专题12.16 三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题12.16 三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）（专项练习）1．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．2．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长．3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，．(1)求证：．(2)求证：平分．4．问题背景：如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，他的结论应是 ；（并写出证明过程）探索延伸：（2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且是的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．5．（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．6．【问题引领】问题1：如图1．在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王祠学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接．先证明，再证明．他得出的正确结论是______．【探究思考】问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形中，，，，问题1的结论是否仍然成立?请说明理由．【拓展延伸】问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段，，之间存在的等量关系是______．  7．（）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长到点．使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是________（直接写结论，不需证明）；  （2）如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由；  （3）如图，四边形是边长为的正方形，，直接写出三角形的周长．  8．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使．设．(1)如图1，如果___________度；(2)如图2，你认为之间有怎样的数量关系？并说明理由．(3)当点在直线上移动时，之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线）参考答案：1．（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．【分析】（1）根据题意补全图形即可．（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）补全图形（2）BE+DF=EF．证明：延长FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．2．的周长为6．【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．【点睛】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．3．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；（1）延长到，使，连接．先说明，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答；（2）根据（1）的结论可得，，即可得出，即可得证．【详解】（1）证明：延长到，使，连接．，，．，．  ．．又，．．．；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，即平分．4．（1），证明过程见解析（2）成立，理由见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．（1）先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，所以，从而得到；（2）结论仍然成立，证明方法与（1）相同．【详解】解：（1），证明如下：如下图，延长到点，使得，连接，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；故答案为：；（2）结论仍然成立，理由如下：如下图，延长到点，使得，连接，  ∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．5．（1）见解析；（2）结论仍然成立；理由见解析【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．（1）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论；（2）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论．【详解】证明：如图，延长到，使，连接，则，又，∴，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，∵，∴，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．6．问题1：；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论：．【分析】问题1，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到；问题2，延长到点G．使．连接，先判断出，进而判断出，再证明，最后用线段的和差即可得出结论；问题3，在上取一点G．使．连接，然后同问题2的方法即可得出结论．【详解】解：问题1，如图1，延长到点G．使．连接，∵，∴，∴ ，在和中，，∴ ，∴ ，，∴，即，∵ ，∴，∴ ，在和中，，∴ ，∴，∴ ；故他得到的正确结论是：；问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，理由：延长到点G．使．连接，  ∵ ，，∴，在和中，，∴ ，∴ ，，∴，即，∵ ，∴ ，∴ ，在和中，，∴ ，∴，∴ ；即；问题3．结论：，理由如下：如图3，在上取一点G．使．连接，  ∵ ，，∴，即 ，在和中，，∴ ，∴ ，，∴，即，∵ ，∴ ，∴ ，在和中，，∴ ，∴，∴．即．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．7．（）；（）结论仍然成立，；（）．【分析】（）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题；（）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；（）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解．【详解】（1）延长到点，使，连结，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，    ∵，∴，同（）理：，∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3）如图，延长到，使，连接，    ∵四边形是正方形，∴，，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴的周长．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．8．(1)；(2)；(3)图象见详解；；【分析】（1）先证明（），则可得，根据，可知；（2）已知，则，则，根据则．（3）连接，作使得，，连接、：根据，，可得，证明，进而可得，则，由此可证明之间存在数量关系为；【详解】（1）解：在与中，，∴（），∴，∵，∴∴故答案为：；（2）解：已知，∴，∴，∵∴∴．（3）解：连接，作使得，，连接、，可得下图：∵，，∴；在和中，，∴；∴；∴，∴之间存在数量关系为．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理，找出相应的判定条件是解决本题的关键．