专题12.12 三角形全等几何模型（一线三等角）（精选精练）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

这是一份专题12.12 三角形全等几何模型（一线三等角）（精选精练）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版），共30页。
专题12.12 三角形全等几何模型（一线三等角）（精选精练）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（    ）    A． B． C． D．2．如图所示，三点在同一条直线上，，，，则下列结论错误的是（    ）  A．与互余 B．C． D．3．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（     ）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm4．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为（　　）A． B． C． D．5．（22-23七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）    A． B． C． D．6．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会，会标中的图案如图，其中的四边形和都是正方形，则的理由是（  ）．A． B． C． D．7．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（    ）    A．8 B．6 C．4 D．28．（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（   ）A．1 B．2 C．3 D．49．（17-18八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )  A．50 B．44 C．38 D．3210．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为（   ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（21-22八年级上·山西吕梁·期中）如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是 cm．12．（20-21八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系内，OA⊥OC ，OA=OC，若点A的坐标为(4，1)，则点C的坐标为 13．（2022·四川成都·二模）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．  14．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则△ABD的面积为 ．  15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，两根旗杆间相距12米，某人从点B沿走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为，且．已知旗杆的高为9米，该人的运动速度为1米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 秒．16．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．  17．（19-20八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．  18．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．  20．（8分）如图，，于点A，D是线段AB上的点，，．（1）判断与的数量关系为 　 ，位置关系为 　 ．（2）如图2，若点D在线段的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．21．（10分）如图，在中，．（1）如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：．（2）如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！22．（10分）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．  （1）当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）；（2）当等于多少时，，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．23．（10分）（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点；②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在中，，三点都在直线m上，且．  （1）如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________；（2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系；（3）如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，，，，∴，∴，，∴，∵在和中，∴；∴，，∴，故选C．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．2．D【分析】利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答.【详解】∵,∴, ,∵,∴, 故错误；∴, 故正确；∴, 故正确；在和中, ，∴, 故正确；故选:.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件是解题的关键.3．C【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC=AD，BE=DC；∵DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是3cm．故选C．【点拨】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．4．D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．过C作直线轴，过B作于E，过A作于D，于是得到，得到，根据全等三角形的性质得到，根据点，点，得到，于是得到结论．【详解】解：过C作直线轴，过B作于E，过A作于D，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴，∵点，点，∴，∴．故选：D．5．D【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．【详解】解：，，，，，，，，又，，，，．故选：D．【点拨】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．6．B【分析】由正方形的性质知，，由同角的余角相等知，，又有，故根据证得．【详解】证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∵，在与中，，∴．故选：B．【点拨】本题利用了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定，学生要以常用的几种判定方法掌握并灵活运用．7．C【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果．【详解】解：，， ，，，在和中，，，，，，，故选：C．8．C【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C作轴于点M，证明得出，进一步得出即可【详解】解：过点C作轴于点M，如图，则根据题意得∴∴又∴∴∴即点C处的接收器到轴的距离为3，故选：C9．D【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可．【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，  ∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°，∴∠FEA=∠BAM，在△FEA和△MAB中，∴△FEA≌△MAB（AAS），∴AM=EF=6，AF=BM=3，同理CM=DH=2，BM=CH=3，∴FH=3+6+2+3=14，∴梯形EFHD的面积===56，∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC==32．故选D．【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．10．B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键．由可得，由，可得，，从而，进而证得，可得，，推出，代入数据即可解答．【详解】∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴．故选：B11．28【分析】作CD⊥OB于点D，依据AAS证明,GMF，再根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过点C作CD⊥OB于点D，如图，∴ ∵是等腰直角三角形∴AB=CB， ∴ 又 ∴ 在和中， ∴ ∴ 故答案为：28．【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．12．（-1，4）【分析】过点A和点C作x轴的垂线，垂足为D，E，证明△COE≌△OAD，得到OE=AD，CE=OD，再根据点A的坐标可得结果．【详解】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足为D，E，∵∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∠CEO=90°，则∠COE+∠OCE=90°，∴∠OCE=∠AOD，在△COE与△OAD中，，∴△COE≌△OAD（AAS），∴OE=AD，CE=OD，∵点A的坐标为（4，1），∴OD=4，AD=1，∴CE=OD=4，OE=AD=1，∴点C的坐标为（-1，4），故答案为：（-1，4）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是利用已知条件，作出辅助线，证明全等．13．7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案为：7．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．14．36．【分析】作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，则∠DEB=90°-∠ABD=45°，证出AE=DE=DB，通过证明△AEF≌△BCD，得出BC==AF=AD=6，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，如图所示：则∠DEB=90°-∠ABD=45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DB=DE，∵∠ABD=2∠BAC=45°，∴∠BAC=22.5°，∴∠ADE=∠DEB-∠BAC=22.5°=∠BAC，∴AE=DE=DB，∵∠AFE=90°，∴F是AD中点，AF=FD，又∵∠C=90°，∴∠CBD=90°-45°-22.5°=22.5°，在Rt△AEF和Rt△BCD中∴Rt△AEF≌Rt△BCD（AAS），∴AF=BC=AD=6，∴△ABD的面积S=AD×BC=×12×6=36；故答案为：36．  【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式的的计算，熟记特殊三角形的判定和性质定理是解题关键．15．3【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴米，（米），∵该人的运动速度米/秒，他到达点M时，运动时间为（秒）．故答案为：3．16．或【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分当点在射线上移动时，，当点在射线上移动时，，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，如图，  当点在射线上移动时，，∵点从点出发，在直线上以的速度移动，∴移动了：；当点在射线上移动时，，∵点从点出发，在直线上以的速度移动，∴移动了：；综上所述，当点在射线上移动或时，，故答案为：或17．4cm.【分析】过点E作EF⊥AN于F，先利用AAS证出△ABC≌△FCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS证出△DCM≌△EFM,从而求出CM的长.【详解】解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示  ∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，∴∠ABC =∠FCE，在△ABC和△FCE中∴△ABC≌△FCE∴AB=FC=8cm，AC=FE∴CD= FE在△DCM和△EFM中∴△DCM≌△EFM∴CM=FM=FC=4cm.故答案为：4cm.【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键.18．6【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．证明≌，推出与面积相等，可得结论．【详解】解：在等腰三角形中，，，与等高，底边比值为，与的面积比为．的面积为，与的面积分别为和，，．，，，，．在和中，，，与面积相等，与的面积之和为的面积，与的面积之和为．故答案为：．19．全等，理由见解析【分析】首先证明，即可证明，即可解题．【详解】全等，理由如下：，，∴，．∴；在和中，∴．【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键．20．(1)，(2)成立，见解析【分析】（1）根据题意可直接证明，即可得出结论；（2）仿照（1）的证明过程推出，即可得出结论．【详解】（1）解：由题意，，在与中，，，，在中，，，，，综上可知，；（2）解：成立，理由如下： ，，在和中，，，，，，，即，；（1）中结论仍然成立．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．21．(1)见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导，最后证明，直接可证．（2）利用及是的外角，可以推出，再利用可以判定，再利用全等的性质导边即可证明．【详解】（1）证明：∵于点M，于点N；∴；∴；∵，∴；∴；在和中，∴；∴，；∴．（2）成立．理由如下：设；∴；∴；在和中；∴；∴，；∴；故成立．22．(1)；；小(2)当时，(3)可以；的度数为或【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小；（2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得；（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）解：，，点D从B向C运动时，逐渐变小，故答案为：；；小．（2）解：当时，，理由：，，又，∴，，又，，；（3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形；理由：时，，，，，，是等腰三角形；时，，，，，的形状是等腰三角形．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．23．（1），；（2）见解析；（3）存在，或【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；（1）由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出；（3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案．【详解】（1）解：由题意可知，，，故答案为：，；（2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点，，，，，在和中，，，；同理可得：．，，在和中，，，，点是的中点．（3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知，，，，，；当点在轴负半轴上时，同理可得．综上所述，点的坐标为或．24．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得；（2）由（1）同理可得，得，可得答案；（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：；（2），由（1）同理可得，∴，∴；（3）存在，当时，∴，∴，此时；当时，∴∴，，综上：或．【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．