高中8.6 空间直线、平面的垂直教学设计

这是一份高中8.6 空间直线、平面的垂直教学设计，共9页。教案主要包含了教师引入，学情预设，设计意图，小组活动等内容，欢迎下载使用。
教材地位分析
平面与平面垂直选自《普通高中课程标准教科书·数学（必修2）》（人教版A版）第八章第六节的内容，共需2个课时，其中“二面角与二面角的平面角”“两个平面垂直及其判定定理”属于第1课时，“平面与平面垂直的性质定理”属于第2课时。
平面与平面垂直是空间垂直关系的重点和难点内容，是转化和降维思想的重要体现。该内容位于第八章结尾，研究内容与方法与研究平面与平面平行类似，同时，本节的学习将进一步完善空间观念。
教学内容分析
本节课研究的是平面与平面之间的特殊关系——垂直，因此主要以教师引导和学生自主探究相结合。类似于定义直线与平面垂直的过程，首先给出二面角的概念，在引导学生思考二面角的度量问题，联系前面的学习经验，通过转化与降维的思想得到二面角的平面角的概念，进而实现以直线与直线垂直为基础定义平面与平面垂直。在此基础上，引导学生结合实例观察思考并小组讨论，归纳出面面垂直的必要条件，从而得到平面和平面垂直的判定。
学情分析
通过前面对的直线与平面平行、平面与平面平行、直线与直线垂直、直线与平面垂直等知识的学习，学生已经有了运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算来学习、研究立体几何的经验，掌握了平面化的方法，对线线、线面、面面之间的关系的转化也已经比较熟悉。因此采用启发引导、探究和小组讨论等多元结合的教学方法，通过具体情境引发学生主动的思考和探究，借助一系列问题引导学生发现和归纳，进而实现从具体到抽象的过渡，理解和掌握定义，直观感知定理。但本节课的抽象程度较高，故采用多媒体辅助教学，并注重借助长方体、引导学生正确作图来帮助直观感知。
设计理念
立体几何的学习抽象程度较高，对直观想象、逻辑推理和数学运算等方面的要求较高，其中位置关系的研究聚焦在“平行”和“垂直”上，这是学习立体几何的两个重点部分。而研究过程中，首先通过直观感知和操作确认来帮助学生由浅入深，有利于联系生活实际、激发学习兴趣，再进行推理论证、度量计算，从而实现由表及里、由定性到定量，深化对空间图形认识的过程，帮助学生逐步建立空间观念，体会数学源于生活，感悟数学的严谨性与逻辑性。
在课堂活动、师生互动中渗透数学思想方法，在课堂例题中添加数学史的元素，以长方体为载体帮助学生理解，由浅入深、由表及里，打造趣味性与知识性的课堂。
在学生的最近发展区中师生互动，采用学生自主探索、动手实践、合作交流的方式，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，注重概念的形成过程，让学生参与到课堂的学习中来，提高学生的学习热情。
教学目标
理解二面角和二面角的平面角的定义；掌握平面与平面垂直的判定定理；能应用判定定理证明一些简单的面面垂直问题。
通过生活情境，直观感知平面与平面垂直的现象，通过具体操作体会平面角的作法，体会类比与转化思想；通过直观感知和操作确认讨论并抽象判定定理，提高直观想象、数学抽象、数学建模等能力。
感受数学源于生活，激发学习兴趣，体会定义、定理的合理性与严谨性，从而感受数学与数学思想的魅力。
教学重难点
教学重点
二面角与二面角的平面角的概念，平面与平面垂直的判定定理。
教学难点
二面角的平面角的概念理解，平面与平面垂直的判定定理的形成过程。
教学过程
情景导入，感悟新知
【教师引入】师：前几节课我们学习了面面平行的判定和性质，我们一起来回顾所学内容。
【学情预设】学生根据前面所学的知识，在教师引导下回顾面面平行的判定和性质及研究方法。
师：其实生活中还有很多不平行，比如教室的门所在的平面与黑板所在的墙面之间（教师演示时打开门再关上门），再比如同学们手中的书，如果把书页看成面的话，同学们可以观察一下翻书时这些面之间的关系。（PPT呈现打开的书本和打开的门的图片）这里老师也将它们呈现在黑板上。
问题1：这些平面之间平行吗？
【学情预设】学生根据回顾的知识容易知道不平行。
问题2：那么类比空间直线的位置关系，同学们“感觉”这些面之间位置关系是什么？
【学情预设】学生已经熟悉空间直线的位置关系（平行、相交、异面），在前面一问的基础上能回答出关键词“相交”。
师：在相交的关系中，比较特殊的是“垂直”，这就是我们本节课学习和研究的内容——平面与平面垂直。
【设计意图】通过复习引导学生回顾平面与平面平行的相关知识和学习思路，为平面与平面垂直的学习铺垫。再结合生活情境演示并利用PPT直观展示图片，引出后面的探究活动，让学生体会空间位置关系的学习的连贯性、学习方法和思想的一致性。
明确方向，引入二面角的概念
平面角的概念
师：两平面垂直怎么刻画呢？大家先回顾一下直线与平面垂直的定义。
【学情预设】根据前面的学习，学生能很快回忆并作答。
师：是的，在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直。所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础。
师：在定义直线与平面垂直时，在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况。同学们思考一下，能否类比平面角定义平面和平面所成角？
【学情预设】通过类比的提出，学生能意识到需要引入角的概念，有了思考的方向，但不能精准回答，这里稍作停顿接着衔接即可。
师：因此，我们引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直。
教师利用多媒体展示并引入概念，学生接受新知，理解概念
【设计意图】衔接已知，类比直线与平面垂直的定义思路、直线与直线垂直的的研究思路，帮助学生认识到引进二面角概念的必要性；通过多媒体课件演示，帮助学生更加直观地认识二面角，并将学生直观感知推向理性认知。
二面角的平面角及其作法探究
合作探究，获得概念
师：现在大家再次观察教室的门，我们将门开大一些，大家观察门所在的面和黑板所在的墙面。（教师再次通过教室的门演示）
问题1：大家觉得门与黑板所在的墙面所成的二面角是变大了还是变小了？
【学情预设】学生通过直观感知，能够从感性角度作答。
问题2：同学们是如何感知二面角的大小变化的？请大家利用桌上的对折过的白纸作为两个半平面（提前准备好的用具，教师适当演示），思考应该如何刻画这种角度的变化。
【小组活动】学生以小组为单位，用对折过的白纸思考，合作探究并讨论。
【学情预设】这里一些同学可能会暂时没有思考的方向，根据同学们的思考情况，教师适当提示“能否类比直线与平面所成角的定义来刻画二面角？”，根据小组讨论情况加以引导，使学生想到用直线与直线的夹角“降维”刻画二面角。
小组派代表分享本组的探究成果，教师引导，给出二面角的平面角的概念。
【设计意图】通过学生合作探究，从直观感知到操作确认，初步获得二面角的平面角的概念和直观理解，进一步掌握平面化与转化降维的思想方法。
深入理解，把握概念
利用问题串，启发学生思考和探究，并回答，教师引导与总结
问题1：二面角的平面角的变化范围是什么？
问题2：的大小与点在上的位置有关吗?
问题:3：为什么是作垂直于棱的射线和，可以作斜线吗？
问题4：面和棱之间有什么关系？
【设计意图】利用问题串，启发学生思考和探究，帮助学生深入理解定义的合理性与严谨性，精准把握概念，避免误区。
利用方体，巩固概念
【学情预设】根据二面角的平面角的概念，学生对于第一、二小问能比较容易得出，讲解重点放在第三小问。
【设计意图】利用方体，帮助学生进一步明晰二面角的平面角的概念，以及如何寻找和求得二面角的平面角。
直观感知，平面与平面垂直及其判定定理
利用二面角定义垂直
利用上述例题的方体，乘胜追击，继续追问。
问题1：那么平面与平面的二面角的平面角是什么？
问题2：这个角度是多少？
【学情预设】根据二面角的平面角的学习与巩固，学生容易回答这个二面角的平面角的角度为直角。
师：类似直线垂直的定义方式，一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。平面与垂直，记作⊥。
板书演示，帮助同学们形成作图规范：
师：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。
【设计意图】利用上述方体模型，趁热打铁，运用追问引入平面和平面垂直的定义，并通过板书帮助同学们形成作图规范。
直观感知，抽象定理
合作讨论，感知定理。
师：类似两平面的研究思路，在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质，首先研究平面与平面垂直的判定。
师：大家再次观察这个门，现在它所在的面与地面是什么关系？
【学情预设】学生能够回答出两个面垂直。
师：如果我现在打开这个门，它所在的面与地面依旧垂直吗？（教师演示门打开、关上的动态过程）
【学情预设】学生能够发现并回答出两个面垂直。
追问：这两个面垂直是由什么保证的？
组织学生小组思考讨论，根据讨论情况适当引导学生发现变化中的不变量——门的轴与地面是垂直的。
教师总结，并板书定理内容。
【设计意图】
例题巩固，应用定理
利用课本例七，引导书写规范
【设计意图】例题解析，给出此类证明题的解题步骤，规范书写，培养学生思维的严谨性，同时以分析法引导学生理解解决面面垂直问题的基本方法，能理解定理并运用定理。
小结与作业
师：通过这节课的学习，你有哪些收获？
教师引导学生回顾、总结，并根据图1（呈现在PPT上）补充完善图2（呈现在PPT上），形成体系，为下节课的内容做铺垫，将问号处（下节课内容）留作思考题与作业一并布置。
【设计意图】学完本节知识后，结合图解回顾帮学生建立自己的知识体系，将新知纳入到自己已有知识网络，有利于学生更好的掌握和理解。
板书设计
如图,在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角。
如图，在正方体中，找出下列二面角的平面角：
二面角
二面角
平面与平面
如图，在正方体中，求证：平面平面
证明：是正方体
平面
又
平面
平面平面
图1
图2
8.6.3平面与平面垂直
1.二面角：从一条射线出发的两个半平面所组成的图形.
2.在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角。
3.定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作⊥.
4.定理：如果一个面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
例题7：
证明：
是正方体
平面
又
平面
平面平面