2024-2025学年四川省简阳市数学九年级第一学期开学监测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年四川省简阳市数学九年级第一学期开学监测试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知y与（x﹣1）成正比例，当x＝1时，y＝﹣1．则当x＝3时，y的值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
2、（4分）甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、7元、8元，若将甲种8千克，乙种10千克，丙种3千克混在一起，则售价应定为每千克( )
A．7元B．6.8元C．7.5元D．8.6元
3、（4分）如图，在四边形中，，点分别为线段上的动点(含端点，但点不与点重合)，点分别为的中点，则长度的最大值为( )
A．B．C．D．
4、（4分）某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）点(1,m)为直线上一点,则OA的长度为
A．1B．C．D．
6、（4分）在函数中，自变量x的取值范围是( )
A．B．C．D．
7、（4分）对于函数y＝-x＋1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象不经过第四象限B．y的值随x的增大而增大
C．它的图象必经过点（0，1）D．当x＞2时，y＞0
8、（4分）下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）两条平行线间的距离公式
一般地；两条平行线间的距离公式
如：求：两条平行线的距离．
解：将两方程中的系数化成对应相等的形式，得
因此，
两条平行线的距离是____________．
10、（4分）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
11、（4分）为了解某篮球队队员身高，经调查结果如下：3人，2人，2人，3人，则该篮球队队员平均身高是__________．
12、（4分）若在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝9，AD＝8，则四边形ABCD＝_____．
13、（4分）不等式的负整数解有__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：
(1)AD的长；
(2)△ABC的面积．
15、（8分）先化简，再求值：（+a﹣2）÷，其中a＝+1．
16、（8分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费，如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．
（1）若该城市某户6月份用水18吨，该户6月份水费是多少？
（2）设某户某月用水量为x吨（x＞20），应缴水费为y元，求y关于x的函数关系式．
17、（10分）如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，且OA=OB=OC，点P是边CD上的一个动点，连接OP，过点O作OQ⊥OP，交BC于点Q.
（1）求OB的长度；
（2）设DP= x，CQ= y，求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）若OCQ是等腰三角形，求CQ的长度.
18、（10分）E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形EFMN是什么图形？证明你的结论．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某车间5名工人日加工零件数依次为6、9、5、5、4，则这组数据的中位数是____．
20、（4分）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，连接，若，则平行四边形的面积为__________．
21、（4分）若方程的两根为，，则________．
22、（4分）如图，正方形的边长为6，点是上的一点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处，的延长线交于点，当时，则的长为________.
23、（4分）平行四边形ABCD中，∠A－∠B＝20°，则∠A＝______，∠B＝_______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算：（1）；（2）先化简，再求值：，其中
25、（10分）如图1，直线y＝﹣x+6与y轴于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，直线AB上的两点F、G，△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点G的坐标；
（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P、Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．
26、（12分）在梯形中，，点在直线上，联结，过点作的垂线，交直线与点，

（1）如图1，已知，：求证：；
（2）已知：，
① 当点在线段上，求证：；
② 当点在射线上，①中的结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，简述理由.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
利用待定系数法求出一次函数解析式，代入计算即可．
【详解】
解：∵y与（x-1）成正比例，
∴设y=k（x-1），
由题意得，-1=k（1-1），
解得，k=1，
则y=1x-4，
当x=3时，y=1×3-4=1，
故选：A．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解题的关键．
2、B
【解析】
根据加权平均数的计算方法：先求出所有糖果的总钱数，再除以糖果的总质量，即可得出答案．
【详解】
售价应定为：≈6.8(元)；
故选B．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是对加权平均数的理解不正确，而求6、7、8这三个数的平均数．
3、B
【解析】
连接BD、ND，由勾股定理得可得BD=5，由三角形中位线定理可得EF=DN，当DN最长时，EF长度的最大，即当点N与点B重合时，DN最长，由此即可求得答案.
【详解】
连接BD、ND，
由勾股定理得，BD==5
∵点E、F分别为DM、MN的中点，
∴EF=DN，
当DN最长时，EF长度的最大，
∴当点N与点B重合时，DN最长，
∴EF长度的最大值为BD=2.5，
故选B．
本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确分析、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
4、C
【解析】
由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，然后根据两边长均不小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选 ：C．
5、C
【解析】
根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得OA的长．
【详解】
【∵点A（1，m）为直线y=2x-1上一点，
∴m=2×1-1，
解得，m=1，
∴点A的坐标为（1，1），
故
故选：C．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和勾股定理解答．
6、B
【解析】
根据这一性质即可确定.
【详解】
解：
故选：B
本题考查了函数自变量的取值范围，由函数解析式确定自变量满足的条件是解题的关键.
7、C
【解析】
根据一次函数的图象及性质逐一进行判断即可．
【详解】
A，函数图象经过一、二、四象限，故该选项错误；
B，y的值随x的增大而减小，故该选项错误；
C，当时，，故该选项正确；
D，当时，，故该选项错误；
故选：C．
本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
8、C
【解析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果.
【详解】
解：A选项为偶次方和1的和，不能因式分解；
B选项不能因式分解；
C选项x2-2x+1=（x-1）2，可以因式分解；
D选项不能因式分解.
故选C.
本题题考查了因式分解一运用公式法，熟练掌握完全平方公式以及因式分解的概念是解本题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
试题分析：认真读题，可知A=3，B=4，C1=-10，C2=-5，代入距离公式为===1.
10、：k＜1．
【解析】
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△==4﹣4k＞0，
解得：k＜1，
则k的取值范围是：k＜1．
故答案为k＜1．
11、173.1．
【解析】
根据加权平均数的定义求解可得．
【详解】
解：（172×3+173×2+174×2+171×3）÷（3+2+2+3）
=（116+346+348+121）÷10
=1731÷10
=173.1（cm）
答：该篮球队队员平均身高是173.1cm．
故答案为：173.1．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
12、36
【解析】
根据题意作出图形，再根据平行四边形及含30°的直角三角形的性质进行求解.
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠A＝30°，DE⊥AB
∴DE＝AD＝4
∴S▱ABCD＝BA×DE＝9×4＝36
故答案为36
此题主要考查平行四边形的计算，解题的关键是作出图形求出DE.
13、-5、-4、-3、-2、-1
【解析】
求出不等式的解集，取解集范围内的负整数即可.
【详解】
解：移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
即
所以原不等式的负整数解为：-5、-4、-3、-2、-1
故答案为：-5、-4、-3、-2、-1
本题主要考查了求不等式的整数解，确定不等式的解集是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）AD＝3；（2）S△ABC＝9＋3.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形内角和可得∠DAC=45°，根据等角对等边可得AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出AD的长；
（2）根据三角形内角和可得∠BAD=30°，再根据直角三角形的性质可得AB=2BD，然后利用勾股定理计算出BD的长，进而可得BC的长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
解：(1)∵∠C＝45°，AD是△ABC的边BC上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.
∵AC2＝AD2＋CD2，∴62＝2AD2，∴AD＝3
(2)在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.
∵AB2＝BD2＋AD2，∴(2BD)2＝BD2＋AD2，BD＝.
∴S△ABC＝BC·AD＝ (BD＋DC)·AD＝×(＋3)×3＝9＋3.
15、，2﹣．
【解析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【详解】
解：原式＝
＝＝，
当a＝+1时，
原式＝＝2﹣．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
16、（1）该户6月份水费是45元；（2）y=3.3x-1．
【解析】
（1）每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费，而该城市某户6月份用水18吨，未超过20吨，根据水费=每吨水的价格×用水量，即可得出答案；
（2）如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费，设某户某月用水量为x吨，那么超出20吨的水量为（x-20）吨，根据水费=每吨水的价格×用水量，即可得出答案．
【详解】
解：（1）根据题意：该户用水18吨，按每吨2.5元收费，
2.5×18=45（元），
答：该户6月份水费是45元；
（2）设某户某月用水量为x吨（x＞20），超出20吨的水量为（x-20）吨，
则该户20吨的按每吨2.5元收费，（x-20）吨按每吨3.3元收费，
应缴水费y=2.5×20+3.3×（x-20），
整理后得：y=3.3x-1，
答：y关于x的函数关系式为y=3.3x-1．
本题考查的是一次函数的应用，理清题意，找出各数量间的数量关系，正确得出函数关系式是解题关键．
17、（1）5；（2）；（3）当或时，⊿OCQ是等腰三角形.
【解析】
(1)利用勾股定理先求出AC的长，继而根据已知条件即可求得答案；
(2)延长QO交AD于点E，连接PE、PQ ，先证明△AEO≌△CQO，从而得OE=OQ，AE=CQ=y，由垂直平分线的性质可得PE=PQ，即，在Rt⊿EDP中，有，在Rt⊿PCQ中，，继而可求得答案；
(3)分CQ=CO，OQ=CQ，OQ=OC三种情况分别进行讨论即可求得答案.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴OB=OA=OC=；
(2)延长QO交AD于点E，连接PE、PQ ，
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=6，AD=BC=8，AD//BC，
∴∠AEO=∠CQO，
在△COQ和△AOE中，
，
∴△AEO≌△CQO(SAS)，
∴OE=OQ，AE=CQ=y，
∴ED=AD-AE=8-y，
∵OP⊥OQ，
∴OP垂直平分EQ，
∴PE=PQ，
∴，
∵PD=x，
∴CP=CD-CP=6-x，
在Rt⊿EDP中，，
在Rt⊿PCQ中，，
∴，
∴；
(3)分三种情况考虑：
①如图，若CQ=CO时，此时CQ=CO=5；
②如图，若OQ=CQ时，作OF⊥BC，垂足为点F，
∵OB=OC，OF⊥BC，
∴BF=CF=BC=4，
∴，
∵OQ=CQ，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
③若OQ=OC时，此时点Q与点B重合，点P在DC延长线上，此情况不成立，
综上所示，当或时，⊿OCQ是等腰三角形.
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一次函数的应用等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
18、四边形EFMN是正方形．
【解析】
是正方形．可通过证明△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE，先得出四边形EFMN是菱形，再证明四边形EFMN中一个内角为90°，从而得出四边形EFMN是正方形的结论．
【详解】
解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形．
本题主要考查了正方形的性质和判定，灵活运用性质定理进行推理是解题关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据中位数的定义即可得．
【详解】
将这组数据按从小到大进行排序为
则其中位数是1
故答案为：1．
本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．
20、
【解析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据证明BC=BE，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF，即可求出平行四边形的面积.
【详解】
过点作于点，如图所示．
∵是的平分线，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴BC=BE,
∴，
∴．
∴平行四边形的面积为．
故答案为：.
此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.
21、1
【解析】
解：∵∴
∴或.∵，∴
∴
故答案为：1．
22、
【解析】
根据翻折变换的性质可得AN=AB，∠BAE=∠NAE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠F，从而得到∠NAE=∠F，根据等角对等边可得AM=FM，设CM=x，表示出DM、AM，然后利用勾股定理列方程求出x的值，从而得到AM的值，最后根据NM=AM-AN计算即可得解．
【详解】
∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，
∴AN=AB=6，∠BAE=∠NAE，
∵正方形对边AB∥CD，
∴∠BAE=∠F，
∴∠NAE=∠F，
∴AM=FM，
设CM=x，∵AB=2CF=8，
∴CF=3
∴DM=6−x，AM=FM=3+x，
在Rt△ADM中,由勾股定理得,，
即
解得x=，
所以,AM=3+=，
所以,NM=AM−AN=−6=
本题考查翻折变换，解题关键在于熟练掌握勾股定理的性质.
23、100°， 80°
【解析】
根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出∠A+∠B=180°，解方程组求出答案即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A-∠B=20°，
∴∠A=100°，∠B=80°，
故答案为：100°，80°．
本题考查了平行四边形的性质，能根据平行线得出∠A+∠B=180°是解此题的关键，注意：平行四边形的对边平行．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1） （2）3.
【解析】
（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值化简可以解答本题；
（2）根据异分母分式加减法法则可以化简题目中的式子，然后将x=2代入即可解答．
【详解】
解：（1），
=，
=.
（2），
=，
=，
=，
当x=-2时，原式==3.
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值以及分式的化简求值，属于基础题，熟记实数混合运算法则即可解题．
25、（1）B（3，0）（2）G（2，2）;（3）E（﹣2，0）．
【解析】
（1）根据题意可先求出点A和点D的坐标，然后根据勾股定理求出AD，设BC=OB=x，则BD=8-x，在直角三角形BCD中根据勾股定理求出x，即可得到点B的坐标；
（2）由点A和点B的坐标可先求出AB的解析式，然后作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，求证△DMG≌△FND，从而得到GM＝DN，DM＝FN，又因为G、F在直线AB上，进而可求点G的坐标；
（3）设点Q（a，-a+6），则点P的坐标为（a，-a+6），据此可求出PQ，作QH⊥x轴于H，可以把QH用a表示出来，在直角三角形中，根据勾股定理也可以用a把QH表示出来，从而求出a的值，进而求出点E的坐标.
【详解】
解：（1）对于直线y＝-x+6，令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6），
令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0），
∴AC＝AO＝6，OD＝8，AD＝＝10，
∴CD＝AD﹣AC＝4，设BC＝OB＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，∵BC2+CD2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴B（3，0）．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+6，
∵B（3，0），
∴3k+6＝0，
∴k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，
作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DG＝FD，∠1＝∠2，∠DMG＝∠FND＝90°，
∴△DMG≌△FND（AAS），
∴GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DN＝m，DM＝FN＝n，
∵G、F在直线AB上，
∴ ，
解得 ，
∴G（2，2）．
（3）如图，设Q（a，﹣a+6），
∵PQ∥x轴，且点P在直线y＝﹣2x+6上，
∴P（a，﹣a+6），
∴PQ＝a，作QH⊥x轴于H，
∴DH＝a﹣8，QH＝a﹣6，
∴＝，
由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，
∴QH＝DQ=PQ＝a，
∴a＝a﹣6，
∴a＝16，
∴Q（16，﹣6），P（6，﹣6），
∵ED∥PQ，ED＝PQ，D（8，0），
∴E（﹣2，0）．
一次函数解析式的综合运用是本题的考点，此题综合性比较强，用到了勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识点，能作出辅助线并熟练运用所学知识是解题的关键.
26、（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②结论仍然成立，证明见解析.
【解析】
（1）过F作FM⊥AD，交AD的延长线于点M，通过AAS证明△ABE≌△EMF，根据全等三角形的性质即可得出AB＝AD；
（2）①在AB上截取AG＝AE，连接EG．通过ASA证明△BGE≌△EDF，根据全等三角形的性质即可得出BE＝EF；
②
【详解】
（1）如图：
过F作FM⊥AD，交AD的延长线于点M，
∴∠M=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+MEF=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠MEF=∠ABE，
在△ABE和△EMF中，
，
∴△ABE≌△EMF(AAS)
∴AB=ME，AE=MF，
∵AM∥BC，∠C=45°，
∴∠MDF=∠C=45°，
∴∠DFM=45°，
∴DM=FM，
∴DM=AE，
∴DM+ED=AE+ED，
即AD=EM，
∴AB=AD；
（2）①证明：如图，
在AB上截取AG＝AE，连接EG，则∠AGE＝∠AEG，
∵∠A＝90°，∠A＋∠AGE＋∠AEG＝180°，
∴∠AGE＝45°，
∴∠BGE＝135°，
∵AD∥BC，
∴∠C＋∠D＝180°，
又∵∠C＝45°，
∴∠D＝135°，
∴∠BGE＝∠D，
∵AB＝AD，AG＝AE，
∴BG＝DE，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
又∵∠A＋∠ABE＋∠AEB＝180°，
∠AEB＋∠BEF＋∠DEF＝180°，
∠A＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
在△BGE与△EDF中，
，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE＝EF；
②结论仍然成立，证明如下，
如图：
延长BA到点G，使BG=ED，连接EG，
则△EAG是等腰直角三角形，
∴∠EGB=45°，
∵ED∥BC，∠C=45°，
∴∠FDE=45°，
∴∠FDE=45°，
∴∠EGB=∠FDE，
∵∠A=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥EB，
∴∠FED+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠FED，
在△BGE与△EFD中，
，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE＝EF.
本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，梯形的性质，全等三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分