杨辉三角的性质与应用 教学设计 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

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《杨辉三角的性质与应用》（第三课时）教学设计高数学探究课对于发展学生的思维能力，学会数学的思维方式，学会数学探究等具有重要作用。前两课时学生已经通过搜集资料了解了杨辉三角的历史，分小组探究出了杨辉三角的性质，并选择某条性质探究它的应用，本节课就是展示同学们小组探究的成果。下面从以下几个环节进行汇报：教材分析本节课选自人教A版选择性必修三第六章数学探究课的第三课时，是在学习过二项式定理后的一节数学探究课。结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养.在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养.学情分析数学学习并不单纯是数学知识的学习，更重要的是通过学习数学知识所蕴令的丰富的数学思想方法提高学生的思维能力。进入高二以后，从学生的知识结构来看，学生已学习了两个计数原理和二项式定理，这为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了知识基础。从学生的心理特征来看，高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，数学学习能力有了很大提高，特别是观察、探究能力也有了长足的进步，为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了能力基础。三、重点、难点 重点、难点是杨辉三角性质的应用.四、教学过程环节一、知识回顾 简单回顾杨辉三角的历史背景、地位和作用，并梳理探究出来的杨辉三角的性质.环节二、小组展示 课前开展学习活动，前两课时已经了解了杨辉三角的历史背景、地位和作用，探究了杨辉三角的性质，之后各小组选择某条性质来探究性质的应用，课上分小组进行成果展示.潜新组——探究杨辉三角在弹球游戏中的应用（见附表1）恒学组——探究杨辉三角在纵横图中的应用（见附表2）探源组——探究杨辉三角在堆垛术中的应用（见附表3）环节三、课堂小结通过三个课时的探究，同学们了解了杨辉三角的历史背景、地位和作用，探究出了杨辉三角的性质，并探究了性质在生活中的应用。在整个的探究过程中，同学们不仅仅获得了数学的知识，还获得了很多宝贵的经验，以及在合作探究中的深厚的友情和团队的精神。设计意图：肯定学生们的探究过程，表扬学生们合作探究中的团队合作精神.环节四、课后作业提供杨辉三角的其它的研究方向，鼓励同学们勇于探索尝试.设计意图：设计研究性学习活动，鼓励学生探究杨辉三角中的众多奥秘.附表1杨辉三角的性质与应用___19__年级__10___班 完成时间____2021.12.10___________附表2杨辉三角的性质与应用___19__年级__10___班 完成时间__2021.12.10__附表3杨辉三角的性质与应用2019年级10班 完成时间2021.12.11课题成员分工王延璞（组长，汇报人） 罗成、王晓涵（查找资料）夏添、祁泽耀（汇总资料并发现规律） 刘芊蔚、杨逸菲（撰写相关材料）全体组员（相关规律、定理的证明）发现的数学结论及发现过程概述过程：结合所学过的二项式定理的知识，在杨辉三角中横看，斜看、局部看，整体看，发现了一些规律。①第n行的和为，即②第n行所有数字拼在一起为（第4行数字为1，4，6，4，1，拼在一起为14641=）③自腰上的某个1开始平行于腰上的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数（曲棍球定理）④从第3条斜线中数字的和起,其后各斜线中数字的和是前两条斜线中数字和之和（斐波那契） = 5 \* GB3 ⑤证明思路及其形成过程描述④将n个数相加抽象为Ckk+Ck+1k+Ck+2k+⋯+Cnk=Cn+1k+1(n≥k,n,k∈N∗)再运用组合数相关性质证明结论的证明或否定Ckk+Ck+1k+Ck+2k+⋯+Cnk=Ck+1k+1+Ck+1k+Ck+2k+⋯+Cnk=Ck+2k+1+Ck+2k+⋯+Cnk=Cn+1k+1杨辉三角的应用举例弹球游戏与高尔顿板、谢尔宾斯基三角形、堆垛数......6、收获与体会要在日常生活中做一个有心人，有一双见微知著的眼睛，才能在日常生活中体会出数学之美，品味出大千世界真正的奥妙。1,课题组成员分工：整理汇总：李庆琳 题目收集：朱立玮 探究解题：李庆琳 朱立玮 蔡文博 张天乐发现的数学结论及发现过程：对称性：每行中与首末两端“等距离”的两个数相等第n行的和为2n杨辉三角与横纵图计数问题的联系证明思路：依据由特殊到一般地思路来进行证明，先试探究4×4特殊横纵图与杨辉三角的关联。然后利用加乘原理和排列组合知识加以验证，最终进一步推广到任意情况。结论的证明：如右图，可将横纵图旋转便于观察，依据分步加法原理：A→C 和A→D点分别有1条路径，则A→E共有1+1=2条路径。如右图，依据相同逻辑，可以发现A→B共70条路径，且整个计数过程与杨辉三角数字分布相同，进而证明了这一结论。杨辉三角应用举例：立体计数问题收获与体会：数学的美妙在于探索不同事物之间的联系，由此及彼，一而广之。从杨辉三角到横纵图计数问题正很好的体现了这一点，善于观察，长于联想，严谨论证终会有所收获。1、课题组成员分工整理汇总：刘永杰材料收集：王雨晴、乔玥崎、齐靖钰定理证明：刘希平、鲁子旭、高菲阳、汪怡菲2、发现的数学结论及发现过程概述结论：①递归性：除1之外的数都等于肩上两数的和 ②曲棍球定理：自腰上的某个1开始平行于腰上的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数过程：结合所学知识，观察杨辉三角的数字排列顺序，进行归纳与推断证明思路及其形成过程描述通过所学的组合数的性质与杨辉三角的关系进行推导，由特殊到一般，得到普遍规律结论的证明或否定①Cn−1m−1+Cn−1m=Cnm②Cn0+Cn+11+Cn+22+Cn+33+⋯⋯+Cn+mm=Cn+10+Cn+11+Cn+22+Cn+33+⋯⋯+Cn+mm=Cn+21+Cn+22+Cn+33+⋯⋯+Cn+mm=Cn+m+1m杨辉三角的应用举例垛积问题：三角垛、正方垛小球总数计算数列求和公式的推导：三角形数数列、平方数数列收获与体会在研究数学问题时，要注意图形与数字相结合来研究问题。杨辉三角正是在数形结合的思想下，将组合数、二项式系数、数列等问题在一个数字规律排列的三角形中展现出来，其中所蕴含的丰富的数学规律和思想，更需要我们进一步研究发掘。