2024-2025学年云南省昆明市官渡区第一中学数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年云南省昆明市官渡区第一中学数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某次知识竞赛共有道题，每一题答对得分，答错或不答扣分，小亮得分要超过分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了道题，根据题意列式得（ ）
A．B．
C．D．
2、（4分）若是完全平方式，则的值应为（ ）
A．3B．6C．D．
3、（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图：已知，点、在线段上且；是线段上的动点，分别以、为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为；当点从点运动到点时，则点移动路径的长是
A．5B．4C．3D．0
5、（4分）已知正比例函数y＝﹣2x的图象经过点（a，2），则a的值为（ ）
A．B．﹣1C．﹣D．﹣4
6、（4分）在ABCD中，∠A＝40°，则∠C＝( )
A．40°B．50°C．130°D．140°
7、（4分）菱形ABCD的周长是20，对角线AC=8，则菱形ABCD的面积是( )
A．12B．24C．40D．48
8、（4分）已知，那么下列式子中一定成立的是 ( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，四边形纸片ABCD中，，.若，则该纸片的面积为________ .
10、（4分）关于x的方程的有两个相等的实数根，则m的值为________．
11、（4分）如图，已知在中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是_____________________ ．（只需填上一个正确的条件）
12、（4分）已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为___．
13、（4分）计算: =_________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在一次晚会上，大家做投飞镖的游戏．只见靶子设计成如图的形式．已知从里到外的三个圆的半径分别为l，2，3，并且形成A，B，C三个区域．如果飞镖没有停落在最大圆内或只停落在圆周上，那么可以重新投镖．
(1)分别求出三个区域的面积；
(2)雨薇与方冉约定：飞镖停落在A、B区域雨薇得1分，飞镖落在C区域方冉得1分．你认为这个游戏公平吗? 为什么? 如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平．
15、（8分）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题，两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：
已知可供建造沼气池的占地面积不超过，该村农户共有492户．
（1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程；
（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱．
16、（8分）已知一次函数的图象过点A（0，3）和点B（3，0），且与正比例函数的图象交于点P．
（1）求函数的解析式和点P的坐标．
（2）画出两个函数 的图象，并直接写出当时的取值范围．
（3）若点Q是轴上一点，且△PQB的面积为8，求点Q的坐标．
17、（10分）如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）
18、（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果关于x的方程+1有增根，那么k的值为_____
20、（4分）在市业余歌手大奖赛的决赛中，参加比赛的名选手成绩统计如图所示，则这名选手成绩的中位数是__________．
21、（4分）如图，已知矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_____cm。
22、（4分）若分式的值为0，则x =_________________.
23、（4分）我区有15所中学，其中九年级学生共有3000名．为了了解我区九年级学生的体重情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序．
①收集数据；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．
则正确的排序为________ （填序号）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和-1；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1、0和1．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点A的坐标为（x，y）．
（1）请用表格或树状图列出点A所有可能的坐标；
（1）求点A在反比例函数y=图象上的概率．
25、（10分）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）如果图中线段都可画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与向量相等的向量是 ；
（2）设＝，＝，＝．试用向量，或表示下列向量：＝ ；＝ ．
（3）求作：．（请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论）
26、（12分）计算：
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
小亮答对题的得分：，小亮答错题的得分：，不等关系：小亮得分要超过分.
【详解】
根据题意，得
.
故选：.
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键.
2、D
【解析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】
∵=x2+mx+9，
∴m=±6，
故选：D．
此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3、D
【解析】
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项中的式子正确．
【详解】
解：A、不能合并为一项，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确.
故选D.
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
4、C
【解析】
分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【详解】
如图，分别延长、交于点．
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分．
为的中点，
也正好为中点，
即在的运动过程中，始终为的中点，
所以的运行轨迹为三角形的中位线．
，
，即的移动路径长为1．
故选：．
本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，熟悉掌握是解题关键.
5、B
【解析】
把点（a，2）代入y＝﹣2x得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【详解】
解：把点（a，2）代入y＝﹣2x得：
2＝﹣2a，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．
6、A
【解析】
因为平行四边形的对角相等，所以∠A＝∠C =40°，
故选A
7、B
【解析】
解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB=20÷4=5，AC⊥BD，OA=AC=4，∴OB= =3，∴BD=2OB=6，∴菱形ABCD的面积是： AC•BD=×8×6=1．故选B．
点睛：此题考查了菱形的性质以及勾股定理．解题的关键是熟练运用勾股定理以及菱形的各种性质．
8、D
【解析】
根据比例的性质对各个选项进行判断即可.
【详解】
A. ∵，∴3x=2y，∴ 不成立，故A不正确；
B. ∵，∴3x=2y，∴ 不成立，故B不正确；
C. ∵，∴y，∴ 不成立，故C不正确；
D. ∵，∴，∴ 成立，故D正确；
故选D.
本题考查的是比例的性质,掌握内项之积等于外项之积及更比性质是解题的关键. 更比性质：在一个比例里，更换第一个比的后项与第二个比的前项的位置后，仍成比例，或者更换第一个比的前项与第二个比的后项的位置后，仍成比例，这叫做比例中的更比定理.对于实数a，b，c，d，且有b≠0，d≠0，如果，则有.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、16
【解析】
本题可通过作辅助线进行解决，延长AB到E，使BE=DA，连接CE，AC，先证两个三角形全等，利用直角三角形的面积与四边形的面积相等进行列式求解．
【详解】
解：如图，延长AB到E，使BE=DA，连接CE，AC，
∵∠CBE=∠BCA+∠CAB，
∠ADC=180°-∠DCA-∠DAC，
∵∠BCD=90°，∠BAD=90°，
∴∠BCA+∠CAB=90°+90°-∠DCA-∠DAC=180°-∠DCA-∠DAC，
∴∠CBE=∠ADC，
又∵BE=DA，CB=CD，
∴△CBE≌△CDA，
∴CE=CA，∠ECB=∠DCA，
∴∠ECA=90°，
∴三角形ACE是等腰直角三角形。
∵AE=AB+BE=AB+AD=8cm
∴S四边形ABCD=S△AEC=16
故答案为：16
本题考查了面积及等积变换问题；巧妙地作出辅助线，把四边形的问题转化为等腰直角三角形来解决是正确解答本题的关键．
10、9
【解析】
因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b2-4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．
【详解】
∵关于x的方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，
即（-6）2-4×1×m=0，
解得m=9
故答案为：9
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
11、AD⊥BC
【解析】
根据等腰三角形“三线合一”，即可得到答案．
【详解】
∵在中，AB=AC，，
．
故答案为：．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”，是解题的关键．
12、3．
【解析】
讨论两种情形：①CD是对角线，②CD是边．CD是对角线时CF⊥直线y＝x时，CD最小．CD是边时，CD＝AB＝2，通过比较即可得出结论．
【详解】
如图，由题意得：点C在直线y＝x上，
①如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝x时，CD最小，
易知直线AB为y＝x﹣2，
∵AF＝FB，
∴点F坐标为（2，﹣1），
∵CF⊥直线y＝x，
设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1，
∴直线CF为y＝﹣x+1，
由，解得：，
∴点C坐标．
∴CD＝2CF＝2×．
如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＞3，
∴CD的最小值为3．
故答案为3．
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，学会分类讨论是解题的关键，灵活运用垂线段最短解决实际问题，属于中考常考题型．
13、
【解析】
先利用二次根式的性质，再判断的大小去绝对值即可.
【详解】
因为，
所以
故答案为：
此题考查的是二次根式的性质和去绝对值.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）5π；（2）这个游戏不公平，见解析；修改得分规则：飞镖停落在A、B区域雨薇得5分，飞镖停落在C区域方冉得4分，这样游戏就公平了.
【解析】
（1）从面积比得到概率；（2）通过概率大小进行判定，只要概率相等就公平.
【详解】
（1）SA=π•12=π，SB=π•22-π•12=3π，SC=π•32-π•22=5π；
（2）P（A）=，P（B）=，P（C）=
P（雨薇得分）=×1+×1=，P（方冉得分）=×1=
∵P（雨薇得分）≠P（方冉得分）
∴这个游戏不公平．
修改得分规则：飞镖停落在A、B区域雨薇得5分，飞镖停落在C区域方冉得4分，这样游戏就公平了．
考核知识点：求几何概率.理解概率意义和公式是关键.
15、（1）满足条件的方案有三种，方案一建造型沼气池7个，型沼气池13个；方案二建造型沼气池8个，型沼气池12个；方案三建造型沼气池9个，型沼气池11个，见解析；（2）方案三最省钱，见解析
【解析】
（1）关系式为：A型沼气池占地面积+B型沼气池占地面积≤365；A型沼气池能用的户数+B型沼气池能用的户数≥492；
（2）由（1）得到情况进行分析．
【详解】
解（1）设建设型沼气池个，型沼气池个，根据题意列不等式组得
解不等式组得：
∴满足条件的方案有三种，方案一建造型沼气池7个，型沼气池13个
方案二建造型沼气池8个，型沼气池12个
方案三建造型沼气池9个，型沼气池11个
（2）方案一的造价为：万元
方案二的造价为万元
方案三的造价为:2×9+3×11=51万元
所以选择方案三建造9个，11个最省钱
此题考查一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出不等式.
16、（1），点的坐标为；（2）函数图象见解析，x＜1；（2）点Q的坐标为（-5,0）或（11,0）．
【解析】
（1）根据待定系数法求出一次函数解析式，与联立方程组即可求出点P坐标；
（2）画出函数图象，根据图像即可写出当时的取值范围；
（3）根据△PQB的面积为8，求出BQ，即可求出点Q坐标．
【详解】
解：（1）将，代入，
得
解得
，，
∴直线AB解析式为，
一次函数，与正比例函数联立得
解得
点的坐标为；
（2）如图，当时的取值范围是x＜1；
（3）∵△PQB的面积为8，
∴，
∴BQ=8，
∴点Q的坐标为（-5,0）或（11,0）．
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二元一次方程（组）关系，解题关键是明确两个一次函数解析式组成二元一次方程组的解即是两直线的交点坐标．解第（3）问时注意点Q分类讨论解题．
17、（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF；（1）AE⊥DF，详见解析；（3）详见解析
【解析】
（1）根据正方形的性质得到相关的条件找出全等的三角形：△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF；
（1）利用正方形的性质证明△ADE≌△BCE，再利用全等的关系求出∠AHD＝90°，得到AE⊥DF；
（3）利用（1）中结论，及正方形的性质证明△DCM≌△BCE，得到CE=CM，结合点E为DC的中点即可证明点M为BC的中点．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=DC，∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=23°，
又∵AF=AF，
∴△ADF≌△ABF，
∵AC=AC，
∴△ADC≌△ABC，
∵CF=CF，
∴△CDF≌△CBF，
∴全等的三角形有：△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF．
（1）AE⊥DF．
证明：设AE与DF相交于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．
又∵AF=AF，
∴△ADF≌△ABF．
∴∠1=∠1．
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，
∴△ADE≌△BCE．
∴∠3=∠2．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHD=90°．
∴AE⊥DF．
（3）如图，∵∠ADE=90°，AE⊥DF．
∴∠1+∠3=90°，∠3+∠1=90°．
∴∠3=∠3，
∵∠3=∠2，
∴∠2=∠3．
∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，
∴△DCM≌△BCE．
∴CE=CM，
又∵E为CD中点，且CD=CB，
∴CE=CD=BC，
∴CM=CB，即M为BC中点，
∴BM=MC．
主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．
18、 (1) 四边形是垂美四边形，理由见解析；(2)证明见解析；(3) .
【解析】
（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂美四边形”的定义证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）连接、，先证明，得到∴，可证，即，从而四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】
(1)四边形是垂美四边形．
证明：连接AC，BD，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；
(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
故答案为：．
(3)连接、，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，又，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由(2)得，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、4
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
【详解】
去分母得：1=k-3+x-2，
由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程得：k=4，
故答案为4
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20、8.5
【解析】
根据中位数的定义找出最中间的两个数，再求出它们的平均数即可．
【详解】
根据图形，这个学生的分数为：，，，，，，，，，，则中位数为．
本题考查求中位数，解题的关键是掌握求中位数的方法.
21、20
【解析】
连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG，GF，EF，EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可.
【详解】
如图，连接AC、BD，
四边形ABCD是矩形，
AC＝BD＝8cm，
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
HG＝EF＝AC＝4cm，EH＝FG＝BD＝4cm，
四边形EFGH的周长等于
4＋4＋4＋4＝16cm.
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
22、2
【解析】
根据分式值为0的条件进行求解即可.
【详解】
由题意，得x-2=0，
解得：x=2，
故答案为：2.
本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握“分式值为0时，分子为0用分母不为0”是解题的关键.
23、②①④⑤③
【解析】
根据统计调查的一般过程: ①问卷调查法……收集数据,②列统计表……整理数据,③画统计图……描述数据,所以解决上述问题要经历的及格重要步骤进行排序为: ②设计调查问卷,①收集数据,④整理数据,⑤分析数据,③用样本估计总体,故答案为: ②①④⑤③.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（1）．
【解析】
（1）横坐标的可能性有两种，纵标的可能性有3种，则A点的可能性有六种，画出树状图即可；
（1）根据点A要在反比例函数y=的图象，则横纵坐标的乘积为1，从而可以选出符合条件的A点，算出概率．
【详解】
解：（1）根据题意，可以画出如下的树状图：
则点A所有可能的坐标有：（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（-1，-1）、（-1，0）、（-1，-1）；
（1）在反比例函数y=图象上的坐标有：（1，1）、（-1，-1），
所以点A在反比例函数y=图象上的概率为：．
本题考查了概率、反比函数上点的特征，题目难度不大，解题的关键是对用树状图或者列表法求概率的熟练掌握和对反比例函数点的特征的熟悉．
25、（1）；（2）+、+﹣；（3）如图所示见解析. ．
【解析】
（1）由中位线定理得EF∥AC、EF=AC，HG∥AC、HG=AC，从而知EF=HG，且EF∥HG，根据相等向量的定义可得；
（2）由可得；
（3）由G为DC中点知，从而得=，据此根据三角形法则作图即可得．
【详解】
（1）∵E、F是AB、BC的中点，H、G是DA、DC的中点，
∴EF∥AC、EF＝AC，HG∥AC、HG＝AC，
∴EF＝HG，且EF∥HG，
∴，
故答案为：；
（2）由图知，
则，
故答案为：；
（3）如图所示：
．
本题考查平面向量的知识，解题的关键是掌握中位线定理、相等向量的定义及三角形法则．
26、5
【解析】
原式
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
型号
占地面积（/个）
使用农户数（户/个）
造价（万元/个）