03 第31讲　平面向量的数量积 【答案】听课高考数学练习

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【知识聚焦】
1.(2)|a||b|cs θ |a||b|cs θ 0 (3)OM1
2.①|a|cs θ ②a·b=0 ③|a||b| -|a||b|
|a|2 a·a ④≤
3.①a·b=b·a ②λ(a·b) a·(λb) ③a·c+b·c
4.x12+y12 x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
【对点演练】
1.5 55 [解析] 因为a=(1,2),b=(-3,4),所以a·b=-3×1+2×4=5,|a|=12+22=5,|b|=(-3)2+42=5,所以cs=a·b|a||b|=55×5=55.
2.120° [解析] 设a与b的夹角为θ, 因为|a|=6,|b|=8,a·b=-24,所以cs θ=a·b|a||b|=-246×8=-12,又θ∈[0°,180°],所以θ=120°.
3.1 [解析] ∵C=90°,CA=CB=1,∴AB=2,A=45°,∴AC·AB=|AC|·|AB|cs A=1×2×22=1.
4.7 [解析] 因为|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为π3,所以|a+b|=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4+2×2×1×csπ3+1=7.
5.1 [解析] ∵|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2,且|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,∴9=1-4a·b+4×3,∴a·b=1.
6.-32e [解析] 向量a在向量e上的投影向量为|a|·cs 135°e=6×-22e=-32e.
7.菱形 [解析] ∵平面四边形ABCD满足AB+CD=0,∴四边形ABCD是平行四边形,又(AB-AD)·AC=0,即DB·AC=0,∴该平行四边形的对角线互相垂直,∴该四边形一定是菱形.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)思路一:以AB,AD为基底表示EC,ED,再结合数量积的运算律运算求解;思路二:建系,利用平面向量的坐标运算求解;思路三:利用余弦定理求出cs∠DEC,进而根据数量积的定义求解.(2)思路一:由已知可得(a+b+c)2=0,展开化简后可得结果;思路二:由a+b+c=0变形可得a·b=-12,b·c=-72,c·a=-12,相加可得结果.
(1)B (2)-92 [解析] (1)方法一:由题知|AB|=|AD|=2,EC=EB+BC=12AB+AD,ED=EA+AD=-12AB+AD,所以EC·ED=12AB+AD·-12AB+AD=-14AB2+AD2=-1+4=3.故选B.
方法二:如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则EC=(1,2),ED=(-1,2),所以EC·ED=(1,2)·(-1,2)=-1+4=3.故选B.
方法三:由题意可得,ED=EC=5,CD=2,在△CDE中,由余弦定理可得cs∠DEC
=DE2+CE2-DC22DE·CE=5+5-42×5×5=35,所以EC·ED=|EC||ED|cs∠DEC=5×5×35=3.故选B.
(2)方法一:由a+b+c=0得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0,∴a·b+b·c+a·c=-a2+b2+c22=-92.
方法二:由题知a+b=-c,则a2+b2+2a·b=c2,可得a·b=-12,同理可得b·c=-72,c·a=-12,∴a·b+b·c+c·a=-92.
变式题 (1)B (2)A (3)D [解析] (1)因为|a-b|2=a2-2a·b+b2=10,|a|=10,|b|=2,所以a·b=2,所以(2a+b)·(a-b)=2a2-b2-a·b=20-4-2=14.故选B.
(2)由题意可得,AE=AD+DE=AD+13DC=AD+13AB,AF=AB+BF=AB+13BC=AB+13AD,则AE2=AD2+23AB·AD+19AB2=4①,AF2=AB2+23AB·AD+19AD2=12②,由①-②得89AD2-89AB2=-8,即AB2-AD2=9,所以AC·BD=(AB+AD)·(AD-AB)=AD2-AB2=-9.故选A.
(3)方法一:以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,4).设P(cs θ,sin θ),θ∈[0,2π),则PA=(3-cs θ,-sin θ),PB=(-cs θ,4-sin θ),∴PA·PB=(3-cs θ)(-cs θ)+(-sin θ)(4-sin θ)=-3cs θ-4sin θ+1=-5sin(θ+φ)+1∈[-4,6]其中tanφ=34.故选D.
方法二:由题易知cs=±sin,且CA·CB=0,∴PA·PB=(PC+CA)·(PC+CB)=PC2+PC·CA+PC·CB+CA·CB=1+3cs+4cs+0=1+3cs±4sin=1+5sin(±φ),
其中tan φ=34,∴-4≤PA·PB≤6.故选D.
例2 [思路点拨] (1)根据a⊥(4b-a)得出4a·b=a2,结合|b|=4及向量模的计算公式求解即可.(2)根据题意结合向量数量积的运算求解.
(1)A (2)3 [解析] (1)因为非零向量a,b满足a⊥(4b-a),所以a·(4b-a)=0,即4a·b=a2,又|b|=4,所以|a-2b|=a2-4a·b+4b2=a2-a2+4b2=8.故选A.
(2)由|a-b|=3可得a2-2a·b+b2=3①,由|a+b|=|2a-b|,可得3a2-6a·b=0,即a2=2a·b②,联立①②得b2=3,即|b|=3.
例3 [思路点拨] (1)先根据向量减法得向量b的坐标,再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得到答案. (2)根据题意,将式子两边同时平方,然后相减即可得到a·b=1,|a|2+|b|2=4,然后结合向量夹角公式即可得到cs θ≥12,从而得到结果.
(1)C (2)AB [解析] (1)∵a=(4,3),∴2a=(8,6),又2a+b=(3,18),∴b=(-5,12),∴a·b=4×(-5)+3×12=16,又|a|=42+32=5,|b|=(-5)2+122=13,∴cs=a·b|a||b|=165×13=1665.故选C.
(2)因为|a+b|=6,所以|a|2+|b|2+2a·b=6,因为|a-b|=2,所以|a|2+|b|2-2a·b=2,所以4a·b=4,即a·b=1,所以|a|2+|b|2=4.因为|a|2+|b|2≥2|a||b|(当且仅当|a|=|b|时等号成立),所以|a||b|≤2,设a与b的夹角为θ(0≤θ≤π),则cs θ=a·b|a||b|=1|a||b|≥12,所以0≤θ≤π3,则a与b的夹角可以为π6,2π7.故选AB.
例4 [思路点拨] (1)思路一:根据a,b的坐标得到a·b=0,再根据向量垂直的坐标表示即可得到答案;思路二:根据向量的坐标运算求出a+λb,a+μb,再根据向量垂直的坐标表示即可得到答案.(2)根据向量垂直得出数量积为0,结合数量积的运算可得答案.
(1)D (2)6 [解析] (1)方法一:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以|a|=|b|=2,a·b=0,又(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=a2+λμb2=0,即2+2λμ=0,所以λμ=-1,故选D.
方法二:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb)得(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,即2+2λμ=0,所以λμ=-1,故选D.
(2)设|a|=t,由已知可得a·b=t,因为b与a-32b垂直,所以b·a-32b=t-6=0,解得t=6,所以|a|=6.
【应用演练】
1.D [解析] 方法一:因为向量a=(-2,1),b=(m,2),所以a+b=(-2+m,3),a-b=(-2-m,-1),又因为|a+b|=|a-b|,所以(-2+m)2+32=(-2-m)2+(-1)2,解得m=1.故选D.
方法二:由|a+b|=|a-b|,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,得4a·b=0,所以a·b=0,则a⊥b,故-2m+2=0,解得m=1.故选D.
2.C [解析] 因为(a-b)·(2a+b)=2|a|2-a·b-|b|2=8,|a|=2|b|=2,所以a·b=-1,所以cs=a·b|a||b|=-12,又0≤≤π,所以a与b的夹角为2π3.故选C.
3.A [解析] 因为a与a+b垂直,所以a·(a+b)=a2+a·b=0,又a2=5,所以a·b=-5,所以b在a上的投影向量为b·a|a|·a|a|=-55×a5=-a=(-2,-1).故选A.
4.C [解析] |ta+b|=(ta+b)2=t2a2+2ta·b+b2=t2+2t×1×2×12+4=(t+1)2+3,则当t=-1时,|ta+b|取得最小值3.故选C.
5.D [解析] 因为a+b+c=0,所以a+b=-c,平方得a2+b2+2a·b=c2,即1+1+2a·b=2,所以a·b=0.如图,设OA=a,OB=b,OC=c,则a-c=CA,b-c=CB,∠BOC=∠AOC=3π4,∠AOB=π2,由余弦定理得|CA|=|CB|=5,|AB|=2,所以在△ACB中,由余弦定理得cs∠ACB=5+5-22×5×5=45,即cs=45.故选D.
6.3π4 [解析] 方法一:由a=(1,1),得|a|=12+12=2,由(a+b)·b=0,得a·b+b2=0,即|a|·|b|·cs+1=0,解得cs=-22,因为∈[0,π],所以=3π4.
方法二:由(a+b)·b=0,得(a+b)⊥b,由a=(1,1),得|a|=2,且|b|=1,令a=AC,b=CB,则a+b=AB,则可得到如图所示的Rt△ABC,故a与b的夹角为3π4.
例5 [思路点拨] (1)由m⊥n可得(sin C+sin B)(c-b)+(sin B-sin A)a=0,利用正弦定理统一成边的形式化简后,再利用余弦定理可求得角C的大小;(2)由△ABC的面积为23,可求得b=4,由AD=2DB,可得CD=13CA+23CB,平方化简可得结果.
解:(1)因为m⊥n,向量m=(sin C+sin B,sin B-sin A),n=(c-b,a),所以(sin C+sin B)(c-b)+(sin B-sin A)a=0,由正弦定理得(c+b)(c-b)+(b-a)a=0,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cs C=a2+b2-c22ab=12,因为0(2)由S△ABC=12absin C=12×2×b×32=23,解得b=4,
因为AD=2DB,所以AD=23AB,所以CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB,
所以|CD|2=13CA+23CB2=19CA2+2×13×23CA·CB+49CB2=19×16+2×13×23×2×4×12+49×4=163,所以CD=433.
变式题 (1)A (2)ABC [解析] (1)如图,以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(0,2),E23,0,F0,23.设P(x,y),x≥0,y≥0,易知x2+y2=4,所以PE·PF=23-x,-y·-x,23-y=x2-23x+y2-23y=4-23(x+y),因为x2+y2=(x+y)2-2xy=4,所以(x+y)2=4+2xy,又x2+y2≥2xy,即4≥2xy,所以0≤xy≤2,当且仅当x=y=2时等号成立,所以(x+y)2≤8,所以x+y≤22,所以PE·PF的最小值为4-423.故选A.
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(进群送往届全部资料)(2)因为点A(cs α,sin α),B(cs β,sin β),Ccsα+β2,sinα+β2,所以|OA|=cs2α+sin2α=1,|OB|=cs2β+sin2β=1,所以|OA|=|OB|,故A正确;因为AC=csα+β2-csα,sinα+β2-sinα,BC=csα+β2-csβ,sinα+β2-sinβ,所以AC2=csα+β2-csα2+sinα+β2-sinα2=cs2α+β2+cs2α+sin2α+β2+sin2α-2csα+β2csα+sin α+β2sinα=2-2csα+β2-α=2-2csβ-α2,BC2=csα+β2-csβ2+sinα+β2-sinβ2=cs2α+β2+cs2β+sin2α+β2+sin2β-2csα+β2csβ+sinα+β2sinβ=2-2csα+β2-β=2-2csα-β2=2-csβ-α2,所以AC2=BC2,所以|AC|=|BC|,故B正确;OC=csα+β2,sinα+β2,
则OA·OC=csα+β2cs α+sinα+β2sin α=csα+β2-α=csβ-α2=csα-β2,故C正确;
OA·OB=cs βcs α+sin βsin α
=cs(α-β)=2cs2α-β2-1,2OA·OC=2csα-β2,故D错误.故选ABC.