01 第29讲　平面向量的概念及其线性运算 【答案】作业高考数学练习

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1.B [解析] 对于选项A,若|a|=|b|,则a与b的模相等,但方向无法确定,故选项A错误;对于选项B,零向量的长度是0,故选项B正确;对于选项C,长度相等且方向相同的向量叫作相等向量,故选项C错误;对于选项D,共线向量是方向相同或相反的向量,故选项D错误.故选B.
2.D [解析] 对于A,AB+(PA+BQ)=AQ+PA=PQ;对于B,(AB+PC)+(BA-QC)=PC-QC=PQ;对于C,QC-QP+CQ=-QP=PQ;对于D,PA+AB-BQ=PB-BQ≠PQ.故选D.
3.B [解析] 由题意得,a=(AB+CD)+(BC+DA)=AC+CA=0,且b是一个非零向量,所以a∥b,故A中结论正确;a+b=b,故B中结论不正确,C中结论正确;因为|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,所以|a+b|=|a|+|b|,故D中结论正确.故选B.
4.A [解析] AP=AC+CP=AC+12BC=AC+12(AC-AB)=-12AB+32AC.故选A.
5.-9 [解析] 因为a∥b,所以存在λ∈R,使得b=λa,即ke1+6e2=3λe1-2λe2,因为e1,e2不共线,所以k=3λ,6=-2λ,解得λ=-3,k=-9.
6.2024 0 [解析] 当单位向量e1,e2,…,e2024方向相同时,|e1+e2+…+e2024|取得最大值,此时|e1+e2+…+e2024|=|e1|+|e2|+…+|e2024|=2024;当单位向量e1,e2,…,e2024首尾相连时,e1+e2+…+e2024=0,所以|e1+e2+…+e2024|的最小值为0.
7.B [解析] 由题意知,NQ=PQ-PN=a-(k+1)b,因为M,N,Q三点共线,所以存在实数λ,使得MN=λNQ,即a-2b=λ[a-(k+1)b],整理得(1-λ)a=[2-λ(k+1)]b,因为向量a,b不共线,所以1-λ=0,2-λ(k+1)=0,解得λ=1,k=1.故选B.
8.B [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设|BF|=m,|EF|=n,则A(-n,m),B(-m,0),C(0,n-m),所以BF=(m,0),BC=(m,n-m),BA=(m-n,m),又BF=1625BC+1225BA=2825m-1225n,1625n-425m,所以m=2825m-1225n,0=1625n-425m,可得m=4n,所以λ=|BE||EF|=3nn=3.故选B.
9.D [解析] 因为AD=2DB,所以AB=32AD,所以AP=mAC+13AB=mAC+13×32AD=mAC+12AD,又P,C,D三点共线,所以m+12=1,解得m=12.故选D.
10.AD [解析] 因为|a+b|<|a|+|b|,所以a,b不同向共线.对于A,当a,b不共线时,根据向量减法的三角形法则知|a-b|<|a|+|b|,当a,b反向共线时,|a-b|=|a|+|b|,则|a-b|≤|a|+|b|,故A正确;对于B,若a⊥b,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,且|a+b|和|a-b|是这个矩形的两条对角线长,则|a+b|=|a-b|,故B错误;对于C,若a与b的夹角范围为0,π2,则根据向量加法的平行四边形法则知|a+b|<|a|+|b|,故C错误;对于D,若存在实数λ,使得a=λb,则a,b共线,又|a+b|<|a|+|b|,所以a,b反向共线,则λ为负数,故D正确.故选AD.
11.ACD [解析] 因为点N为AC上靠近点C的三等分点,所以AN=23AC=23AB+23AD,又AE=AD+DE=AD+12DC=12AB+AD,所以EN=AN-AE=16AB-13AD,设EM=mEB=m12AB-AD,则EM=3mEN,所以EM∥EN,所以M,N,E三点共线,故A正确;设MA=cAF,则AE=ME-MA=-m12AB-AD-cAF=-m12AB-AD-cAB+13AD=-12m-cAB+m-13cAD=12AB+AD,所以12=-12m-c,1=m-13c,解得m=57,c=-67,所以AM=67AF=67AB+27AD,所以λ+μ=87,故B错误;BN=AN-AB=-13AB+23AD,因为EM=57EB,所以BM=27BE=-17AB+27AD,所以BN=73BM,故C正确;因为AM=67AF,所以S△ABM=67S△ABF=27S△ABC=17S,故D正确.故选ACD.
12.43 [解析] 由F为DE的中点,利用向量平行四边形法则可得AF=12AE+12AD,利用向量三角形法则知AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23AD,∴AF=12AB+23AD+12AD=12AB+56AD,又AF=mAB+nAD,∴m=12,n=56,∴m+n=43.
13.3∶4 [解析] 根据题意,延长MA至点D,延长MB至点E,延长MC至点F,使得MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图所示.由2MA+3MB+4MC=0,得MD+ME+MF=0.连接DE,DF,EF,则点M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD.设S△MDE=1,则S△MAB=12×13×1=16,S△MAC=12×14×1=18,所以S△MAC∶S△MAB=18∶16=3∶4.
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14.解:(1)∵2OA-3OB+OC=0,∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,又a≠0,∴k+1=0,∴k=-1.
(2)∵A,B,C三点共线,∴BC=λAB(λ∈R),即OC-OB=λ(OB-OA),∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,∴k-1=-λ,10=5λ,可得k=-1.
15.解:(1)证明:设OA=a,OB=b,由题意知OG=23×12(OA+OB)=13(a+b),PQ=OQ-OP=nb-ma,PG=OG-OP=13-ma+13b.因为P,G,Q三点共线,所以存在实数λ,使得PQ=λPG,即nb-ma=λ13-ma+13λb,所以-m=λ13-m,n=13λ,消去λ可得1n+1m=3.
(2)由(1)知1m+1n=3,所以m+n=131m+1n(m+n)=132+nm+mn≥13×(2+2)=43,当且仅当m=n=23时取等号,所以m+n的最小值为43.
16.ABD [解析] 若λ+μ=1,则P,B,C三点共线,即点P在直线BC上,在△ABC中,若∠A=90°,则BC的中点为三角形的外心,故A中说法错误.在△ABC中,若∠B=90°或∠C=90°,则B或C为三角形的垂心,由A知此时点P在直线BC上,故B中说法错误.若P为△ABC的重心,则AP=23×12(AB+AC)=13(AB+AC),此时λ+μ=23,故C中说法正确.若λ∈[0,1],μ∈[0,1],则点P在一个以AB,AC为邻边的平行四边形内(含边界),当△ABC为钝角三角形且∠A>90°时,其外心在△ABC外,若外心不在以AB,AC为邻边的平行四边形内,则点P的轨迹不过外心,故D中说法错误.故选ABD.
17.8 [解析] 因为AN=23AC,AM=13AB,所以AN=23(OC-OA),AM=13(OB-OA),即OC=32AN+OA,OB=3AM+OA,因为λOA+3OB+4OC=0,所以λOA+3(3AM+OA)+432AN+OA=0,即(λ+7)AO=6AN+9AM,即AO=6λ+7AN+9λ+7AM,因为M,O,N三点共线,所以6λ+7+9λ+7=1,解得λ=8.