湖南省长沙市雅礼集团2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷及解析版）

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1.下列各数中，是无理数的是（ ）
A.B.πC.D.0
2.下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
3.2022年，长沙市全年地区生产总值约1400000000000元，比上年增长．其中数据1400000000000用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
4.下列计算正确的是（ ）
A.x2×x3=x5 B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
6.已知的半径是，点到同一平面内直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A.相交B.相切C.相离D.无法判断
7.如图，是的直径，若，则的度数是（ ）．

A.B.C.D.
8.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ）
A.4B.C.2D.
9.广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A.B.C.D.
10.如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，有下列结论：①；②；③平分；④；⑤； ⑥．其中一定成立的是（ ）.
A ②④⑤⑥B.①③④⑤C.②③④⑥D.①③⑤⑥
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11.因式分解：_______________________．
12.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到班上某位学生的5天睡眠时间（单位：小时）如下：10，9，10，8，8，则该学生这5天的平均睡眠时间是 __小时．
13.若式子有意义，则x的取值范围是_______．
14.若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________．
15.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．
16.如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到△CBF．若，则__________度．

三．解答题（共9小题，第17．18．19题每题6分，第20．21题每题8分，第22．23题每题9分，24．25题每题10分）
17.计算：．
18.先化简，再求值：，其中．
19.在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，

（1）画出关于直线对称的；
（2）画出，使与关于点成中心对称；
（3）与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心．
20.为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：n= ，m= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 度；
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
21.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
22.某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料．其中型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等．
（1）求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
（2）若每台型，型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进，两种机器人共台，工厂现有资金万元，则最多可购进型机器人多少台？
23.如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
24.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在中，，，，，且，若奇异三角形，求．
（3）如图，是的直径，点是上一点（不与点重合），是半圆 的中点，在直径的两侧，若在内存在点，使．求证：是奇异三角形．
25.如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，点M是抛物线上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接，若，求m的值；
（3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线．点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标．