人教版（2024）八年级上册13.3.2 等边三角形优秀复习练习题

这是一份人教版（2024）八年级上册13.3.2 等边三角形优秀复习练习题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是等边三角形，，于点D，则等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2024·江苏南京·模拟预测）在中，三个内角的度数分别为，，，且满足等式，这个三角形是（ ）
A．只有两边相等的等腰三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
3．（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，在中，，，，，则（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
4．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）已知，如图在等边中，是的一点，，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．．
5．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，以点O为圆心，长为半径画弧，分别交于点B、A．连结，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作射线交于点C，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，线段与相交于点，且，连接，分别将和平移到，的位置．若，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）

A．B．C．D．
8．（22-23八年级上·河南信阳·期末）如图，已知等边三角形的周长为a，，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（ ）．
A．4B．6C．8D．12
10．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A．6B．12C．16D．8
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，直线，将等边按如图方式放置，点在直线上，边交直线于点，若，则的度数为 ．
12．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，已知，D为边上一点，，为线段的中点，以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点E，连接，则的长是 .

13．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，则的长为 ．

14．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图是屋架设计图的一部分，点 D是的中点，，，, 则 ．
15．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．
16．（22-23八年级上·陕西延安·期末）如图，，，，，若，，且长为奇数，则的长为 ．

17．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知，过的中点作另一边的垂线，垂足为点，连接，作的垂直平分线交的延长线于点，连接，作，垂足为点，则的长为 ．
18．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：等边三角形，点D在直线上，点E在直线上，，连接，直线交于点在的延长线上，点E在的延长线上，过点A作，垂足为H，若，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图， 是等边三角形， D 是 上的点，点 E 在外， 且，．
求证：(1)； (2)．
20．（8分）（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（10分）（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的角平分线，，交于点F．已知．
（1）求的度数．
（2）若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由．
22．（10分）如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E．
（1）求证：是等边三角形．
（2）求证：．
23．（10分）（21-22八年级下·河南驻马店·阶段练习）（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．
①∠AEB的度数为______；
②猜想：线段与的数量关系为______，并证明你的猜想；
（2）拓展探究：如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，试探究，，之间有怎样的数量关系．并说明你的理由．
24．（12分）（22-23八年级上·广西桂林·期中）小明遇到这样一个问题：是等边三角形，点在射线上，且满足，交等边外角平分线于点，试探究与的数量关系．
(1)【初步探究】小明发现，当点为的中点时，如图①，过点作，交于点，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段与的数量关系，则线段与的数量关系是∶ ；构造的的形状是：
(2)【类比探究】当点是线段上（不与点、重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想与之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)【拓展应用】当点在的延长线上时，其他条件不变，连接．请在图③中补全图形，并直接写出的大小为
参考答案：
1．A
【分析】由等边三角形的性质推出，．本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出．
【详解】解：是等边三角形，
，
于点，
．
故选：A
2．B
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，等边三角形的性质，正确理解绝对值、平方的基本性质是解题的关键．根据求出，，之间的等量关系，即可求解．
【详解】解：，
，，
，，
，
这个三角形是等边三角形．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质．根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据等边三角形的性质得到，根据平角的定义和三角形内角和定理证明，，进而证明，得到根据现有条件无法证明，据此可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，则选项正确；
又∵，
∴，则选项正确；
∴，则选项正确；
∴四个选项中，只有D选项根据现有条件无法证明，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查作图-基本作图、等边三角形的性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等边三角形的性质是解答本题的关键．
由作图痕迹可知，射线为的平分线，，则为等边三角形，即可得，即．
【详解】解：由作图痕迹可知，射线为的平分线，，
，
为等边三角形，
，
．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查平移的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，利用平移的性质和平行线的性质，推出是等边三角形，即可得出结果．
【详解】解：∵将将和平移到，的位置，
∴，，
∴，
∵．
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作于点D，
中,，，
，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
8．B
【分析】根据等边三角形的性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵等边三角形的周长为a，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】题目主要考查等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握运用这两个性质是解题关键．
9．A
【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案．
【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，
分别交、于、，如图：
∴，，
∴的周长的最小值为，
由轴对称的性质得：，，
，，
，，
，，
为边长为4的等边三角形，
，
的周长的最小值为4．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由，可得，从而得到的边长为2，同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16，即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴的边长为2，
同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16．
故选：C．
11．/40度
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得，再由题意得出，然后再利用平行线的性质即可解答．
【详解】解：如图所示，
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．4
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质．根据作图得到，从而得到为等边三角形即可得到答案．
【详解】解：∵，为线段的中点，
∴，
∵以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点E，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：4．
13．3
【分析】本题考查等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半．由等腰三角形的性质得，求出，然后由30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
14．
【分析】本题考查了直角三角形的角所对的边等于斜边的一半．先根据点 D是的中点，，求出，再根据直角三角形的角所对的边等于斜边的一半求出．
【详解】解：∵点 D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解．
【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．3
【分析】由已知条件得，进而得出，，再根据得到为等边三角形，进而得到，最后根据三角形的三边关系即可求出．
【详解】解：在和中
，
，，
，，
，
为等边三角形，
，
，，
，即，
,
长为奇数，
，
故答案为3．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键．
17．2
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据含30度角的直角三角形的性质求得，线段垂直平分线的性质求得，再利用证明即可求解．
【详解】解：作于，
∵，
∴，
∵的垂直平分线交的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴．
故答案为：2．
18．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，证明，得出，根据，进而可得，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，平行线的判定—“同旁内角互补，两直线平行”，掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，平行线的判定是解题的关键．
（1）由 是等边三角形得出，在根据已知条件即可得证；
（2）由（1）得可得，再利用 是等边三角形，得出，即可得证．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
在和中，
（2）由（1）得
又 是等边三角形，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定、含度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的性质定理得出，利用即可证明；
（2）由角平分线的性质定理得出，求出，再由含度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
21．(1)
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等边三角形的判定；
（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案；
（2）由（1）得：，从而得到，再由点F是的中点，可得，然后根据，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解：是等边三角形，理由：
由（1）得：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．
（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．
（2）根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】（1）∵为等边三角形，
∴．
∵，
∴，．
∴是等边三角形．
（2）∵为等边三角形，
∴．
∵平分，
∴．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
23．（1）①60°；②AD=BE，证明见解析；（2）AE=2CM+BE
【分析】（1）①由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．②由△ACD≌△BCE，可得AD=BE；
（2）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，根据∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．
【详解】解：（1）①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°，AC=BC，CD=CE，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
②AD=BE，理由如下：
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）AE=2CM+BE；理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC，CD = CE，∠ACB -∠DCB =∠DCE－∠DCB， 即∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM =DM= ME，
∴DE = 2CM．
∴AE = DE+AD=2CM+BE．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．
24．(1)，等边三角形
(2)，理由见详解
(3)
【分析】（1）是等边三角形，即，且，点为的中点，则，，根据中线性质可知点是的中点，则，且，由此即可求解；
（2）根据题意可知，是等边三角形，且，即可证明，由此即可求证；
（3）根据（2）的结论，可知是等边三角形，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，如图所示，连接，
∵是等边三角形，点为的中点， ，，
∴，，平分，即，
∴，则，
∵平分外角，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴是等边三角形，即；
由题意可知，根据中线性质可知点是的中点，即，且，
∴，即的形状是等边三角形．
（2）解：结论：，
理由如下：如图，过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，，，，
∵是外角的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
在△AFD和△DCE中，
，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，
∵是等边三角形，平分，，且，
∴是等边三角形，
∴．
【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，理解点为等边三角形一边的中点，且，为外角的角平分线是解题的关键．