第1讲【圆锥曲线】计算技巧系列10讲——设点还是设线？高考数学复习练习

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处理解析几何问题时,有个重要遇阻因素是如何表示直线方程,是直接采用斜率作参量还是用点的坐标作参量,即是设点还是设线.“设线”时至多有两个变量,当所设直线能够方便地表示“问题目标元”,达到“一线贯通”时,应考虑设线;若选用设点,要确认“问题目标元”能否用点参表示,达到“点点通”.特别是当直线无法方便地将“问题目标元”与之联系起来时,“设点”往往是优选方案.但从思维习惯来讲,“设线”是我们采取的常规手段,是通法.
【知识精讲】
一、设点法基本知识
1．两点式方程
若，是直线上两定点，则过这两点的直线方程为：.为使其更具有一般性，若将其化简为①.
①式的特征是右端出现了这两点的交叉轮换式，即二阶行列式，若①式表示过定点的直线，则只需证明恒成立即可。这样的话，在处理斜率问题时的关键就是构造出上述的轮换关系，单纯的斜率定义：不重合的两点，则是难以直接构造的，所以我们需要利用斜率的点差法来构造，下面会在【典例精讲】中通过具体例子说明如何利用点差法构造轮换式.
抛物线中的直线的两点式方程会很简单，这里单独给出，如下
过执物线上两点的直线方程,常运用设点法表示,记点,于是直线的方程:,即.
若设点,则直线的方程:.
若将抛物线方程改为,则直线的方程:.
2 . 设点法轻松推出的一般性结论
设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为；
若，则有， （2）若，则直线过定点，
（3）若，则有， （4）若，则直线过定点.
【证明】此处用点代法证明结论（3），其余的类似证明 .
已知椭圆在第一象限内有一点，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于另一点，则有.
设，其中.
所以
依题意得，所以，（关注微信公众号：Hi数学派）
从而
同理，有
两式相减，得所以，证毕.
直线与抛物线相交于两点,与轴交于点,
则.
直线与抛物线相交于两点,与轴交于点,
则.
设点法一般应用场景
（1）椭圆双曲线单动点：在椭圆上找一点使它满足某种条件时设点，或者牵一“点”动全身时，设点。
（2）椭圆双曲线双动点：利用两点式方程构造轮换式
（3）抛物线双动点设点：作差相除很容易得到一个斜率或者斜率的倒数，利用这一特征，抛物线我们一般多采用设点法
二、设线
设线解点是处理斜率问题的通法之一，它依赖于斜率的坐标定义，所以我们在翻译与斜率有关的问题时就考虑解出坐标，然后表示出斜率来，此法的优点是思维量较小，简单易上手，但是缺点就是往往可能运算量较大，但是在处理多直线的斜率关系时，设线解点配上点参数法不失为一种好的处理方法，各位读者可以在下面【典例精讲】中看到。这里先总结三种常用的设线方法，
方法一：设线解点（利用直线与曲线方程联立去解点坐标）
不重合的两点，则.所以我们在解决与斜率有关的问题时，第一个最朴素的想法就是解点，然后利用斜率公式解决.
此时，题干通常都会出现一定两动的斜率关系，分别通过一定的和两个定点连线所构成的两条直线联立曲线方程解出动点坐标，由于两条直线地位等价，解出一个之后即可同理得到另一点的坐标.
方法二：利用直线与直线方程解点构造同构式
上一方法联立直线与曲线的方程直接解点，当然亦可通过直线与直线相交解点再代入曲线方程，然后我们就可以构造斜率同构式.
方法三：设线解点+点参数法
当然，对于一些斜率比值问题，如果我们能够发现欲求斜率中点的对称等价关系，就可以通过其中部分点的坐标作为参数来表示其他点的坐标，再利用斜率公式求解，这就是下面例题的基本方法.
【典例精讲】
一、设点
例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
【解析】
设，由点都在双曲线上，
得，，
所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.
因为直线的斜率之和为，即，
所以，由得. ②
由得. ③
由②-③，得，从而，即的斜率为.
不妨设直线PA,PB的倾斜角为α,βα