01 第21讲　任意角和弧度制、三角函数的概念 【正文】听课高考数学练习

这是一份01 第21讲　任意角和弧度制、三角函数的概念 【正文】听课高考数学练习，共7页。试卷主要包含了借助单位圆理解三角函数的定义，任意角的三角函数等内容，欢迎下载使用。

1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.任意角
(1)定义:一条射线绕着它的 旋转所成的图形.
(2)分类:按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角.
(3)相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角.角α的相反角记为 .
(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= .
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:长度等于 的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.
(2)公式:
3.任意角的三角函数
任意角的三角函数的定义
(1)单位圆定义法:
如图,设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y, cs α=x, tan α=yx(x≠0).
(2)终边上任意点定义法:设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,点P与原点O的距离r=|OP|=x2+y2,则sin α= ,cs α= ,tan α= (x≠0).
常用结论
(1)象限角
(2)轴线角
(3)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图所示).
(4)若x∈0,π2,则tan x>x>sin x.
题组一 常识题
1.[教材改编] 下列四个说法中正确的是 .(填序号)
①锐角一定是第一象限角;
②终边相同的角一定相等;
③小于90°的角一定是锐角;
④钝角一定是第二象限角.
2.[教材改编] 已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为 .
3.[教材改编] 已知sin A>0且tan A<0,则角A的终边在第 象限.
4.[教材改编] 已知角α的终边上有一点P(3,-1),则cs2α-sin2α= .
题组二 常错题
◆索引:忽视角的旋转方向致误;扇形的弧长和面积公式记忆不牢致误;不熟悉角的终边在不同象限时对应的三角函数值的符号致误.
5.某次考试时间为120分钟,则从考试开始到结束,时钟的分针旋转了 弧度.
6.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数为 .
7.若cs θ<0且tan θ<0,则|sin θ-cs θ|+cs θ的化简结果为 .
象限角及终边相同的角
1.若角α的终边在直线y=-x上,则角α构成的集合为( )
A.αα=2kπ-π4,k∈Z
B.αα=2kπ+3π4,k∈Z
C.αα=kπ-3π4,k∈Z
D.αα=kπ-π4,k∈Z
2.(多选题)[2023·云南丽江一模] 与-835°终边相同的角有( )
A.-245°B.245°
C.-475°D.-115°
3.(多选题)若α是第三象限角,则( )
A.-α是第二象限角
B.α2是第一象限角
C.3π2+α是第四象限角
D.2α的终边在第一象限或第二象限或y轴正半轴上
4.在-360°~360°范围内,与角-2024°终边相同的一个角是 .
总结反思
(1)角α(0≤α<2π)与角2kπ+α(k∈Z)的终边相同;
(2)要求角β的终边所在的象限,只需将角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,则角α的终边所在的象限即为角β的终边所在的象限.
扇形的弧长、面积公式
例1 已知一扇形的圆心角的弧度数为α(α>0),所在圆的半径为R.
(1)若α=π3,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积S;
(2)若扇形的周长为20,则当α等于多少时,这个扇形的面积最大?


总结反思
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
(3)解决面积等最值问题时经常转化为二次函数在给定区间上的最值问题来解决.
当扇形的周长C为定值时可得扇形的面积S=12(C-2R)R=-R2+12CR,当扇形的面积S为定值时可得周长C=2SR+2R.
变式题 (1)(多选题)已知扇形的半径为r,弧长为l,若其周长为4,则下列说法正确的是( )
A.若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为1
B.该扇形面积的最大值为1
C.当该扇形的面积最大时,其圆心角的弧度数为2
D.2r+1l的最小值为9
(2)[2023·北京人大附中模拟] 如图①是杭州第19届亚运会会徽,名为“潮涌”,如图②是类似会徽的几何图形,设弧AD的长度是l1,弧BC的长度是l2,几何图形ABCD的面积为S1,扇形BOC的面积为S2,若l1l2=3,则S1S2=( )
A.5B.6C.7D.8
三角函数的概念
角度1 三角函数定义的应用
例2 (1)在平面直角坐标系xOy中,若角α以原点为顶点,以x轴非负半轴为始边,其终边与单位圆交点的横坐标为32,则α的一个可能取值为( )
A.-60°B.-30°C.45°D.60°
(2)(多选题)已知角θ的终边经过点(2,-3),且θ与α的终边关于原点对称,则下列结论正确的是( )
A.sin θ=-217
B.α为钝角
C.cs α=-277
D.点(tan θ,sin α)在第二象限
总结反思
三角函数的定义主要应用于两方面:
(1)已知角α的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,再用三角函数的定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,则一般要分类讨论.
(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.
变式题 (1)(多选题)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=-2x上,则2sin θ+cs θ的值可能为( )角α的弧度数的绝对值
|α|=lr(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°=π180 rad,②1 rad=180π°
弧长公式
弧长l=
扇形的面积公式
S=12lr=
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(2)已知角α的终边上有一点P(-3,m)(m≠0),且sin α=2m4,则cs α= ,tan α= .
角度2 三角函数值的符号判定
例3 (1)已知α是第二象限角,则点(cs(sin α),sin(cs α))所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
(2)(多选题)若角α的终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式一定为正的是( )
A.sin α+cs αB.cs α-sin α
C.sin αcs αD.sinαtanα
总结反思
(1)判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
(2)相关知识总结如下:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
变式题 (1)若α为第四象限角,则( )
A.cs 2α>0B.cs 2α<0
C.sin 2α>0D.sin 2α<0
(2)(多选题)已知sin α>0,tan α<0,则( )
A.π2<α<π
B.α2为第一或第三象限角
C.sin 2α<0
D.若sin α=13,则cs α=223