后的A点表示的数，再根据折叠的特点可得点C表示的数．
【解答】
解：由题可知，A折叠后的点表示的数为4+1=5，
所以数−9与数5到C点的距离相等，
所以A折叠后的点到C点的距离是7，
所以C点表示的数应为：5−7=−2，
故答案为：−2．
14.【答案】−6
【解析】【分析】
本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．
先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．
【解答】
解：设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为−1和4，点B关于点A的对称点是点C，
∴AB=4−(−1)，AC=−1−x，
根据题意AB=AC，
∴4−(−1)=−1−x，
解得x=−6．
故答案为：−6．
15.【答案】9
【解析】解：如图，
∵D为AC的中点，且DC=6cm，
∴AC=2DC=2×6=12(cm)，
∵AB+BC=AC，BC=13AB，
∴AB+13AB=12，
∴AB=9(cm)．
故答案为：9．
根据线段中点的定义，由D为AC的中点，DC=6cm可得到AC=2DC=2×6=12(cm)，由于AB+BC=AC，而BC=13AB，则AB+13AB=12，解方程即可求出AB的长度．
本题考查与线段中点有关的计算，正确进行计算是解题关键．
16.【答案】BD的长度 40+2BD
【解析】解：∵AE=10，∴以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和为：
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=(BC+CD)+(AB+BE)+(AC+DE)+(AD+DE)+AE+BD
=BD+AE+AE+AE+AE+BD
=40+2BD，
∴若想求得图中所有线段长度和，只需知道图中的线段BD的长度；此时所有线段长度和为40+2BD．
故答案为：BD的长度；40+2BD．
找出图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段，求出所有线段的和即可．
本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)∵M为AC中点，AC=6，
∴MC=12AC=3，
∵N为CB中点，BC=10，
∴CN=12CB=5，
∴MN=MC+CN=3+5=8．
(2)∵M为AC中点，AC=6，
∴MC=12AC=3，
∴MD=MC+CD=3+CD，
∵2CD=BN−3，
∴BN=2CD+3，
∵N为CB中点，
∴CN=NB=2CD+3．
∴DN=CN−CD=2CD+3−CD=CD+3，
∴MD=DN，
∴D为MN中点．
【解析】(1)根据线段中点的性质得出MC，NC，进而根据MN=MC+CN即可求解；
(2)根据线段中点的性质，分别表示出MD，DN，得出MD=DN，即可求解．
本题考查了线段的和差，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．
18.【答案】解：∵M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，
∴MC=12AC，CN=12BC，
∴MN=12AC+12BC=12(AC+BC)=12AB=12×16=8(cm)．
【解析】据线段中点的概念分别求出MC=12AC、CN=12BC，结合图形计算即可．
本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图：点C、D即为所求；
(2)∵BC=AB，AD=2AB，
∴CD=4AB=4BC=m，
∴BC=14m，
∴BD=CD−BC=34m.
【解析】(1)根据线段的和差作图；
(2)根据线段的和差求解．
本题考查了复杂作图，掌握线段的和差是解题的关键．
20.【答案】30或90 15或45 45或135 m+n2或|m−n|2
【解析】解：(1)如图1，∠AOB=60°，∠BOC=30°，
∴则∠AOC=60°−30°=30°，
∴12∠AOC=12×30°=15°；
如图2，∠AOB=60°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=60°+30°=90°，
∴12∠AOC=12×90°=45°；
故答案为：30或90，15或45；
(2)OM、ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，∠AOC=90°，如图3，
∵OM、ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，
∴∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOC，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=12(∠AOB+∠BOC)=12∠AOC，
∵∠AOC=90°，
∴∠MON=45°；
如图4，
∵OM、ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，
∴∠BOM=12AOB，∠BON=12∠BOC，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=12(∠AOB+∠BOC)，
∵∠AOB+∠BOC=360°−∠AOC=270°，
∴∠MON=12×270°=135°；
故答案为：45或135；
(3)我选择图①：
猜想：∠DOE=12∠AOB．
理由如下：
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOC=12∠AOC，∠EOC=12∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC−∠EOC，
=12∠AOC−12∠BOC，
=12∠AOB；
我选择图②：
猜想：∠DOE=12∠AOB．
理由如下：
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOC=12∠AOC，∠EOC=12∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC，
=12∠AOC+12∠BOC
=12∠AOB；
(4)当点B位于点A、C间时，如图，AB=m，BC=n，
∴AC=m+n，
∴12AC=m+n2；
当点B位于点A、C间外，如图，AB=m，BC=n，
∴AC=|m−n|，
∴12AC=|m−n|2；
故答案为：m+n2或|m−n|2．
(1)分30°的角在60°的内部和外部两种情况求解即可；
(2)分两种情况求解即可；
(3)利用角平分线性质分图①或图②分别说明；
(4)分点B位于点A、C间和点B位于点A、C外两种情况求解即可．
本题考查了新定义，以及角平分线的有关计算，根据题意画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
21.【答案】解：设AB=x，BC=y，则CD=2x+3．
(1)∵C是AD中点，
∴AC=CD，
∴x+y=2x+3
∴y−x=3，即BC−AB=3．
(2)∵BC=14AD，即AB+CD=3BC，
∴x+2x+3=3y，
∴y−x=1，即BC−AB=1．
(3)设AP=m，∵AP+AC=DP，
∴m+x+y=2x+3+x+y−m，
∴m−x=32，即BP=m−x=32．
【解析】设AB=x，BC=y，则CD=2x+3．
(1)根据AC=CD构建方程即可解决问题；
(2)根据AB+CD=3BC，构建方程即可解决问题；
(3)设BP=m，根据AP+AC=DP，构建方程即可解决问题；
本题考查两点间距离，线段的中点、线段的和差定义等知识，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键，学会利用参数构建方程解决问题．
22.【答案】【小题1】
A对应的数是−10，B对应的数是2；
【小题2】
①AP=6t，CQ=3t，
M是AP的中点，CN=13CQ，
∴AM=12AP=3t，CN=13CQ=t，
点M所对应的数是−10+3t，N点所对应的数是6+t；
②由题意，知BN=BC+CN=4+t，
则|−10+3t|=2(4+t)，
解得t=18或t=25，
当t=18秒或t=25秒时，OM=2BN．

【解析】1. 见答案
2. 见答案