北京市八一学校2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知角终边经过点，则（ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知命题，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
6. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数和直线，那么“直线l与曲线相切”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的最小值（ ）
A. B. C. D.
9. 某批救灾物资随41辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（ ）
A. 70B. 80C. 90D. 100
10. 已知奇函数f(x)的定义域为且是f(x)的导函数.若对任意都有则满足的θ的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在复平面内，复数对应的点到原点的距离是_______．
12. 函数，则______.
13. 若函数，其中对任意的x都有，写出一组符合条件的，的值______.
14. 设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是__________．
15. 已知函数，则下列说法正确是______.
①函数的定义域为R.
②，函数为奇函数.
③，函数在为增函数.
④，函数有极小值点
三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求的最小正周期，对称轴，对称中心；
（3）设，求的值域.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
（1）求角A的大小；
（2）已知①，②，③在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知____________，____________，若存在，求的面积；若不存在，说明理由.
18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中，点P的坐标为，点Q是图象上的最低点且坐标为，点R是图象上的最高点.

（1）求函数的解析式；
（2）记，（α，β均为锐角），求值.
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数的极大值点为2，求a的取值范围；
（3）证明：当时，
20. 已知函数，，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）求证：有且仅有一个零点.
21. 已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，.对于函数，若存在且，使得，则称函数是“和谐”函数.
（1）判断函数，是否是“和谐”函数；（只需写出结论）
（2）设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为，若不是“和谐”函数，求的最小值.
（3）若函数是“和谐”函数，求的取值范围.