第6讲【圆锥曲线】计算技巧系列10讲——何谓点乘双根法？高考数学复习练习

这是一份第6讲【圆锥曲线】计算技巧系列10讲——何谓点乘双根法？高考数学复习练习，共28页。
【知识与典例精讲】
一、点乘双根法的含义与原理：
何谓点乘双根法呢？在大学数学中，把向量，的数量积叫做向量点乘向量，因此点乘得名；所谓双根是由初中的一元二次方程知识可知：若和是一元二次方程的两个根，则，我们把叫做二次方程的双根式，所谓的点乘双根法就是构建双根式是去解决含和或者可转化为含含和的计算问题，其中以向量的数量积有关的问题为最常见．
点乘双根法的原理：
点乘双根法是通过对双根式进行赋值和，直接计算和的含参表达式，然后整体代入目标，从而构建出关于参数的等式关系式，避免繁杂的计算，达到快速解题的目的（其中，点坐标为已知定点，，为直线与圆锥曲线的交点）．
二、点乘双根法适用题型:
在圆锥曲线中，遇到如（其中为常数）的形式，其中点是已知的点，，为直线与圆锥曲线的交点的问题时，可用点乘双根法以达到简化运算，快速解题的目的．
三、点乘双根法解题范式：
下来以一个例题来讲解一下点乘双根法应用范式．
【例题】椭圆：，若直线：与椭圆交于，两点（，不是左右顶点），且以直线为直径的圆恒过椭圆的右顶点．求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标．
步骤1：联立方程，构建双根式
设椭圆的右顶点为，，，所以，
联立，化简得：（关注微信公众号：Hi数学派）
，
又因为，是方程的两个根，所以
= 1 \* GB3 ①
步骤2：赋值
点乘双根法赋值目的是为了对目标中的和进行整体代换以达到简化计算的目的，故对双根式 = 1 \* GB3 ①中的进行赋值得
，
整体求出
= 2 \* GB3 ②．
接下来先求出，，只需对双根是进行赋值，并两边同时乘以可得
= 3 \* GB3 ③．
步骤3：变形代入
将 = 2 \* GB3 ②和 = 3 \* GB3 ③整体代入，可得
，
即，分解因式得，或，
当时，直线，故直线恒过定点．
当时，直线，故直线恒过定点，舍去．
四、典型例题
【例1】(2012年重庆理科第20题)设椭圆中心在原点，长轴在轴上，上顶点为，左右顶点分别为，，线段 ，中点分别为，，且是面积为的直角三角形．
（1）求其椭圆的方程
（2）过作直线交椭圆于，两点，使，求直线的方程．
【解析】（1），过程略．
（2）法一：(点乘双根)
易知：直线不与轴垂直，则设直线方程为：，，，
因为，则，所以，
= 1 \* GB3 ①
现联立
则方程可以等价转化
即
令，
令，
结合化简可得：
，，所以直线方程为：．
法二：（点乘双根）
若的斜率为，则，所以的斜率不会为．
设：，，，则，，所以
= 1 \* GB3 ①，
将，代入 = 1 \* GB3 ①得（关注微信公众号：Hi数学派）
= 2 \* GB3 ②．
当时，：，经检验不符合题意；
当时， = 2 \* GB3 ②式变形得
= 3 \* GB3 ③，
联立得
，
令，则，即
= 4 \* GB3 ④；
令，则，即
= 5 \* GB3 ⑤，
将 = 4 \* GB3 ④ = 5 \* GB3 ⑤代入 = 3 \* GB3 ③得
，
解得，所以：．
【点睛】由，得，故而按照点乘双根法的步骤去求解即可，方法一和方法二都是于点乘双根法，题目不同在于消去的元不一样，并无本质上的区别，都是用点乘双根法去简化有关双根的和与乘积有关的式子的计算问题．
【例2】(2018年全国课标卷3理科16题) 已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
【解析】法一：（点乘双根法）
设，，直线：(其中)，
因为，所以，即
= 1 \* GB3 ①

联立消去可得：（关注微信公众号：Hi数学派）
，
又因为，是方程的两根，所以
= 2 \* GB3 ②．
令，得，所以
= 3 \* GB3 ③；
令，得，所以
= 4 \* GB3 ④
将 = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④式代入 = 1 \* GB3 ①，得
，
解得，，所以．
法二:(常规方法)
抛物线：的焦点，过，两点的直线方程为，
联立，可得
，
设，，则
，，
，，
，，，，，
整理可得，
，
，即，．
故答案为．
法三:(中点弦法)
设，，则，所以，
则，如图，取的中点，分别过，作准线的垂线，垂足为，，在中，，所以点为线段的中点，且平行于轴，则，从而有，代入，故填．
【提升训练】
1．设，为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程．
【解析】：法一：（常规方法）
设，，,设直线方程为，联立化简可得:
，
所以
，，
因为，所以
，
= 1 \* GB3 ①
又因为直线方程等价于为，即，
对比于，则代入 = 1 \* GB3 ①中，化简可得：．
法二：（齐次化解法）
设直线方程为，联立，可得，
所以，化简可得，
整理成关于，的齐次式：（关注微信公众号：Hi数学派）
，
进而两边同时除以，则
，
记，的斜率分别为，，则，为方程的两个根，由韦达定理得，
因为，所以，
= 1 \* GB3 ①
又因为直线方程等价于为，即，
对比于，则，代入 = 1 \* GB3 ①中，化简可得：．
【点睛】
齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如：
，，，，，，
前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下：
，
，
．
这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的．
2．已知椭圆，设直线不经过点的直线交椭圆于，两点，若直线，的斜率之和为，证明：直线恒过定点．
【解析】(1)当直线的斜率存在时，以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：
旧坐标 新坐标
即
所以，则，即，
在新坐标中转换为：，即．
设直线方程为：．
原方程：则转换到新坐标就成为：．
展开得：
构造齐次式：
整理为：
两边同时除以，则
所以，所以代入，
整理得，对于任意都成立．
则，解之得，故原理坐标系地应点坐标为，所以过定点；
（2）当直线的斜率不存在时，设：，则，，
所以，直线：，过定点．
综上，直线恒过定点．
3．已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于，两点，证明：直线斜率为定值．
【解析】以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：
旧坐标 新坐标
即
所以，
原来 ，则转换到新坐标为：，即．
设直线方程为：．（关注微信公众号：Hi数学派）
原方程：则转换到新坐标就成为：．
展开得：
构造齐次式：
整理为：
两边同时除以，则，
所以，所以
而．所以．
平移变换，斜率不变，所以直线斜率为定值．
4．已知椭圆：经过点,且离心率等于．
（1）求椭圆的方程；
(2)过点作直线,交椭圆于，两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点请写出点坐标．
【解析】 (Ⅰ)椭圆经过点,且离心率等于, 椭圆的方程为;
(Ⅱ)方法一：（常规方法）
设直线的方程为，，
联立椭圆方程得,则,．
,
由,得,代入得，
(舍去), ,直线的方程为,所以过定点．
方法二：（平移坐标＋齐次化）
把椭圆向左平移2个单位，（是为了平移到原点）
则方程变成（左加右减，上减下加）
设直线为；下面对椭圆方程进行化简；
我们需要的形式是不出现一次项，都是二次项，此时将乘上一个，也就是即可，此时椭圆方程变成，两边同时除以，令，则化简为，又因为，则恒过，再向右平移个单位，则恒过．
5．已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的下顶点，，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①试问，所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若点为椭圆上异于，的一点，且，求的面积的最小值．
【解析】(1)依题意设椭圆的标准方程为
双曲线的焦点为，，解得，，椭圆的标准方程为．
(2) = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①由题意可知
设，直线的解析式为
则有即有 (*)
联立整理得
将此代入(*)式可得，当直线过
故此时直线过定点， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②由 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①知，由知
直线的解析式为，联立可得
，
设，，当时，为最小．
方法二：齐次化+平移构造：
把点平移到原点，需向上平移个单位，设直线为此时椭圆方程变成，为了让结果都是二次项，则让乘上一个1，即，即，化简得：，同时除以，并令，则方程变成，此时；
直线为，恒过，再平移回去，则原题直线恒过．
6．（2017新课标Ⅰ卷理科第20题）已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
【解析】（1）由于两点，关于轴对称，故由题设知经过，两点．又由知，不经过点，所以点在上，因此，解得，故的方程为．
法一：（常规方法）
设直线与直线的斜率分别为，，
如果与轴垂直，设，由题设知，且，可得，的坐标分别为，．则，得，不符合题设．
从而可设，将代入得：，由题设可知，设，，
则，，（关注微信公众号：Hi数学派）
而，
由题设，故，
即，
解得，当且仅当时，，则，
即，所以过定点．
法二：齐次化+平移构造
步骤1：平移坐标系，当定点不是坐标原点时，要坐标系原点平移到与定点重合．
令，在新坐标系中，曲线：的方程为，
化简得．
步骤2：联立方程构建齐次式
联立曲线方程和直线方程，
进行“”的代换构造齐次式，化简得：，
两边同除以得．
步骤3：构建目标条件
本题目标条件是研究直线与直线的斜率之和时，
易知和是方程的两个根，
由韦达定理可得：，化简可得，即，
将其代入直线方程得，整理得，
令，解得，故平移后的直线过定点．
步骤4：平移回去
将平移后的直线过的定点，将其代入得，故原直线过定点．
7．已知抛物线，过原点且相互垂直的直线，交抛物线于，两点，求证：
直线过定点．
【解析】方法识别：，适合用齐次化来处理．
法一：（齐次化）
设： = 1 \* GB3 ①，，，，，
将直线变形为，代入到中得，
两边同除以，整理可得，
注意到，，所以和方程的两个根，
所以，又因为，所以，
所以，代入 = 1 \* GB3 ①可得，
所以直线恒定过定点．
类型识别：因为直线，互相垂直，所以，适合用点乘双根法．
方法二：（点乘双根法）
设： = 1 \* GB3 ①，，，则，
， = 1 \* GB3 ①．
联立，，
又因为和是方程，
所以，
令，则 = 2 \* GB3 ②；
令，则 = 3 \* GB3 ③．
将 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③代入 = 1 \* GB3 ①得，即，
代入可得，所以直线恒定过定点．
8．过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于，，若且，求双曲线的方程．
方法识别：因为，所以，适合用齐次化来处理．
【解析】法一：（齐次化）
设双曲线方程为，直线：，其中．
将直线变形为，代入双曲线方程得，
整理得，
两边同除以，，
注意到，，
所以和方程的两个根，所以，
又因为，所以，即，可得，
化简可得，即，，故双曲线方程为，
联立，消去得，
设，，则，，
由弦长公式得，
计算可得，，所以双曲线方程为．
方法识别：由，得，适合用点乘双根法．
法二：（点乘双根法）
设: = 1 \* GB3 ①，，，则，
， = 1 \* GB3 ①．
联立，，
又因为和是方程，
所以．
令得 = 2 \* GB3 ②；
令得 = 3 \* GB3 ③．
将 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③代入 = 1 \* GB3 ①得，
化简可得，即，，故双曲线方程为，
联立，消去得，
设，，则，，
由弦长公式得，
计算可得，，所以双曲线方程为．
9．直线与圆相交于，，且，求的值．
类型识别：，所以，适合用齐次化来处理．
【解析】设，，将直线变形为，
代入圆得，
化简得，
等式两边同除以得，
注意到，，所以和方程的两个根，
所以，计算可得．
10．过椭圆:上的定点作倾斜角互补的两条直线，分别交椭圆于，两点，求证：．
类型识别:因为两条直线倾斜角互补，所以，所以可用齐次化+平移构造．
【解析】设:,将椭圆方程变为含，的形式可得：
，
展开得，
与直线方程联立并齐次化整理得，
由韦达定理可得，即，
所以，即，可得．
11．已知抛物线的焦点为，过作两条垂直的直线，，与抛物线相交于，两点，与抛物线相交于，两点，求的最小值．
【解析】设，，：，：，
联立，得的两个根为，，
，（关注微信公众号：Hi数学派）
又，
同理以替换可得：，
所以，
当且仅当，即取得最小值．
12．已知抛物线方程为，直线与抛物线交于，两点，，且，求的值．
【解析】设，， = 1 \* GB3 ①
联立，消得 = 2 \* GB3 ②，
将代入 = 2 \* GB3 ②式得 = 3 \* GB3 ③；
同理：联立，消得 = 4 \* GB3 ④，
将代入 = 4 \* GB3 ④得 = 5 \* GB3 ⑤，
联立 = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ = 5 \* GB3 ⑤得：，
所以，所以直线方程为．
13．（2013年石家庄一模理科20）椭圆的左，右焦点分别为，，过作与轴不重合的直线交椭圆于，两点．
（1）若为正三角形，求椭圆的离心离；
（2）若椭圆的离心离满足，为坐标原点，求证：．
【解析】（1），过程略．
（2）（点乘双根法）
由题意有：，，所以，
则，要证（因为）
．
设，， = 1 \* GB3 ①当轴时，，则，，
则
，所以．
= 2 \* GB3 ②当与轴不垂直时，设直线：，，，
所以 = 1 \* GB2 ⑴．
联立 得，
所以，
令，则，即 = 2 \* GB3 ②；
令，则，即 = 3 \* GB3 ③，
将 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③代入 = 1 \* GB3 ①得，
要证，只需证即可，
因为，则，
所以，
所以，综上可得：．
14．(2008年辽宁理科第20题) 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于，两点．
（Ⅰ）写出的方程；
（Ⅱ）若，求的值；
（Ⅲ）若点在第一象限，证明：当时，恒有．
【解析】（Ⅰ）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点，长半轴为的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为．
（Ⅱ）法一：（常规方法）
设,，其坐标满足，消去并整理得，
故，．
若，即 ，而，
于是 ，化简得，所以．
法二：（点乘双根法）
设,，直线：．若，则：，即，，
故,．（关注微信公众号：Hi数学派）
因为，所以 = 1 \* GB3 ①，
将代入 = 1 \* GB3 ①得 = 2 \* GB3 ②．
联立得，
令得 = 3 \* GB3 ③；
令，则，即 = 4 \* GB3 ④．
将 = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④代入 = 2 \* GB3 ②，即，，所以．
法三：（点乘双根法）
设,，直线：．若，则：，即，，故,，故，与矛盾，所以，直线：可变为（其中），故有
因为，所以 = 1 \* GB3 ①．
联立得，
即令得，即 = 2 \* GB3 ②；
令，则， = 3 \* GB3 ③．
将 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③代入 = 1 \* GB3 ①，即，，所以．
（Ⅲ）．
因为在第一象限，故．由知，从而．又，故，即在题设条件下，恒有．
15．(2017年高考课标1卷第20题) 设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为．
（1）求直线的斜率；
（2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．
【解析】（1）设,，则，，，，
于是直线的斜率．
（2）法一：（常规方法）
因为，所以，设，由题设知，所以，于是，
设直线的方程:，故线段的中点为，，
将代入，得，
当即时，，，
从而，
由题设知，，即，解得，
所以直线的方程:．
法二：（点乘双根法）
类型识别:因为，所以，故适合使用点乘双根法．
因为，所以，设，由题设知，所以，于是．
设，，，，
因为，所以 = 1 \* GB3 ①．
设直线的方程:，联立化简得，
又因为，是方程的两个根，
故有 = 2 \* GB3 ②，00
令，则 = 3 \* GB3 ③，
又，
令代入 = 2 \* GB3 ②得 = 4 \* GB3 ④，
将 = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④代入 = 1 \* GB3 ①得，解之得或（舍去），
故所以直线的方程:．
法三：（齐次化+坐标系平移构造）
因为，所以，设，由题设知，所以，所以，
平移坐标系，使坐标原点与点重合，则，
在新坐标系中，曲线：的方程为：，整理得．
直线平移后变为，斜率仍为，其方程不妨设为，代入曲线方程得
，，
两边同除以得，
易知和是方程的两个根，且，
故由韦达定理得，，直线的方程为，
平移回原坐标系得直线方程为，即．
16．(2019年北京二中期中考试)已知抛物线过点，且点到其准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于两个不同的点，，若，则求实数的值；
【解析】（1）由抛物线定义可知点到其准线的距离，即，，所以抛物线的
方程为．
(2)(点乘双根法)
设，，则，，
因为，所以 = 1 \* GB3 ①．
联立消去得，
又因为和是的两个根，所以，
令得 = 2 \* GB3 ②；（关注微信公众号：Hi数学派）
令， = 3 \* GB3 ③，
将 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③代入 = 1 \* GB3 ①得，解得或，
经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不符合题意；
当时，，符合题意．
综上，实数的值为．
17． 直线与双曲线 相交于，两点，若以为直径的圆过原点，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程．
【解析】法一：（常规解法）
由双曲线的离心率为，即，得，
所以双曲线方程可设为．联立，
= 2 \* GB3 ②代入 = 1 \* GB3 ①消去得，
设，，则，，
又以为直径的圆过原点，所以，
所以，即，
将韦达定理代入得：，
解之得，所以，故双曲线的方程为．
方法二：（齐次化解法）
由双曲线的离心率为，即，得，
所以双曲线方程可设为．联立，
由 = 1 \* GB3 ①得代入 = 2 \* GB3 ②消去“”构建关于，的齐次式得：，又，两边同除以得 = 3 \* GB3 ③，
所以和为方程 = 3 \* GB3 ③的两个根，
由韦达定理得，解之得，所以，
故双曲线的方程为．
法三：（点乘双根法）
由双曲线的离心率为，即，得，所以双曲线方程可设为．
又以为直径的圆过原点，所以，
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联立， = 2 \* GB3 ②代入 = 1 \* GB3 ①消去得，
又因为和是方程的两个根，所以 = 3 \* GB3 ③．
将代入 = 3 \* GB3 ③得，
将代入 = 3 \* GB3 ③得，
代入式得，解之得，所以，
故双曲线的方程为．