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专题12.11 三角形全等几何模型(一线三等角)(知识梳理与考点分类讲解)-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(人教版)
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这是一份专题12.11 三角形全等几何模型(一线三等角)(知识梳理与考点分类讲解)-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(人教版),文件包含专题1211三角形全等几何模型一线三等角人教版原卷版docx、专题1211三角形全等几何模型一线三等角人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共31页, 欢迎下载使用。
专题12.11 三角形全等几何模型(一线三等角)第一部分【知识点归纳】【知识点一】一线三直角模型1.基本图形题型特征:如图1,在直线BC上出现三个直角,如图中∠B=∠ACE=∠D=90° 图1 图2 图3解题方法:只要题目再出现一组等边(AB=CD或BC=DE或CA=CE),可证△ABE≌△ECD(AAS或ASA)结论延伸1:如图2,两个直角三角形在直线两侧时,同样成立结论延伸2:图1中连接AE,得到如图3,可得以下结论:四边形ABDE为直角梯形;AB+DE=BC(上底+下底=高)【知识点二】一线三等角模型 图4 图5题型特征:如图4,图形的某条线段上出现三个相等的角,如图中∠B=∠ACE=∠D解题方法:只要题目再出现一组等边(BA=CD或BC=DA或CA=DC),必证△ABC≌△CDE(AAS或ASA)结论延伸:如图5,两个三角形在直线两侧时,同样成立第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明【例1】(23-24八年级上·安徽合肥·期末)如图,在中,,,直线经过点,且,,垂足分别为.(1)求证:;(2)若,,求四边形的面积.【变式1】(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图,小虎用块高度都是的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(,),点C在上,点A和B分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离的长度为( )A. B. C. D.【变式2】(23-24九年级下·重庆开州·阶段练习)如图,在中,,,点为上一点,连接.过点作于点,过点作交的延长线于点.若,,则的长度为 . 【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明【例2】(23-24八年级上·新疆昌吉·期中)已知是直角三角形,,直线l经过点 A,分别过点 B、C向直线l作垂线,垂足分别为D、E (1)如图a,当点 B、C 位于直线l的同侧时,证明: (2)如图b,锐角中,,直线l经过点A,点 D、E 分别在直线l上,点B,C位于l的同一侧,如果,请找到图中的全等三角形,并写出线段和之间的数量关系 【变式1】(21-22八年级上·浙江温州·期中)如图,在△ABC中,AB=AC=9,点E在边AC上,AE的中垂线交BC于点D,若∠ADE=∠B,CD=3BD,则CE等于( ) A.3 B.2 C. D.【变式2】(23-24七年级下·吉林长春·期中)如图,在中,,,点D在边上,且,点E、F在线段上.,的面积为18,则与的面积之和 . 【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明【例3】(23-24八年级上·山西吕梁·期末)数学课上,老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动,探究有关线段之间的关系问题情境:如图1,三角形纸片中,,.将点C放在直线上,点A,B位于直线的同侧,过点A作于点D初步探究:(1)在图1的直线上取点E,使,得到图2,猜想线段与的数量关系,并说明理由;(2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作,其中,.小颖在图1的基础上,将三角形纸片的顶点P放在直线上,点M与点B重合,过点N作于点H.如图3,探究线段,,之间的数量关系,并说明理由【变式1】(23-24八年级上·新疆喀什·期中)如图,则的面积为( ) A.9 B.6 C. D. 【变式2】(20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末)如图,在中,,过点作,且,连接,若,则的长为 .【题型4】“一线三直(等)角”模型的延伸与拓展【例4】如图,A点的坐标为(0,3),B点的坐标为(-3.0),D为x轴上的一个动点,AE⊥AD,且AE=AD,连接BE交y轴于点M(1)若D点的坐标为(-5.0),求E点的坐标:(2)求证:M为BE的中点(3)当D点在x轴上运动时,探索:为定值【变式1】(23-24八年级上·陕西西安·阶段练习)勾股定理被誉为“几何明珠”.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图所示,把一个边长分别为3,4,5的三角形和三个正方形放置在大长方形中,则该长方形中空白部分的面积为( ) A.54 B.60 C.100 D.110【变式2】已知:四边形ABCD中,AB=AD=CD,∠BAD=90°,三角形ABC的面积为1,则线段AC的长度是 .第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】(2021·四川南充·中考真题)如图,,AD是内部一条射线,若,于点E,于点F.求证:. 【例2】(2023·重庆·中考真题)如图,在中,,,点D为上一点,连接.过点B作于点E,过点C作交的延长线于点F.若,,则的长度为 . 2、拓展延伸【例1】(22-23八年级下·河南洛阳·期中)综合与实践数学活动课上,老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究.(1)操作发现:如图甲,在中,,且,直线l经过点A.小华分别过B、C两点作直线l的垂线,垂足分别为点D、E.易证,此时,线段、、的数量关系为: ; (2)拓展应用:如图乙,为等腰直角三角形,,已知点C的坐标为,点B的坐标为.请利用小华的发现直接写出点A的坐标: ;(3)迁移探究:①如图丙,小华又作了一个等腰,,且,她在直线l上取两点D、E,使得,请你帮助小华判断(1)中线段、、的数量关系是否变化,若不变,请证明;若变化,写出它们的关系式并说明理由;②如图丁,中,,,点D、E在直线上,且,请直接写出线段、、的数量关系.【例2】(22-23八年级上·广东惠州·期中)如图1,,垂足分别为D,E. (1)若,求的长.(2)在其它条件不变的前提下,将所在直线变换到的外部(如图2),请你猜想三者之间的数量关系,并证明你的结论;(3)如图3,将(1)中的条件改为:在中,,D,C,E三点在同一条直线上,并且有,其中α为任意钝角,那么(2)中你的猜想是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.