2019-2020学年江苏省无锡市江阴市澄西片九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2019-2020学年江苏省无锡市江阴市澄西片九年级上学期数学期中试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是 （ ）
A. 线段B. 等边三角形C. 正方形D. 圆
【答案】D
【解析】
试题解析：圆有无数条对称轴.
故选D.
2.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程定义对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解: 、方程中含有两个未知数，未知数的最高次数是．故是二元二次方程，故本选项错误；
、方程中、、是否是常数不确定，故此方程不能确定是几次，故本选项错误；
、方程中含有分式，是分式方程，故本选项错误；
、方程中含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，故此方程是一元二次方程．
故选：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3.关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选： ．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4.如图，中，，，,则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可．
【详解】解：
，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
5.如图，在外任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，连接，，，得，则下列说法错误的是（ ）
A. 与是位似图形
B. 与 是相似图形
C. 与 周长比为
D. 与的面积比为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据位似的定义，以及相似的性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，即可作出判断．
【详解】解：根据位似的定义可： 与是位似图形，也是相似图形，位似比是， 则周长的比是，因而面积的比是， 故、、正确，错误．
故选：．
【点睛】本题主要考查了位似的定义，位似是特殊的相似，以及相似三角形的性质．
6.如图，点，，，在射线上，点，， 在射线上，且 ，．若，的面积分别为，8，则图中三个阴影三角形面积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
已知，的面积分别为2，8，且易得两三角形相似，因此可得出，由平行得与是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据的面积为8，可求出的面积为4，同理可求出和的面积．即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：，
，
∽
又∵，的面积分别为，
同理可得：
∴与是等高不等底的三角形
，
又∵面积是，
的面积为
同理可得：的面积
的面积
三个阴影面积之和
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积．解题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．
7.如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是
A. （2，3）B. （3，2）C. （1，3）D. （3，1）
【答案】D
【解析】
根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
解答：解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选D．
8.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是cm，则皮球的直径是（ ）
A. B. 15C. 10D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图，作AB⊥MN交MN于点B，因为cm，∠ANB＝60°，所以（cm），由于平行线间的垂线段相等，所以皮球的直径为15cm．
9.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A. 2cmB. 4 cmC. 2cm或4cmD. 2cm或4cm
【答案】C
【解析】
连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=cm.
故选C.
10.如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A. CD+DF=4
B. CD−DF=2−3
C. BC+AB=2+4
D. BC−AB=2
【答案】A
【解析】
【详解】解：如图，设⊙O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,
利用AAS易证△OMG≌△GCD,
所以OM=GC=1, CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．
又因AB=CD,所以可得BC−AB=2．
设AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b-c），
所以c=a+b-2．
在Rt△ABC中，
由勾股定理可得，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又因BC−AB=2即b=2+a，
代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0，
解得，
所以，即可得BC+AB=2+4．
再设DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,
由勾股定理可得，
解得，
CD−DF=，CD+DF=．
综上只有选项A错误，故答案选A．
考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；
二、填空题（共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分）
11.在比例尺为的某省地图上，量得地到地的距离约为厘米，则地到地的实际距离约为_____千米．
【答案】100
【解析】
【分析】
解答此题应根据：实际距离 = 图上距离÷比例尺，进行分析解答即可得出结论．
【详解】解：厘米=100千米.
故答案为：．
【点睛】此题考查比例线段，关键是根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
12.已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据比例的性质，由得，x=，再将其代入所求式子可得出结果．
【详解】解：由得，x=，
所以．
故答案为：．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，较简单．
13.方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值为____．
【答案】-3
【解析】
2x−4=0，
解得：x=2，
把x=2代入方程x2+mx+2=0得：
4+2m+2=0，
解得：m=−3.
故答案为−3.
14.若关于的方程的两根均是整数，则的值可以是_____．（只要求写出两个）
【答案】或
【解析】
【分析】
可以把12分解成几个因数的积的形式，然后利用根与系数的关系就可以确定k的值.答案不唯一.
【详解】解: 等等，
，或，或
故答案为：或
【点睛】本题用到的知识点为：，需要一定的数感.
15.在平行四边形中，为靠近点的的三等分点，连结，交于点，，则为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行四边形的对边相等可得，然后结合三等分点求出，再根据平行得相似，根据相似比求出AF、FC的比，然后求解即可．
【详解】解：在中，，，
为的三等分
∴∽
又，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的边之比等于相似比，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出AF、FC的比是解题的关键．
16.如图，在直角三角尺中，，把直角三角尺 放置在圆上，经过圆心， 与相交于，两点，点，，的刻度分别是，，，与相切于点，那么 的半径是____ ．
【答案】
【解析】
【分析】
如图连接OF，作于，由，推出四边形CFOM是矩形，依据矩形性质得，依据垂径定理求出CM即可解决问题．
【详解】解：如图连接，作于．
四边形是矩形，
，
由题意可知，，，
，
.
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线：见切线连半径、作弦心距用垂径定理，属于中考常考题型．
17.有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是________cm2．（结果保留π）
【答案】60π.
【解析】
分析】
根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得.
【详解】解：圆锥的母线=cm，
圆锥的底面周长2πr=12πcm，
圆锥的侧面积=lR=×12π×10=60πcm2．
故答案为60π.
18.如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与， 分别相交于点，，则线段长度的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设圆心为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则有；由勾股定理的逆定理知，是直角三角形，直径，由线段最短知，即，只有当点F在CD上，且CD是直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，有最小值为CD的长，由直角三角形的面积公式知，此时．
【详解】解：设圆心为F，与的切点为，
，，，
是的直径，
连接，连接，，
∵点、在上，是的直径
，
又∵
∴，
∵与切于点，
∴；
∴当点是的斜边的高的中点时，三点共线，且为的斜边的高，此时的直径等于
又∵，
∴能取到最小值4.8.
故答案为:
【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，线段最短，直角三角形的面积公式求解．作辅助线转化问题是关键.
三、解答题（共 10 小题，满分 84 分）
19.（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）或；（2）或；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据直接开方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案；
（3）根据配方法即可求出答案．
【详解】解：（1）
或；
（2）
或
或；
（3）
．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的各种解法，本题属于基础题型．
20.已知关于x的方程 x2-5x-m2-2m-7=0．
（1）若此方程的一个根为-1，求m的值；
（2）求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（）；（）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）把代入原方程得到关于的一元二次方程，然后解关于的一元二次方程即可；
（2）进行判别式的值，利用完全平方公式变形得到然后利用非负数的性质可判断，从而根据判别式的意义可判断方程根的情况．
试题解析：（），
原式：，
，
，
．
（），
，
，
，
∴，
∴方程始终有两个不相等的实数根．
21.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）DE＝．
【解析】
【分析】
（1）要证△ADE∽△MAB，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE∽△MAB；
（2）根据题意和（1）中△ADE∽△MAB，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．
【详解】证明：（1）∵矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，
∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，
∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，
∴∠BAM＝∠EDA，
在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，
∴△ADE∽△MAB；
（2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，
∴BM＝，
∴AM＝，
由（1）知，△ADE∽△MAB，
∴，
∴，
解得，DE＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答．
22.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ落在地面上的影子PM＝1.8m，落在墙上的影子MN＝1.1m，求木竿PQ的长度．
【答案】木竿PQ的长度为3.35米．
【解析】
【分析】
过N点作ND⊥PQ于D，则四边形DPMN为矩形，根据矩形的性质 得出DP，DN的长，然后根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的长，即可得出PQ的长．
试题解析：
【详解】解：过N点作ND⊥PQ于D，
则四边形DPMN为矩形，
∴DN＝PM＝1.8m，DP＝MN＝1.1m，
∴，
∴QD＝＝2.25，
∴PQ＝QD＋DP＝ 2.25＋1.1＝3.35（m）．
答：木竿PQ的长度为3.35米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，作出辅助线，根据同一时刻物高与影长成正比列出比例式是解决此题的关键．
23.如图， 为 的直径， 为 上一点， 和过点的直线互相垂直，垂足为，且 AC 平分．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若的半径为，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，由可以得到，然后结合角平分线的定义及等量代换，可以证明，接着利用平行线的判定即可得到，结合，可得，由此即可证明直线与相切于点；
（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到，易得∽，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接
平分
∴
∴
又
直线与相切于点；
（2）连接，
∵ 为 的直径
∴，
，
∽
，即
的半径为，直径，
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定、圆周角定理、三角形相似的判定与性质，熟悉并构造基本图形是解题的关键.．
24.如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
25.（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案.
（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可．
【详解】解：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC=.
∴AD=AE=.∴．
（2）底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求.
考点：1.新定义；2.作图（应用与设计作图）；3.勾股定理；4.等腰三角形的性质；5.待定系数法的应用．
26.今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
【答案】（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元．
【解析】
试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.
试题解析：
（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为300﹣10x．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
27.在中，，，，点，点 同时从点 出发，点沿边以的速度向点运动，点 从点 出发，沿边以的速度向点运动（点不与， 重合，点不与， 重合），设运动时间为．
（1）求证：；
（2）当为何值时，以为直径的与直线相切？
（3）把沿直线折叠得到，若 与梯形重叠部分的面积为，试求关于 的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；时，．
【解析】
【分析】
(1)欲证∽，可以通过应用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似得出；
(2)以为直径的⊙O与直线相切，则圆心O到直线BC的距离等于半径，列出函数关系式，求出x的值；
(3)因为， 与梯形重叠部分的面积分为两种情况：或，列出关于x的函数表达式，再运用二次函数解析式即可求出最值．
【详解】（1）证明：
∵，，，，
∴，
又∵，
∽．
（2）解：在中，
∵由（1）知∴∽．
的直径
的半径，
可求得圆心到直线的距离
与直线相切
∴即，解得
∴当时，与直线相切
（3）解：当点落在直线上时，则点为的中点，
故以下分两种情况讨论：
①当时，
当时，．
②当时，设交于，交于
由翻折知：，
又∵由∽得
∴，,
∴，∽
∴，
∵∽．
∴
当时，．
综上所述，，当时，值最大，最大值是．
【点睛】考查了相似三角形的判定，结合切线的性质，及相似三角形的性质考查二次函数的综合应用．第（2）问分别求出，依据等价于相切，列出方程是关键；第（3）问找到分类讨论的临界，及借助相似找到相关线段、面积的比例，列出函数关系是关键.
28.阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图 1， 在 中，点为的中点，根据“中线长定理”，可得：．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点作于点，如图 2，在中，，
同理可得：，，
为证明的方便，不妨设，，
…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在中，点为的中点，，，，则_________；
②如图 3， 的半径为，点在圆内，且，点和点在上，且，点、分别为、的中点，则的长为 ；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图 4，已知 的半径为，以为直角顶点的 的另两个顶点， 都在上，为的中点，求长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出长的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）10．
【解析】
【分析】
(1)过点作于点，构造了三个直角三角形，根据勾股定理、等式的基本性质即可证明；
(2)①利用中线定理代入公式计算即可；②利用中线定理即可解决；
(3)如图4中，连接，取的中点E，连接.利用中线定理求出，再利用三边关系即可解决问题.
【详解】解:（1）过点作于点，如图2，在中， ．
同理可得: ，， 为证明的方便，不妨设，．
∴
，
即；
(2)①，，，，
．
②如图3中，连接、、,
∵为直角三角形斜边的中点，
∴
∵是的中线，是的中线，
，
又∵，
∴,
∴,
又∵半径=,
，
(负根舍弃)，
故答案为：（2）①，②．
(3）如图4中，连接，取的中点E，连接．
由（2）的②可知：，
又∵由 的半径为，，可得：,
∴
在中，，，
长的最大值为．
【点睛】本题考查圆综合题、中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，学会用转化思想解决问题，添加辅助线建立熟悉模型是解题的关键，属于中考压轴题．