2023-2024学年河南省平顶山市宝丰县五校联盟八年级（上）月考数学试卷（9月份）

这是一份2023-2024学年河南省平顶山市宝丰县五校联盟八年级（上）月考数学试卷（9月份），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
2．（3分）下列各数：，，23，π﹣3.14，，﹣0.1010010001，其中无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．7，8，10B．8，24，25C．8，15，17D．5，10，13
4．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．×＝C．3﹣＝3D．＝﹣3
6．（3分）下列说法中，正确的个数是（ ）
①﹣8的立方根是﹣2；
②81的算术平方根是±9；
③的立方根是；
④﹣的平方根是±．
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，根据作图的痕迹可知，点C表示的实数为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长为10的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．5≤a≤6B．3≤a≤4C．2≤a≤3D．1≤a≤2
9．（3分）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．2b﹣cB．c﹣2bC．c﹣2aD．2a﹣c
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝2，点D在AC上，将△ABD沿
BD折叠，点A落在点A'处，A'B与AC相交于点E，则A'E的最大值为（ ）
A．2B．C．D．8﹣3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小： （填“＞”“＜”“＝”）．
12．（3分）若一个正数的两个平方根分别是x﹣2和2x+1，则x＝ ．
13．（3分）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为64时，输出的y等于 ．
14．（3分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为 ．
15．（3分）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 cm．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（10分）求出下列等式中x的值：
（1）4x2﹣12＝0；
（2）（x﹣1）3﹣3＝．
18．（10分）已知，，求下列代数式的值．
（1）a2+b2+2ab；
（2）a2﹣b2．
19．（8分）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab++e2+的值．
20．（9分）如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为x m．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为 m；
（2）求这棵树高有多少米？
21．（9分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ．
（2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形．
22．（9分）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题：
（1）的整数部分是 ，的小数部分是 ．
（2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b﹣+1．
（3）若7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求的值．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
2023-2024学年河南省平顶山市宝丰县五校联盟八年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得x﹣2≥0，
解得x≥2，
即x的取值范围是x≥2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
2．（3分）下列各数：，，23，π﹣3.14，，﹣0.1010010001，其中无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：23，＝﹣2，这是整数，属于有理数；
﹣0.1010010001是有限小数，属于有理数；
无理数有，，π﹣3.14，共有3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．7，8，10B．8，24，25C．8，15，17D．5，10，13
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
【解答】解：A．72+82≠102，∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵82+242≠252，∴不是勾股数，不符合题意；
C．∵82+152＝172，∴是勾股数，符合题意；
D．∵52+102≠132，∴不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
4．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、＝＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C、是最简二次根式；
D、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：C．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．×＝C．3﹣＝3D．＝﹣3
【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝＝，所以B选项正确；
C、原式＝，所以B选项错误；
D、原式＝|﹣3|＝3，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
6．（3分）下列说法中，正确的个数是（ ）
①﹣8的立方根是﹣2；
②81的算术平方根是±9；
③的立方根是；
④﹣的平方根是±．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个进行判断即可．
【解答】解：①﹣8的立方根是﹣2，因此①正确；
②81的算术平方根是9，因此②不正确；
③的立方根是，因此③正确；
④﹣没有平方根，因此④不正确；
因此正确的结论有：①③，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
7．（3分）如图，根据作图的痕迹可知，点C表示的实数为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用基本作图得到OB＝OC，AB＝2，再利用勾股定理计算出OB，从而得到OC的长，然后利用数轴表示数的方法得到点C表示的实数．
【解答】解：作图的痕迹得OB＝OC，AB＝2，
∵OB＝＝＝，
∴OC＝，
∴C点表示的数为．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了实数与数轴．
8．（3分）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长为10的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．5≤a≤6B．3≤a≤4C．2≤a≤3D．1≤a≤2
【分析】画出图形，使BC为饮料罐的底面直径，D为底面圆心，A为上底面中心，作射线BA、射线DA，则∠ADB＝90°，先根据勾股定理求出吸管在罐内的最大长度AB的值，当吸管底端与点B重合时，则露在罐外部分最短；当吸管底端与点D重合时，则露在罐外部分最长，分别求出相应的a的值即可．
【解答】解：如图，BC为饮料罐的底面直径，D为底面圆心，A为上底面中心，作射线BA、射线DA，
∴AD⊥BC，AD＝4cm，BD＝CD＝3cm，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝5（cm），
当吸管底端与点B重合时，则露在罐外部分a最短，此时a＝10﹣5＝5（cm）；
当吸管底端与点D重合时，则露在罐外部分a最长，此时a＝10﹣4＝6（cm），
∴a的取值范围是5≤a≤6，
故选：A．
【点评】此题重点考查勾股定理及其应用，正确地画出图形并且根据勾股定理求出吸管在罐内的最大长度是解题的关键．
9．（3分）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．2b﹣cB．c﹣2bC．c﹣2aD．2a﹣c
【分析】先根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，再根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b|
＝a+b﹣c﹣（b﹣a）
＝a+b﹣c﹣b+a
＝2a﹣c，
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系是解题关键．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝2，点D在AC上，将△ABD沿
BD折叠，点A落在点A'处，A'B与AC相交于点E，则A'E的最大值为（ ）
A．2B．C．D．8﹣3
【分析】首先利用勾股定理求出AC，然后确定A'E取最大值时BE最小，然后利用垂线段最短解决问题．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝2，
∴AC＝＝6，
∵A'E＝A′B﹣BE，A′B＝AB＝8，
∴当BE最小时，A'E最大，
当BE⊥AC时BE最小，
而S△ABC＝×AB×BC＝×BE×AC，
∴BE的最小值为，
∴A'E的最大值为8﹣＝．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小： ＞ （填“＞”“＜”“＝”）．
【分析】因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．
【解答】解：∵﹣1＞1，
∴＞．
故填空结果为：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
12．（3分）若一个正数的两个平方根分别是x﹣2和2x+1，则x＝ ．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数解答即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是x﹣2和2x+1，
∴x﹣2+2x+1＝0，
解得x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
13．（3分）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为64时，输出的y等于 2 ．
【分析】将x＝64代入该计算程序进行求解．
【解答】解：＝8，＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了按照计算程序求有理数的算术平方根的能力，关键是能准确理解并运用计算程序进行正确地计算．
14．（3分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为 x2+32＝（10﹣x）2 ．
【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：设AC＝x，
∵AC+AB＝10，
∴AB＝10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．
故答案为：x2+32＝（10﹣x）2．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
15．（3分）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 25 cm．
【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20cm，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝25（cm）；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25（cm），AD＝10cm，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5（cm）；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30（cm），
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5（cm）；
∵25＜5＜5
∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm．
故答案为：25．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算二次根式的除法和乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差和完全平方公式展开，再计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝+﹣
＝+﹣
＝3+2﹣
＝5﹣；
（2）原式＝5﹣22+12+4+1
＝5﹣4+12+4+1
＝14+4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解答本题的关键．
17．（10分）求出下列等式中x的值：
（1）4x2﹣12＝0；
（2）（x﹣1）3﹣3＝．
【分析】（1）将方程变形成x2＝3，用平方根即可解得答案；
（2）将方程变形成（x﹣1）3＝，用立方根即可解得答案．
【解答】解：（1）4x2﹣12＝0
4x2＝12，
x2＝3，
∴x＝或x＝﹣；
（2））（x﹣1）3﹣3＝，
（x﹣1）3＝，
x﹣1＝，
∴x＝．
【点评】本题考查用平方根、立方根概念解方程，解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．
18．（10分）已知，，求下列代数式的值．
（1）a2+b2+2ab；
（2）a2﹣b2．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据平方差公式把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝（+2）+（﹣2）＝2，
∴a2+b2+2ab
＝（a+b）2
＝（2）2
＝28；
（2）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
19．（8分）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab++e2+的值．
【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d，ab及e的值，代入计算即可．
【解答】解：由题意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝±，f＝64，
∴e2＝（±）2＝2，，
∴ab++e2+＝+0+2+4＝6．
【点评】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（9分）如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为x m．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为 15﹣x m；
（2）求这棵树高有多少米？
【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA＝BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．
【解答】解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，
即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，
故答案为：15﹣x；
（2）∵∠C＝90°，
∴AD2＝AC2+DC2，
∴（15﹣x）2＝（x+5）2+102，
∴x＝2.5，
∴CD＝5+2.5＝7.5，
答：树高7.5米．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出BD+DA＝BC+CA的等量关系并根据直角△ACD求BD是解题的关键．
21．（9分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）线段AC的长为 2 ，CD的长为 ，AD的长为 5 ．
（2）通过计算说明△ACD是什么特殊三角形．
【分析】（1）把线段AC、CD、AD放在直角三角形中利用勾股定理计算即可；
（2）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）AC＝＝；
CD＝＝；
AD＝＝5．
故答案为：，，5；
（2）由（1）知AC2＝20，CD2＝5，AD2＝25，
∴AC2+CD2＝AD2，
故△ACD是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
22．（9分）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题：
（1）的整数部分是 3 ，的小数部分是 ﹣4 ．
（2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b﹣+1．
（3）若7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求的值．
【分析】（1）根据算术平方根的性质可确定的整数部分；先确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值；
（3）由得，从而得x＝9，，将x、y的值代入原式即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴的整数部分为3，
∵，
∴的整数部分为4，
∴的小数部分为，
故答案为：3，；
（2）∵，a是的整数部分，
∴a＝9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，即，
∵，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝9，，
∴．
【点评】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；
（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
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