人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形精品当堂达标检测题

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第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA）
（1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△中，

【知识点二】三角形全等的判定方法——角角边（AAS）
（1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【知识点三】判定方法的选择
（1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
（2）如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用ASA和AAS证明三角形全等
【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点、在上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析 (2)∠D的度数是
【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明；
（2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键．
（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，，
，
，
的度数是．
【变式1】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（ ）
A．①②B．②④C．③④D．①④
【答案】A
【分析】
本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键．
①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等来说理．
解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等，故本选项符合题意；
B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意；
C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意；
D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式2】（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．

【答案】4
【分析】根据平行线的性质和线段中点，证明，得到，再根据，即可求出的长．
解：，
，，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【题型2】用ASA和AAS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值
【例2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
（1）求证：； （2）若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案．
（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解．
解：∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴
又，
∴，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ．
【答案】12
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案．
解：标记角度如下：

∵在等腰中，，，
∴与等高，底边比值为
∴与的面积比为，
∵的面积为18
∴的面积为6，的面积为12，
∵,即，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴与的面积相等，
∴，
故答案为：12．
【题型3】添加条件证明三角形全等
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图，，请添加一个条件，使．

（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；
（2）利用（1）中添加的条件，求证：．
【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使；
（2）根据三角形全等的判定定理证明即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
由得添加一个条件为，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）证明：，
，
，
在和中，
，
．
【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（ ）

A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
解：A、∵，
∴，
又∵，
∴，故A选项不符合题意；
B、 ∵，，，不能根据判定两三角形全等，故B选项符合题意；
C、∵，，
又，
∴，故C选项不符合题意；
D、 ∵，
∴，
又∵，，
∴，故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在和中，若，且，请你添加一个适当的条件，使．添加的条件是： （写出一个即可）．

【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定，直角三角形的性质，对顶角性质．
先证明，又因为，根据全等三角形的判定定理，在与中只需要再加一对对应边相等即可使，所此求解即可．
解：如图，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴当添加时，则在与中，
，
∴
故答案为：（答案不唯一）．
【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS证明三角形全等
【例4】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．

（1）与全等吗？请说明你的理由；
（2）若，，的面积为3，请直接写出的面积．
【答案】(1)，见解析；(2)6
【分析】（1）根据中线的性质可得，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明；
（2）过点作交于点，根据全等三角形的性质可得，的面积为3，根据三角形的面积公式求得，即可求解．
（1）解：，理由如下：
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：过点作交于点，如图：

∵，的面积为3，
∴，的面积为3，
∴，
则的面积为．
【点拨】本题考查了中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式1】（2024·河北邯郸·二模）如图所示，甲、乙两个三角形中和全等的是（ ）

A．只有甲B．只有乙C．甲和乙D．都不是
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定全等三角形的条件是解题的关键．
根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答．
解：甲的边的夹角和的边的夹角不对应，故甲三角形与不全等；
乙的角和边b与的角和边b对应，故可利用“角边角”证明乙三角形与全等，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断和全等的有 ．
①，，；
②，，；
③，，；
④，，．
【答案】①②③
【分析】全等三角形的判定定理有，，，，根据以上知识点逐个判断即可．
解：①、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意；
②、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意；
③、符合全等三角形的判定定理，即两三角形全等，故符合题意；
④、不符合全等三角形的判定定理，即两三角形不全等，故不符合题意；
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判断定理有，，，．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·四川凉山·中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
解：∵，
∴，即，
，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明；
故选：D．
【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
解：选择①；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
选择②；
无法证明，
无法得出；
选择③；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即；
故答案为：①或③（答案不唯一）
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点．
（1）如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：．
（2）如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：．
【分析】（1）运用证明即可解题；
（2）如图，过点作交延长线于点，连接．推导，即可得到结论．
解：（1）证明：是的中点，
．
，
，
，
．
（2）如图，过点作交延长线于点，连接．

由（1）知．
．
，
，
．
在中，，
．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的不等关系，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【例2】（22-23八年级上·全国·期末）如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．

（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值．
【答案】(1)见解析； (2)见解析；(3)5
【分析】（1）由可证，可得；
（2）由可证，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解．
（1）证明：如图1，过点D作，

由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS