07 第27讲　余弦定理、正弦定理 【答案】听课高考数学练习

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【对点演练】
1.2π3 [解析] 在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,则由余弦定理得cs∠BAC=b2+c2-a22bc=9+25-4930=-12,因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=2π3.
2.8 [解析] 由S△ABC=12acsin B=12×2c×12=4,得c=8.
3.2+63 [解析] B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理,得2sin60°=csin75°,得c=2+63.
4.π3 [解析] 由余弦定理可得cs C=a2+4-c24a=a2-c4,化简整理得a2+c2-4=ac,则cs B=a2+c2-42ac=12,又B∈(0,π),所以B=π3.
5.A=B A>B [解析] 根据正弦定理知,在△ABC中,sin A=sin B⇔a=b⇔A=B,sin A>
sin B⇔a>b⇔A>B.
6.45°或135° [解析] 由正弦定理得sin C=csinBb=2sin30°2=22,因为c>b,B=30°,所以C=45°或C=135°.
7.32 1 [解析] S△ABC=12acsin B=12×2×3×12=32.由余弦定理得b2=a2+c2-2accs B=4+3-43cs 30°=1,所以b=1.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)先算出sin C=45,然后直接由三角形的面积公式求解即可;(2)先由余弦定理求出c=45,然后由正弦定理求解sin A即可.
解:(1)因为在△ABC中,cs C=35,sin C>0,
所以sin C=1-cs2C=1-352=45,
故△ABC的面积为12absin C=12×5×11×45=22.
(2)在△ABC中,a=5,b=11,cs C=35,所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcs C
=52+112-2×5×11×35=80,
又c>0,所以c=45.由(1)可知sin C=45,所以由正弦定理得asinA=csinC,即5sinA=4545,解得sin A=55.
变式题1 (1)C (2)B (3)22 [解析] (1)方法一:因为acs B-bcs A=c,所以由正弦定理得sin Acs B-sin Bcs A=sin C,即sin(A-B)=sin C,所以A-B=C或A-B+C=π(舍).因为C=π5,A+B+C=π,所以A+B=4π5.所以B=3π10.故选C.
方法二:由余弦定理得a·a2+c2-b22ac-b·b2+c2-a22bc=c,整理得a2=b2+c2,所以△ABC为直角三角形,且A=π2,又C=π5,所以B=3π10.故选C.
(2)因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2,则a2+b2-c2=ab,故cs C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,又0