初中数学人教版（2024）八年级上册13.4课题学习 最短路径问题习题

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【模型一： 两定交点型】如图1，直线和的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；

图1
【模型二： 两定一动型】如图2，直线和的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（同侧转化为异侧）；

图2
【模型三： 一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。

图3
【模型四： 两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。

图4
【模型五： 一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图5
【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图6
【考点1】两定一动型； 【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【考点3】一定两动（垂线段最短）型； 【考点4】两定两动型；
【考点5】一定两动（等线段）转化型；.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点1】两定一动型；
【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ）

A．12B．6C．7D．8
【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，则周长的最小值 ．

【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，，P为内一点，A为上一点，B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（ ）

A．B．C．D．
【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是 ．
【考点3】 一定两动型（垂线段最短）；
【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，则的最小值等于（ ）

A．4B．C．5D．
【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．

【考点4】两定两动型；
【例4】如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ．

【考点5】一定两动（等线段）转化型；
【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ）
A．75°B．90°C．95°D．105°
【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ．

第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ．

【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ．

2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．14D．12
【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（ ）

A．3B．4C．6D．7