04 第4讲　基本不等式 【正文】听课高考数学复习练习

这是一份04 第4讲　基本不等式 【正文】听课高考数学复习练习，共7页。试卷主要包含了基本不等式ab≤a+b2，几个重要的不等式，利用基本不等式求最值问题等内容，欢迎下载使用。


1.基本不等式ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件: .
(2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号.
(3)数 称为a,b的算术平均数;数ab称为a,b的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥ (a,b∈R).
(2)ba+ab≥ (a,b同号).
(3)ab≤a+b22(a,b∈R).
(4)a+b22≤a2+b22(a,b∈R).
3.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0.
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是 .(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是 .(简记:和定积最大)
常用结论
1.若a>0,b>0,则21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22,当且仅当a=b时,等号成立.
2.当x>0时,函数y=x+ax (a>0)在x=a处取得最小值2a;当x<0时,函数y=x+ax(a>0)在x=-a处取得最大值-2a.
题组一 常识题
1.[教材改编] 当x= 时,x2+1x2取得最小值 .
2.[教材改编] 已知x>1,则x+1x-1的最小值为 .
3.[教材改编] 用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,则当所用篱笆最短时,所用篱笆的长度是 m;若矩形菜园一边靠墙,墙的长度为9 m,则当矩形和墙平行的边长为 m时,所用篱笆最短.
题组二 常错题
◆索引:对于基本不等式的应用,注意字母的正负以及等号成立的条件;等号不成立时,通常考虑利用函数的单调性求解.
4.函数f(x)=2x+8x+1 (x<0)的最大值为 .
5.当x≥2时,x+4x+2的最小值为 .
直接用基本不等式
例1 (1)已知x,y都是正数,且x≠y,则下列选项不恒成立的是( )

A.x+y2>xyB.xy+yx>2
C.2xyx+y2
(2)(多选题)[2023·山东济宁二模] 已知m>0,n>0,且m+n=2mn,则下列结论中正确的是( )
A.mn≥1B.m+n≤2
C.m2+n2≥2D.2m+n≥3+22
总结反思
利用基本不等式比较大小,主要有两个思路:一是直接建立不等关系比较大小;二是观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变形形式,结合不等式的性质比较大小.
变式题 (1)下列不等式中,一定成立的是( )
A.x+4x≥4B.ln x+1lnx≥2
C.ab≤a+b2D.2x+2-x≥2
(2)(多选题)已知a>0,b>0,a2+b2-ab=2,则下列不等式恒成立的是( )
A.1a+1b≤2B.ab≤2
C.a+b≤22D.a2+b2≥4
变形用基本不等式求最值
微点1 配凑法
例2 (1)设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+4x+1的最小值为( )
A.43-1B.43+2
C.42+1D.6
(2)已知0 总结反思
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用基本不等式求解.
微点2 常数代换法
例3 (1)[2023·河北邯郸一模] 已知a>0,b>0,且a+b=2,则2a+1+8b+1的最小值是( )
A.2B.4C.92D.9
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为 .
总结反思
常数代换法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求ax+by的最值”的问题,通常先将ax+by转化为ax+by·x+yt,再用基本不等式求最值.
微点3 消元法
例4 (1)已知正实数a,b满足2a+b=ab,则a4-2b的最小值为( )
A.0B.2C.4D.6
(2)[2023·江苏镇江二模] 已知xy>0,且x2+2xy=1,则x2+y2的最小值为 .
总结反思
消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
1.
【微点1】[2023·福建南平一模] 若函数f(x)=x2-2x+4x-2(x>2)在x=a处取最小值,则a=( )
A.1+5B.2
C.4D.6
2.【微点2】[2023·江苏连云港二模] 已知x+y=1,x>0,y>0,则12x+xy+1的最小值为( )
A.54B.0
C.1D.22
3.【微点1、微点3】已知正实数a,b满足ab+2a-2=0,则4a+b的最小值是( )
A.2B.42-2
C.43-2D.6
4.【微点2】(多选题)[2024·江苏扬州模拟] 已知a>0,b>0且a+b=2,则下列式子中一定成立的是( )
A.a2+b2≥1B.1a+2b≥2+322
C.2a-b>12D.a+b≤234
5.【微点1】已知06.【微点3】已知x>0,y>0,1x+y=2,则xy的最小值为 .
基本不等式的实际应用
例5 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2024年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用t(t≥0,单位:万元)满足x=4-k2t+1(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,该厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).
(1)设该厂家2024年该产品的年利润为y万元,求y关于t的函数关系式.
(2)该厂家2024年该产品的年促销费用为多少万元时该产品的年利润最大?


总结反思
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题建立函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.
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(进群送往届全部资料)变式题 (1)[2023·湖南名校联考] 某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为1800 m2的矩形ABCD,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2 m的人行通道,则种植花卉区域的面积的最大值是( )
A.1208 m2B.1448 m2
C.1568 m2D.1698 m2
(2)一家物流公司计划建立仓库储存货物,经过市场了解到下列信息:每月的土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月的库存货物费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成正比.若在距离车站10 km处建立仓库,则每月的土地占地费和库存货物费分别为4万元和16万元,则要使两项费用之和最小,仓库到车站的距离应为 km.