专题12.18 三角形全等——截长补短和倍长中线（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题12.16 三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）（专项练习）1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：．2．在四边形中，，点E在DC上，AE平分，BE平分（1）判定△AEB的形状，并说明理由.（2）求证：3．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，点E在的中线的延长线上，且．（1）求证：；（2）若，，求的取值范围；（3）若，求证：是直角三角形．4．如图，，，，直线过点交于，交于点．求证：．5．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，．（1），与之间的数量关系是____________．（2）为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使）（3）在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种．6．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．  7．（20-21七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，、分别平分、，交于E点．（1）如图1，求的度数．    （2）如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．  （3）试证明（2）中的猜想．8．（22-23八年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在中，，是的中线，．  （1）若，，则的取值范围是______；（2）求证：；（3）求证：．9．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线  （1）若，求的度数．（2）若，求中线长的取值范围．10．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点． （1）如图①，求证：；（2）如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系．11．（22-23八年级上·山西朔州·期末）（1）问题背景：如图①：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________；（2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由；（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．12．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）：例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．  证明：∵（已知），∴，．∵D为边中点，∴．在与中，∵，∴（ 　　）∴（ 　　）    （2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 　　．（3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．  13．（23-24八年级上·福建莆田·期中）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线． 求证：．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至，使，∵是边上的中线，∴在和中，∴（依据一）∴，在中，（依据二）∴．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，，则的取值范围是_____________；任务三：如图，中，，D为中点，求证：．14．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在中．是边上的中线，交于点．（1）如下图，延长到点，使，连接． 求证：．（2）如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由．（3）如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．15．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．16．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答：（1）由已知和作图能得到的理由是______；A．    B．    C．    D．（2）求得的取值范围是______；A．      B．       C．        D．（3）归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分．17．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践问题提出如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由．方法运用  （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程．（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线．延伸探究（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数．18．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交汇点，．（1）如图1，求证：；（2）如图1，求的度数；（3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．19．（22-23七年级下·山东青岛·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．(1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围；(3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．参考答案：1．见解析【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证．【详解】证明：如图，延长至点E，使，连接，在中，∴，∴．在中，，∴，即．2．（1）△AEB为直角三角形，理由见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据平行线性质得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线得出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，可得∠EAB+∠ABE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案；（2）在AB上截取线段AF=AD，连接EF，构建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），根据全等三角形的对应边相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证【详解】（1）解：△AEB为直角三角形，理由如下：∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠EAB=∠DAB,∠EBA=∠ABC，∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°，∴∠AEB=180°−90°=90°,∴△AEB为直角三角形；(2)证明：如图，在边AB上截取线段AF=AD，连接EF，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠DAE，在△ADE和△AFE中,，∴△ADE≌△AFE(SAS)，∴∠AED=∠AEF，∵AE⊥BE，∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，∴∠BEC=∠BEF，又∵在△BFE与△BCE中,∴△BFE≌△BCE(AAS)，∴BF=BC，∵AB=AF+BF，∴AB=AD+BC.【点拨】本题考查全等三角形的综合问题，是“截长补短”模型的典型题目，熟练掌握此模型辅助线的作法，构造全等三角形是解决本题的关键.3．(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可证明；（2）结合（1）根据三角形三边关系即可得的取值范围；（3）根据已知线段关系得到，利用等边对等角推出，，再利用三角形内角和求出即可．【详解】（1）解：证明：是的中线，，在和中，，，；（2），，，即．，的取值范围是．（3）∵，，，∴，∴，，又，∴，即是直角三角形．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、三角形三边关系．4．详见解析【分析】在线段上取，连接，易证≌，可得，因为得，∠D+∠C=180°，再根据邻补角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可证≌，可得BC=BF，再进行等量代换即可得出答案.【详解】解：在线段上取，连接，在与中，，∴≌（SAS）．∴．由又可得，∴．又，∴．在与中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．【点拨】本题考查全等三角形证明中辅助线其中一种截长补短的方法，在遇到两条线段和等于第三条线段的时候可用截长补短构造全等三角形，即在较长的线段上截取某条较短线段长度，或者延长一条较短线段长度使之等于另一条线段长度.5．(1)(2)12000元(3)千克【分析】（1）由直接可以得到；（2）延长至点，使，证得，得到，，进而证明解题；（3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可．【详解】（1），，故答案为：；（2）如图，延长至点，使，连接．.在与中，，，.，即.在与中，，，（米）．五边形的周长为（米），（元）．答：建造木栅栏共需花费12000元.（3）千克，需小麦种数量为：(千克）．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”．6．证明见解析【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论．【详解】证明：，，、分别平分、，，，，，，如图，在上截取，连接，  在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．7．(1)(2)(3)见解析【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，利用三角形内角和定理整体计算即可；（2）根据图形猜想即可；（3）在上截取，连接，证明得到，进一步推出，再证明，可得，进而证明．【详解】（1）解：∵，∴，∵、分别平分、，∴，，∴；（2）猜想：；（3）证明：在上截取，连接．  平分，．在和中，，，，，．，，又，．平分，．在和中，，，，，，．即．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质，关键是添加辅助线，构建对应全等三角形，使问题得以解决．8．(1)；(2)见解析；(3)见解析．【分析】（1）延长至点，构造全等三角形，然后用三角形三边关系即可求解；（2）根据全等三角形的性质，证明角度相等即可；（3）根据全等三角形的性质，再通过角度和差即可证明．【详解】（1）解：延长至点，使得，连接，  ∵是的中线，∴，在和中，∴，∴，，在中，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：，（2）由（1）得：，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴，（3）由(1)(2)得：，，∴，，又∵，，∴，∴，即．【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．9．(1)(2)【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案；（2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案．【详解】（1）解：，，，平分，，为高，，；（2）延长至，使，  ∵是的中线，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴．【点拨】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键．10．(1)见解析；(2)（1）中结论不成立，；【分析】（1）在上截取，连，根据题意证明，得到，，再由证明，由平角定义得到，则有，再证明，得到，则；（2）延长交于点H，根据题意证明，得到，，再由平分，证明，得到，则．【详解】（1）证明：如图，在上截取，连，  ∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵∴，即，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴．（2）（1）中的结论不成立，；理由：延长交于点H，  ∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题意做出辅助线构造全等三角形是解题关键．11．（1）问题背景：，理由见详解；（2）探索延伸：成立，理由见详解；（3）实际应用：两舰艇之间的距离为海里【分析】（1）问题背景：，，，可证，由，，为公共边，可证，由此即可求解；（2）探索延伸：根据“问题背景”的提示，延长到点，使，由此即可求解；（3）实际应用：如图所示（见详解），延长，使得，连接，证明，，可知，由此即可求解．【详解】解：（1）问题背景：根据题意，在，中，∵，∴，∴，，∵，，∴，即，∴在，中，∵，∴，∴，∴；（2）探索延伸：如图所示，延长到点，使，∵，，∴，在，中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在，中，∵，∴，∴，∴，∴成立；（3）实际应用：如图所示，延长，使得，连接，∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，舰艇乙沿北偏东的方向行驶，∴，，，∴在，中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在，中，，∴，∴，∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时，∴，，∴（海里），∴两舰艇之间的距离为海里．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质及实际应用，掌握作辅助线求证三角形全等，再根据三角形全等的性质是解题的关键．12．（1），全等三角形的对应边相等；（2）；（3），证明见解析【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点；（1）根据前后逻辑关系填空即可；（2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可．（3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题．【详解】（1）证明：∵（已知），∴，．∵D为边中点，∴．在与中，∵，∴∴（全等三角形的对应边相等）;故答案为：，全等三角形的对应边相等；（2）延长到，使，连接，  是边上的中线，，在和中，，，，在中，，，，故答案为：；（3）结论：．理由：如图②中，延长，交于点，  ，，在和中，，，，是的平分线，，，，，．13．任务一：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；三角形两边的和大于第三边；任务二：【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法：任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；依据2：根据三角形三边关系判断；任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系，可得，即可．【详解】解：任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；依据2：三角形两边的和大于第三边．故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；三角形两边的和大于第三边．任务二：由任务一得：，∵，∴，∴；故答案为：任务三：如图，延长至F，使，连接，由任务一得：∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴．14．(1)见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析．【分析】（）利用可得；（）延长到点，使，连接，先根据证得，，进而得到，；再证得利用全等三角形全等的性质即可；（）延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，证得可得，进而得到，本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【详解】（1）证明：在和中，∴；（2）解：，理由如下：延长到点，使，连接，如图由（）得，∴，∴，∴，∵，∴，∴在和中∴∴，∴；（3），理由如下：延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，如图，由（）得，，∴，，，∴，，∴ ，在和中， ，∴∴，∴．15．（1）；（2），见解析；（3），见解析【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案；（2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；（3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案为：；（2），理由如下：延长至点M，使，连接，如图②所示．同（1）得：，∴，∵，∴，在中，由三角形的三边关系得：，∴；（3），理由如下：如图③，延长交于点G，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的平分线，∴∴，∴，∵，∴ ．【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．16．(1)B(2)C(3)证明见解析【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．（1）根据三角形全等的判定定理去选择即可；（2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；（3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分．【详解】（1）解：延长到点，使，，在和中，，，故选：B．（2）解：，，，，，，，故选：C；（3）证明：如图，延长至，使，连接，，，，，，，，，，，，，，，平分．17．（1），见解析（2）①AC   ②DF，见解析（3）【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论；（2）根据语言描述作出图形即可；（3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解．【详解】（1）．理由：∵平分，∴．又∵，，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．（2）①AC   ②DF．辅助线如图1所示．  （3）如图2，延长至点G，使，连接，．  ∵，，∴．∵，，，∴，∴，．∵，∴．又∵，，∴，∴．又∵，∴．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．18．(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；（2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数；（3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系．此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形．【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示：，，，，，（2）解：在和中，，，，为等腰直角三角形，；（3）解：、、的数量关系是：，证明如下：在上截取，连接，如图2所示：是的高，，，，在和中，，，，，由（2）可知：，即，，，即，在和中，，，，．19．(1)，(2)(3)，，理由见解析【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出；（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论；（3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论．【详解】（1）解：是的中线，，在和中，，，，，，故答案为：，；（2）如图2，延长到，使，连接，由（1）可知，，，在中，，，即，，即边上的中线的取值范围为；（3），，理由如下：如图3，延长到，使得，连接，由（1）可知，，，，，由（2）可知，，，、，，，，在和中，，，，，，，，，，．【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线．