02 第30讲　平面向量基本定理及坐标表示 【答案】作业高考数学练习

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2.C [解析] 因为a∥b,所以3×(-2)-x=0,解得x=-6,所以a+b=(3,1)+(-6,-2)=(-3,-1),所以|a+b|=(-3)2+(-1)2=10.故选C.
3.D [解析] 因为e1-2e2=-(-e1+2e2),所以e1-2e2与-e1+2e2不能作为平面内所有向量的一个基底.故选D.
4.C [解析] 由P1P=-2PP2,得P1P+2PP2=0,即P1P2+PP2=0,即P1P2=P2P,所以OP2-OP1=OP-OP2,所以OP=2OP2-OP1=2(2,-1)-(1,2)=(3,-4),所以|OP|=32+(-4)2=5,所以与OP同向的单位向量为OP|OP|=35,-45,与OP反向的单位向量为-35,45.故选C.
5.C [解析] BE=BD+DE=BD-13AD,则12AD=32BD-32BE①,CF=CD+DF=CD-23AD,则AD=32CD-32CF②,由①+②得32AD=-32CF-32BE,所以AD=-BE-CF.故选C.
6.(-∞,2)∪(2,+∞) [解析] 由题知1×(3m-2)≠2m,解得m≠2,故m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞).
7.A [解析] 若a∥b,则-m2=-9,解得m=3或m=-3,所以“m=-3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
8.A [解析] 取边BC的中点O,建立如图所示的平面直角坐标系,则A0,332,B-32,0,C32,0,设D(x,y),由AD=2DC,得AD=23AC=2332,-332=(1,-3),所以x,y-332=(1,-3),所以D1,32,设F(m,n),由BF=FD,得BF=12BD=1252,32=54,34,所以m+32,n=54,34,所以F-14,34,所以AF=-14,-534,所以|AF|=-142+-5342=192.故选A.
9.C [解析] 由BM=MC,得AM=AB+BM=AB+12AD,由AP=λPM,得AP=λ1+λAM=λ1+λAB+λ2(1+λ)AD,由CN=23CD,知BN=BC+CN=-23AB+AD,由BP=μPN,得BP=μ1+μBN=-2μ3(1+μ)AB+μ1+μAD,所以AP=AB+BP=3+μ3(1+μ)AB+μ1+μAD,则λ1+λ=3+μ3(1+μ),λ2(1+λ)=μ1+μ,
解得λ=3,μ=35,所以λ+μ=185.故选C.
10.B [解析] 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C32,32,D12,32,∴AB=(2,0),AD=12,32,BC=-12,32,设BP=λBC(0≤λ≤1),则BP=λBC=λ-12,32,∴AP=AB+BP=2-12λ,32λ,又AP=xAB+yAD=x(2,0)+y12,32=2x+12y,32y,∴2-12λ=2x+12y,32λ=32y,解得x=1-12λ,y=λ,∴x2+y2=1-12λ2+λ2=54λ2-λ+1=54λ-252+45≥45,∴x2+y2的最小值为45.故选B.
11.AC [解析] 由题知,AB=(1,2),BC=(1,-1),AC=(2,1),所以OP=mAB+nAC=(m+2n,2m+n).对于A,若OP∥BC,则2m+n+m+2n=0,即m+n=0,故A正确;对于B,BP=OP-OB=(m+2n-2,2m+n-3),若点P在BC上,则BP∥BC,即2m+n-3+m+2n-2=0,即m+n=53,故B错误;对于C,PA=(1-m-2n,1-2m-n),PB=(2-m-2n,3-2m-n),PC=(3-m-2n,2-2m-n),若PA+PB+PC=0,则(6-3m-6n,6-6m-3n)=(0,0),即6-3m-6n=0,6-6m-3n=0,解得m=23,n=23,所以m-n=0,故C正确;对于D,AP=(m+2n-1,2m+n-1),若AP与BC共线,则(m+2n-1)×(-1)-(2m+n-1)=0,即m+n=23,故D错误.故选AC.
12.AB [解析] 如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,不妨设AB=6,AD=3m,m>0,则A(0,0),B(6,0),D(0,3m),E(3,0),M(2,m),N(1,2m),∴AM=(2,m),AN=(1,2m),BD=(-6,3m),AB=(6,0),设BP=xBD,0≤x≤1,则AP=AB+xBD=(6-6x,3mx),∵AP=λAM+μAN,∴(6-6x,3mx)=λ(2,m)+μ(1,2m)=(2λ+μ,mλ+2mμ),∴6-6x=2λ+μ,3mx=mλ+2mμ,可得λ+μ=2-x,因为x∈[0,1],所以λ+μ=2-x∈[1,2].故选AB.
13.311a+211b [解析] ∵M,E,C三点共线,∴设AE=xAM+(1-x)AC=x3AB+(1-x)AC(0≤x≤1),∵B,E,N三点共线,∴设AE=yAB+(1-y)AN=yAB+14(1-y)AC(0≤y≤1),∴x3=y,1-x=14(1-y),解得x=911,y=311,∴AE=311AB+211AC=311a+211b.
14.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)方法一:∵a=(5,-5),mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),∴-6m+n=5,-3m+8n=-5,解得m=-1,n=-1.
方法二:∵a+b+c=0,∴a=-b-c,又a=mb+nc,∴m=-1,n=-1.
(3)∵CM=3c=(3,24),CN=-2b=(12,6),
∴MN=CN-CM=(12,6)-(3,24) =(9,-18),
∵MN∥d,∴9k+18=0,解得k=-2.
15.证明:如图,D为直线AB上的点,设OC=λOD(λ≠0),则OC=xOA+yOB=λxλOA+yλOB=λOD,
因为A,B,D三点共线,所以xλ+yλ=1,即x+y=λ,故x+y为定值.
16.D [解析] 方法一:设扇形AOB的半径为1,以OB所在直线为x轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A-12,32,B(1,0),C(cs θ,sin θ)0≤θ≤2π3.由OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),得-12λ+μ=cs θ,32λ=sin θ,则λ=2sinθ3,μ=cs θ+sinθ3,则λ+μ=3sin θ+cs θ=2sinθ+π6,又0≤θ≤2π3,所以λ+μ的取值范围为[1,2].故选D.
方法二:如图,由“等和线”的结论可知,当点C与点A或点B重合时,λ+μ取得最小值1;当点C与弧AB的中点D重合时,λ+μ取得最大值2.所以λ+μ的取值范围为[1,2],故选D.
17.17 67 [解析] 如图,连接AE,由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF,所以D,E,F分别为BE,CF,AD的中点,所以S△DEF=S△AEF=12S△AFC,则S△ABC=S△AFC+S△ABD+S△BCE+S△DEF=7S△DEF,所
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