03 第23讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【答案】听课高考数学练习

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【对点演练】
1.6+24 [解析] sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cs 30°+cs 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24.
2.32 [解析] 方法一:sin 20°cs 40°-cs 160°sin 40°=cs 70°cs 40°+sin 70°sin 40°=cs(70°-40°)=cs 30°=32.
方法二:sin 20°cs 40°-cs 160°sin 40°=sin 20°cs 40°+cs 20°sin 40°=sin(20°+40°)=sin 60°=32.
3.±2425 [解析] 因为cs(α-π)=cs(π-α)=-cs α=45,所以cs α=-45,所以sin α=±1-cs2α=±35,所以sin 2α=2sin αcs α=2×±35×-45=±2425.
4.-3 -43 [解析] tanθ+π4=tanθ+tanπ41-tanθtanπ4=2+11-2=-3,tan 2θ=2tanθ1-tan2θ=2×21-22=-43.
5.-725 [解析] ∵sinx-π6=45,∴sin2x+π6=csπ3-2x=1-2sin2π6-x=1-3225=-725.
6.33 [解析] 1-tan15°1+tan15°=tan45°-tan15°1+tan45°tan15°=tan(45°-15°)=tan 30°=33.
7.7210 [解析] 由sin(α-β)cs α-cs(α-β)sin α=35,得sin[(α-β)-α]=35,即sin(-β)=35,所以sin β=-35.又β是第三象限角,所以cs β=-1-sin2β=-1--352=-45,因此sinβ+5π4=sin βcs5π4+cs βsin5π4=-35×-22+-45×-22=7210.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)运用两角和与差的正弦公式和同角三角函数的商数关系,计算即可得到所求值.(2)根据同角三角函数基本关系式,以及两角和的余弦公式,即可求解.(3)由两角和的正弦公式和同角三角函数公式将条件化为tanα+tanβtanαtanβ=2,进而求出tan αtan β=32,再利用两角和的正切公式即可求值.
(1)B (2)A (3)D [解析] (1)因为sinα+π3=sinα-π6,所以12sin α+32cs α=32sin α-12cs α,所以(3+1)cs α=(3-1)sin α,所以tan α=3+13-1=2+3.故选B.
(2)由tan α=2,sin β=13,且α,β均为锐角,得sin α=255,cs α=55,cs β=223,所以cs(α+β)=
cs αcs β-sin αsin β=55×223-255×13=210-2515.故选A.
(3)由sin(α+β)=2sin αsin β得sin αcs β+cs αsin β=2sin αsin β,故sinαcsβ+csαsinβsinαsinβ=2,可得tanα+tanβtanαtanβ=2,所以tan αtan β=32,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=31-32=-6,故选D.
变式题 (1)B (2)1-266 (3)-13 [解析] (1)因为sin α=35,α∈π2,π,所以cs α=-1-sin2α=-45,所以tan α=sinαcsα=-34.因为tan(π-β)=12,所以tan β=-12,则tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=-211.故选B.
(2)∵θ∈(0,π),∴θ+π6∈π6,7π6,又sinθ+π6=13>0,∴θ+π6∈π6,π,若θ+π6∈π6,π2,则sinθ+π6>sinπ6=12,与sinθ+π6=13矛盾,∴θ+π6∈π2,π,∴csθ+π6=-1-sin2θ+π6=-223,∴cs θ=csθ+π6-π6=csθ+π6csπ6+sinθ+π6sinπ6=-223×32+13×12=1-266.
(3)设α+π6=t,则α=t-π6,sin t=63,∴sinπ6-2α=sinπ6-2t-π6=sinπ2-2t=
cs 2t=1-2sin2t=1-2×632=-13.
例2 [思路点拨] (1)利用诱导公式,逆用两角和的正弦公式计算出答案.(2)思路一:由已知结合辅助角公式及两角和与差的正弦公式对已知等式进行化简可求出α-β,进而可求;思路二:根据等式恒成立,取角α,β为特殊值分别判断选项.(3)根据两角和的正切公式变形即可得解.
(1)C (2)C (3)2 [解析] (1)cs 198°cs 132°+cs 42°sin 18°=cs(180°+18°)cs(90°+42°)+cs 42°sin 18°=cs 18°sin 42°+cs 42°sin 18°
=sin(42°+18°)=sin 60°=32.故选C.
(2)方法一:由sin(α+β)+cs(α+β)=2sinα+β+π4=22csα+π4sin β,可知sinα+β+π4=2csα+π4sin β,即sinα+π4cs β+csα+π4sin β=2csα+π4sin β,即
sinα+π4cs β-csα+π4sin β=0,即sinα-β+π4=0,所以α-β+π4=kπ,k∈Z,所以α-β=-π4+kπ,k∈Z,所以tan(α-β)=tan-π4+kπ=-1,k∈Z,故选C.
方法二:取β=0,则sin α+cs α=0,取α=34π,则tan(α+β)=tan(α-β)=tan34π=-1,排除B,D;取α=0,则sin β+cs β=2sin β,即sin β=cs β,取β=π4,则tan(α+β)=tanπ4=1,排除A.故选C.
(3)因为tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ,所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=
1+tan(α+β)(1-tan αtan β)+tan αtan β=1+tanπ4(1-tan αtan β)+tan αtan β=2.
变式题 (1)ABC (2)A [解析] (1)对于A,因为tan α+tan β=(1-tan αtan β)tan(α+β),所以
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tan 25°tan 35°)tan 60°+3tan 25°tan 35°=3-3tan 25°tan 35°+3tan 25°tan 35°=3;对于B,2(sin 35°cs 25°+cs 35°cs 65°)=2(sin 35°cs 25°+cs 35°sin 25°)=2sin 60°=3;对于C,因为tan 45°=1,所以1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan 60°=3;对于D,tan30°1-tan230°=12×2tan30°1-tan230°=12tan 60°=32.故选ABC.
(2)因为sinx-π6=33,所以sin x+sinx-π3=sin x+12sin x-32cs x=3sinx-π6=1,故选A.
例3 [思路点拨] (1)先根据α,β的取值范围判断α+π6,β-5π6的取值范围,利用同角三角函数公式求出csα+π6,sinβ-5π6,再利用α-β=-π+α+π6-β-5π6求解.(2)根据同角三角函数基本关系求出csα+π6,tanα+π6的值,再利用两角差的正切公式计算tanα-π12=tanα+π6-π4即可求解.
(1)A (2)-7 [解析] (1)由题意可得α+π6∈π2,π,β-5π6∈-π2,0,所以csα+π6=-35,sinβ-5π6=-1213,所以sin(α-β)=-sinα+π6-β-5π6=-45×513+-35×-1213=1665,故选A.
(2)因为α∈π2,π,所以α+π6∈2π3,7π6,因为sinα+π6=35>0,所以α+π6∈2π3,π,所以csα+π6=-1-sin2α+π6=-1-352=-45,所以tanα+π6=sinα+π6csα+π6=35-45=-34,所以tanα-π12=tanα+π6-π4=tanα+π6-tanπ41+tanα+π6tanπ4=-34-11-34×1=-7.
变式题 (1)B (2)45 -22 [解析] (1)因为sin θ+sinθ+π3=sinθ+π6-π6+sinθ+π6+π6=sinθ+π6csπ6-csθ+π6sinπ6+sinθ+π6csπ6+csθ+π6sin π6=2sinθ+π6cs π6=
3sinθ+π6=1,所以sinθ+π6=33.
(2)因为0