2024-2025学年四川省自贡市富顺县数学九年级第一学期开学监测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年四川省自贡市富顺县数学九年级第一学期开学监测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
2、（4分）如图，在平行四边行 ABCD 中，AD＝8，点 E、F 分别是BD、CD 的中点， 则 EF 等于（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
3、（4分）下面四个应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（ ）
A．AO=OCB．AC=BDC．AC⊥BDD．BD平分∠ABC
5、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），m的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6、（4分）如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2）周长为p（m），一边长为a（m），那么S、p、a中，常量是（ ）
A．aB．pC．SD．p，a
7、（4分）直角三角形中，两直角边分别是6和8.则斜边上的中线长是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ）
A．8B．9C．10D．11
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）计算＝_____．
10、（4分）计算：____________．
11、（4分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，则PQ的长______．
12、（4分）已知，为实数，且满足，则_____.
13、（4分）观察下列各式：，，，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图①，将直角梯形放在平面直角坐标系中，已知，点在上，且，连结．
（1）求证：；
（2）如图②，过点作轴于，点在直线上运动，连结和．
①当的周长最短时，求点的坐标；
②如果点在轴上方，且满足，求的长．
15、（8分）如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
16、（8分）如图，直线l1：y=x-4分别与x轴，y轴交于A，B两点，与直线l2交于点C（-2，m）．点D是直线l2与y轴的交点，将点A向上平移3个单位，再向左平移8个单位恰好能与点D重合．
（1）求直线l2的解析式；
（2）已知点E（n，-2）是直线l1上一点，将直线l2沿x轴向右平移．在平移过程中，当直线l2与线段BE有交点时，求平移距离d的取值范围．
17、（10分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或.
（1）已知、，试求A、B两点间的距离______.
已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N两点的距离为______；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求出点P的坐标及的最短长度．
18、（10分）如图1，点O为正方形ABCD 的中心，E为AB 边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于 BC 的长.
（1）求∠EOF 的度数.
（2）连接 OA、OC（如图2）.求证：△AOE∽△CFO.
（3）若OE=OF，求的值.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=5，则BC=_____．
20、（4分）一根竹子高10尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是______尺.
21、（4分）若a=，b=，则=_______.
22、（4分）对于反比例函数，当时，其对应的值、、的大小关系是______．（用“”连接）
23、（4分）化简二次根式的结果是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么(a,b)=c，例如：因为21=8，所以(2,8)=1．
（1）根据上述规定，填空：
_____，_____；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下的证明：
设，则，即，
∴，即，
∴
请你尝试用这种方法证明下面这个等式：
25、（10分）某社区决定把一块长，宽的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边为何值时，活动区的面积达到?
26、（12分）甲、乙两名射击运动员各进行10次射击，甲的成绩是7，7，8，1，8，1，10，1，1，1．乙的成绩如图所示（单位：环）
（1）分别计算甲、乙两人射击成绩的平均数；
（2）若要选拔一人参加比赛，应派哪一位？请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据勾股定理可以得到AD和BD的长度，然后用AD+BD-AB的长度即为所求.
【详解】
根据题意可得BC=4cm，CD=3cm，根据Rt△BCD的勾股定理可得BD=5cm，则AD=BD=5cm，所以橡皮筋被拉长了（5+5）－8=2cm．
主要考查了勾股定理解直角三角形.
2、B
【解析】
分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=1，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=1．
∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF=BC=×1=2．
故选B．
点睛：本题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
3、A
【解析】
根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】
解：A、图形是中心对称图形；
B、图形不是中心对称图形；
C、图形不是中心对称图形；
D、图形不是中心对称图形，
故选：A．
本题考查的是中心对称图形的概念．掌握定义是解题的关键，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．
4、B
【解析】
分析：根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
详解：添加的条件是AC=BD．理由是：
∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．
故选B．
点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
5、D
【解析】
试题分析：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，由菱形ABCD，根据A与B的坐标确定出C坐标，进而求出CM与CN的值，确定出当点C落在△EOF的内部时k的范围，即可求出k的可能值．
解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，
∵菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，
∴CQ=AQ=1，CM=2，即AC=2AQ=2，
∴C（2，2），
当C与M重合时，k=CM=2；当C与N重合时，把y=2代入y=x+4中得：x=﹣2，即k=CN=CM+MN=4，
∴当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜4，
则k的值可能是3，
故选B
6、B
【解析】
根据常量的定义判断即可,常量就是不变的量，不随自变量的变化而变化.
【详解】
解：根据题意长方形的周长p＝60m，
所以常量是p，
故选：B．
本题主要考查常量的定义，是函数的基本知识点，应当熟练掌握.
7、C
【解析】
利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：由勾股定理得，斜边==10，
所以，斜边上的中线长=×10=1．
故选：C．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
8、C
【解析】
试题分析：运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=1+9=10，
∴b的面积为10，
故选C．
考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
根据二次根式乘法法则进行计算.
【详解】
=.
故答案是：2.
考查了二次根式的乘法，解题关键是运用二次根式的乘法法则进行计算.
10、﹣1
【解析】
首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】
原式=﹣8+1+1+3=﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题的关键．
11、1
【解析】
证明△ABQ≌△EBQ，根据全等三角形的性质得到BE=AB=5，AQ=QE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：在△ABQ和△EBQ中，
，
∴△ABQ≌△EBQ（ASA），
∴BE=AB=5，AQ=QE，
同理CD=AC=7，AP=PD，
∴DE=CD-CE=CD-（BC-BE）=2，
∵AP=PD，AQ=QE，
∴PQ=DE=1，
故答案为：1．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12、4
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件得出、的值，进而得出答案.
【详解】
、为实数，且满足，
，，
则.
故答案为：.
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出、的值是解题关键.
13、
【解析】
观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）①；②或8
【解析】
（1）先由已知条件及勾股定理求出AE=1，AB=，得到，又∠OAB=∠BAE，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△OAB∽△BAE，得出∠AOB=∠ABE，再由两直线平行，内错角相等得出∠OBC=∠AOB，从而证明∠OBC=∠ABE；
（2）①由于CE为定长，所以当PC+PE最短时，△PCE的周长最短，而E与A关于BD对称，故连接AC，交BD于P，即当点C、P、A三点共线时，△PCE的周长最短．由PD∥OC，得出，求出PD的值，从而得到点P的坐标；
②由于点P在x轴上方，BD=1，所以分两种情况：0＜PD≤1与PD＞1．设PD=t，先用含t的代数式分别表示S△CEP与S△ABP，再根据S△CEP：S△ABP=2：1，即可求出DP的长．
【详解】
解：（1）由题意可得：
∵OC=1，BC=3，∠OCB=90°，
∴OB=2．
∵OA=2，OE=1，
∴AE=1，AB=，
∵，
∴．
∵，
∴，
．
∵，
∴，
∴.
（2）①∵BD⊥x轴，ED=AD=2，
∴E与A关于BD对称，
当点共线时，的周长最短．
∵，
∴，即
∴
∴．
②设，
当时，如图：
∵梯，
；
又∵．
∴，
∴；
当时，如图：
∵，，
∴
．
．
∴所求DP的长为或8.
本题是相似形的综合题，涉及到勾股定理，平行线的性质，轴对称的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，有一定难度．（2）中第二小问进行分类讨论是解题的关键．
15、24m2
【解析】
连接AC，利用勾股定理逆定理可以得出△ABC是直角三角形，用△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【详解】
连接AC ，
∵∠ADC=90°
∴在Rt△ADC中，AC2= AD2+CD2=42+32=25，
∵AC2+BC2=25+122=169, AB2=132=169，
∴AC2+BC2= AB2 ，∴∠ACB=90°，
∴S=S△ACB－S△ADC=×12×5－×4×3=24m2
答：这块地的面积是24平方米
考点：1.勾股定理的逆定理2.勾股定理
16、（1）直线l2的解析式为y=4x+3；（2）≤d≤．
【解析】
（1）根据平移的方向和距离即可得到A（8，0），D（0，3），再根据待定系数法即可得到直线l2的解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，即可得到E（4，-2），再根据y=x-4中，令x=0，则y=-4，可得B（0，-4），依据直线l2与线段BE有交点，即可得到平移距离d的取值范围．
【详解】
（1）∵将点A向上平移3个单位，再向左平移8个单位恰好能与点D重合，
∴点A离y轴8个单位，点D离x轴3个单位，
∴A（8，0），D（0，3），
把点C（-2，m）代入l1：y=x-4，可得
m=-1-4=-5，
∴C（-2，-5），
设直线l2的解析式为y=kx+b，
把D（0，3），C（-2，-5），代入可得
，解得，
∴直线l2的解析式为y=4x+3；
（2）把E（n，-2）代入直线l1：y=x-4，可得
-2=n-4，
解得n=4，
∴E（4，-2），
在y=x-4中，令x=0，则y=-4，
∴B（0，-4），
设直线l2沿x轴向右平移后的解析式为y=4（x-n）+3，
当平移后的直线经过点B（0，-4）时，-4=4（0-n）+3，
解得n=；
当平移后的直线经过点E（4，-2）时，-2=4（4-n）+3，
解得n=．
∵直线l2与线段BE有交点，
∴平移距离d的取值范围为：≤d≤．
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，解题时注意：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
17、（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为.
【解析】
（1）根据阅读材料中A和B的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M、N在平行于y轴的直线上，根据M和N的纵坐标利用公式即可求出MN的距离;
（2）由三个顶点的坐标分别求出DE，DF，EF的长，即可判定此三角形的形状；
（3）作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时最短，最短距离为，P的坐标即为直线与x轴的交点.
【详解】
解：（1）∵、
∴
故A、B两点间的距离为：13.
∵M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1
∴
故M、N两点的距离为5.
（2）∵、、
∴
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形
（3）
作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时DP+PF最短
设直线的解析式为y=kx+b
将D（1,6），（4，-2）代入得：
解得
∴直线的解析式为：
令y=0，解得，即P的坐标为（）
∵PF=
∴PD+PF=PD+==
故当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为.
本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.
18、（1）45°；（2）证明见解析；（3）
【解析】
(1).在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG，然后证明△OBE和△OCG全等，从而得出∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG，根据三角形的周长得出EF=GF，从而得出△FOE和△GOF全等，得出∠EOF的度数；(2)、连接OA，根据点O为正方形ABCD的中心得出∠OAE=∠FCO=45°，结合∠BOE=∠COG得出∠AEO=∠COF，从而得出三角形相似；(3)、根据相似得出线段比，根据相似比求出AE和CO的关系，CF和AO的关系，从而得出答案．
【详解】
解：(1).如图，在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG.
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴ OB=OC，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°．
∴△OBE≌△OCG（SAS）.
∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG.
∴∠EOG＝90°，
∵△BEF的周长等于BC的长，
∴ EF＝GF.
∴△EOF≌△GOF（SSS）.
∴∠EOF＝∠GOF＝45°．
(2).连接OA．∵ 点O为正方形ABCD的中心，
∴∠OAE＝∠FCO＝45°．
∵∠BOE＝∠COG， ∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，
∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°．
∴ ∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO．
∴ △AOE∽△CFO．
(3).∵△AOE∽△CFO，
∴＝＝．
即AE＝ ×CO，CF＝AO÷．
∵OE＝OF，∴＝．
∴AE＝CO，CF＝AO．
∴＝．
点睛：本题主要考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，综合性非常强，难度较大．熟练掌握正方形的性质是解决这个问题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、5；
【解析】
根据矩形性质得出AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，推出AO=OB，得出等边三角形AOB，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∠ABC=90°，
∴AO=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=5，
∴AC=2 AO=10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC=.
故答案为：5.
本题考查了矩形的性质及勾股定理.根据矩形的性质及∠AOB=60°得出△AOB是等边三角形是解题的关键.
20、
【解析】
设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解.
【详解】
设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理得x2+32=(10-x)2,
解得x=
故折断处离地面的高度是尺.
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
21、
【解析】
先运用平方差公式把化为（a+b）（a-b），然后将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵=（a+b）（a-b），
∴=2×（-2）=.
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
22、
【解析】
根据反比例函数的性质，图形位于第一、三象限，并且随着的增大而减小，再根据，即可比较、、的大小关系．
【详解】
解：根据反比例函数的性质，图形位于第一、三象限，并且随着的增大而减小，而，则，而，则，
故答案为．
本题考查反比例函数，难度不大，是中考的常考知识点，熟记反比例函数的性质是顺利解题的关键．
23、
【解析】
利用二次根式的性质化简．
【详解】
=．
故选为：．
考查了二次根式的化简，常用方法：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）1,0；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据材料给出的信息，分别计算，即可得出答案；
（2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可得出答案.
【详解】
（1）∵，
∴；
∵，
∴；
（2）设，，
则，，
∴．
∴，
∴．
本题考查了乘方的运算、幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是理解题目中定义的运算法则.
25、当时，活动区的面积达到
【解析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.
【详解】
解:设绿化区宽为y，则由题意得
.
即
列方程:
解得 (舍)，.
∴当时，活动区的面积达到
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
26、（1）甲：8.5，乙：8.5；（2）应派甲去参加比赛，理由见解析.
【解析】
（1）根据平均数的公式：平均数=所有数之和再除以数的个数；
（2）根据方差公式计算即可.
【详解】
解：（1）甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为：
甲=，
乙=；
（2）甲=，
乙=，
所以甲同学的射击成绩比较稳定，应派甲去参加比赛.
本题考查平均数、方差的定义：方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.平均数反映了一组数据的集中程度，求平均数的方法是所有数之和再除以数的个数；方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分