02 第30讲　平面向量基本定理及坐标表示 【正文】听课高考数学练习

这是一份02 第30讲　平面向量基本定理及坐标表示 【正文】听课高考数学练习，共6页。试卷主要包含了理解平面向量基本定理及其意义，能用坐标表示平面向量共线的条件等内容，欢迎下载使用。


1.平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的 向量a, 实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底
若e1,e2 ,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内 向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量,叫作把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= ,a-b= ,λa= .
(2)向量的坐标求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= ,|AB|= .
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔ .
常用结论
“爪”子定理
形式1:如图①,在△ABC中,D是BC上的点,如果BD=m,DC=n,则AD=mm+nAC+nm+nAB,其中AD,AB,AC可知二求一.特别地,若D为线段BC的中点,则AD=12(AC+AB).
①
形式2:如图②,在△ABC中,D是BC上的点,且BD=λBC,则AD=λAC+(1-λ)AB,其中AD,AB,AC可知二求一.特别地,若D为线段BC的中点,则AD=12(AC+AB).
②
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则2AB+CD= .
2.[教材改编] 已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为 .
3.[教材改编] 在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x+y= .
题组二 常错题
◆索引:忽视作为基底的两个向量不能共线致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢致误;忽视共线包括两种情况致误.
4.给出下列三个向量:a=12,32,b=(1,-3),c=(-2,6).从这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的个数为 .
5.已知向量a=(1,-2),b=(-1,m),若a∥b,则m的值为 .
6.已知A(-3,4)与B(-1,2),点P在直线AB上,|AP|=2|PB|,则点P的坐标为 .
平面向量基本定理

例1 (1)[2024·广州模拟] 在▱ABCD中,G为△ABC的重心,且AG=xAB+yAD(x,y∈R),则x+2y=( )
A.43B.53
C.0D.-1
(2)如图,在△ABG中,已知BE=38BG,AF=13AG,AE与BF交于点O,则AO=( )
A.27AB+13BG
B.45AB+310BG
C.47AB+314BG
D.314AB+47BG
总结反思
(1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.
变式题 (1)[2024·益阳模拟] 如图,在△ABC中,D为AB上一点,AD=2DB,P为CD上一点,CP=3PD,且AP=mAC+nAB(m,n∈R),则m+n的值为( )
A.14B. 13
C. 12D. 34
(2)[2023·邯郸三模] 已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD,AC与BD交于点P,且AB=2CD=2BC,则下列结论中错误的是( )
A.AP=2PC
B.|AP|=2|PD|
C.AP=23AD+13AB
D.AC=13AD+23AB
平面向量的坐标运算
例2 (1)[2024·深圳建文外国语学校月考] 在平面直角坐标系内,△ABC的三个顶点分别为A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),则12AB+12AC=( )
A.(-3,2)B.(-1,3)
C.(-3,5)D.(-2,4)
(2)在Rt△ABC中,A=90°,AB=6,AC=8,D是△ABC的内心,则BD=( )
A.-23AB+14ACB.23AB-14AC
C.-23AB+13ACD.23AB-13AC
总结反思
(1)利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
变式题 (1)[2022·全国乙卷] 已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=( )
A.2B.3
C.4D.5
(2)在正方形ABCD中,动点E从点B出发,经过C,D沿正方形的边到达点A,若AE=λAB+μAC,则λ+μ的取值范围是( )
A.[-1,1]B.[0,1]
C.[-1,2]D.[0,2]
平面向量共线的坐标表示
例3 (1)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(m,-1),若c∥(2a+b),则m=( )
A.-2B.-1
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(2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐标为( )
A.2,72 B.2,-12
C.(3,2)D.(1,3)
总结反思
两平面向量共线的充要条件有两种形式:
①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;
②若a∥b(b≠0),则a=λb.
变式题 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=π3,若m=(c-6,a-b),n=(a-b,c+6),且m∥n,则△ABC的面积为( )
A.3B.932
C.332D.33
(2)已知向量OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),且实数k>0.若A,B,C三点共线,则k= .