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05 第33讲 复数 【答案】听课高考数学练习
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这是一份05 第33讲 复数 【答案】听课高考数学练习，共3页。
【知识聚焦】
1.(1)虚数单位 实部 虚部 b=0 b≠0 a=0且b≠0 (2)a=c且b=d (3)a=c且b=-d
(4)|z| |a+bi| a2+b2
2.(1)Z(a,b)
3.①(a+c)+(b+d)i ②(a-c)+(b-d)i ③(ac-bd)+(ad+bc)i ④ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i
【对点演练】
1.-1 [解析] 由题意知m2-1=0,m-1≠0,解得m=-1.
2.-3-4i [解析] ∵CA=CB-AB,∴CA在复平面内对应的复数为-1-3i-(2+i)=-3-4i.
3.52+12i 262 [解析] ∵2+3iz=1+i,∴z=2+3i1+i=(2+3i)(1-i)(1+i)(1-i)=52+12i,∴|z|=522+122=262.
4.-35 [解析] 21+3i=2(1-3i)(1+3i)(1-3i)=2-6i10=15-35i,则复数21+3i的虚部为-35.
5.四 一 [解析] z=2i(-1-i)=2-2i,则z在复平面内对应的点在第四象限.z=2+2i,则z的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限.
6.-1+i [解析] 由(z-1)·i2025=1-2i,得(z-1)i=1-2i,则z-1=1-2ii=(1-2i)ii2=-2-i,则z=-1-i,所以z=-1+i.
7.-3 [解析] 由题意得,z=1+ai3+i=(1+ai)(3-i)(3+i)(3-i)=3+a10+3a-110i,因为复数z为纯虚数,所以3+a=0,3a-1≠0,解得a=-3.
8.2π [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),由1≤|z-1+i|≤3可得1≤(a-1)2+(b+1)2≤3,即复数z在复平面内对应的点构成的图形是以(1,-1)为圆心,分别以1,3为半径的圆所夹的圆环,其面积为3π-π=2π.
● 课堂考点探究
探究点一
1.B [解析] 由题意知,a+3i=-1+bi,则a=-1,b=3,故选B.
2.D [解析] 设z=bi,b∈R,b≠0,则(z+2)2+8i=(bi+2)2+8i=4+4bi+b2i2+8i=4-b2+(4b+8)i为纯虚数,所以4-b2=0,4b+8≠0,解得b=2,所以z=2i,所以z=-2i.故选D.
3.A [解析] 因为|4-3i|=5,所以z(1+2i)=5,所以z=51+2i=5(1-2i)(1+2i)(1-2i)=1-2i,故复数z的虚部为-2.故选A.
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(进群送往届全部资料)4.BD [解析] 由(-1+i)·z=1+5i,得z=1+5i-1+i=(1+5i)(-1-i)(-1+i)(-1-i)=4-6i2=2-3i.z的虚部为-3,故A错误;z的模为22+(-3)2=13,故B正确;z的共轭复数为2+3i,故C错误;z在复平面内对应的点为(2,-3),位于第四象限,故D正确.故选BD.
探究点二
1.D [解析] 由题知z=-1+3i,则z=-1-3i.故选D.
2.A [解析] 因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以(1+3i)(3-i)在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.
3.1+5 [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),∵|z+1-2i|=1,∴|a+1+(b-2)i|=1,即(a+1)2+(b-2)2=1,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是以A(-1,2)为圆心,以1为半径的圆.∵|z|表示复数z在复平面内对应的点到坐标原点O的距离,∴|z|的最大值为|OA|+r=(-1)2+22+1=1+5.
4.23 [解析] 在复平面内,设z1,z2对应的向量分别为a,b,则|a|=|b|=2,且a+b=(3,1).∵(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,∴4+(a-b)2=16,可得|a-b|=23,即|z1-z2|=23.
探究点三
1.D [解析] (2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.
2.A [解析] 因为z=1-i2+2i=(1-i)22(1+i)(1-i)=-2i4=-12i,所以z=12i,所以z-z=-12i-12i=-i.故选A.
3.C [解析] 5(1+i3)(2+i)(2-i)=5(1-i)5=1-i.故选C.
4.BCD [解析] 若z=i,则z2=-1≠|z|2=1,A错误;z2|z|2=z2z·z=zz,B正确;设z=a+bi,w=c+di,a,b,c,d∈R,且a,b不同时为0,c,d不同时为0,则z-w=(a-c)+(b-d)i,∴z-w=(a-c)-(b-d)i,又z-w=a-bi-c+di=(a-c)-(b-d)i,∴z-w=z-w,C正确;∵zw=a+bic+di=(ac+bd)+(bc-ad)ic2+d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2c2+d2=a2+b2c2+d2,|z||w|=|a+bi||c+di|=a2+b2c2+d2,∴zw=|z||w|,D正确.故选BCD.
5.-35 [解析] 因为2+i是关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,所以2-i是该方程的另一个根,所以1a=(2+i)(2-i),-ba=(2+i)+(2-i),解得a=15,b=-45,所以a+b=-35.
【知识聚焦】
1.(1)虚数单位 实部 虚部 b=0 b≠0 a=0且b≠0 (2)a=c且b=d (3)a=c且b=-d
(4)|z| |a+bi| a2+b2
2.(1)Z(a,b)
3.①(a+c)+(b+d)i ②(a-c)+(b-d)i ③(ac-bd)+(ad+bc)i ④ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i
【对点演练】
1.-1 [解析] 由题意知m2-1=0,m-1≠0,解得m=-1.
2.-3-4i [解析] ∵CA=CB-AB,∴CA在复平面内对应的复数为-1-3i-(2+i)=-3-4i.
3.52+12i 262 [解析] ∵2+3iz=1+i,∴z=2+3i1+i=(2+3i)(1-i)(1+i)(1-i)=52+12i,∴|z|=522+122=262.
4.-35 [解析] 21+3i=2(1-3i)(1+3i)(1-3i)=2-6i10=15-35i,则复数21+3i的虚部为-35.
5.四 一 [解析] z=2i(-1-i)=2-2i,则z在复平面内对应的点在第四象限.z=2+2i,则z的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限.
6.-1+i [解析] 由(z-1)·i2025=1-2i,得(z-1)i=1-2i,则z-1=1-2ii=(1-2i)ii2=-2-i,则z=-1-i,所以z=-1+i.
7.-3 [解析] 由题意得,z=1+ai3+i=(1+ai)(3-i)(3+i)(3-i)=3+a10+3a-110i,因为复数z为纯虚数,所以3+a=0,3a-1≠0,解得a=-3.
8.2π [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),由1≤|z-1+i|≤3可得1≤(a-1)2+(b+1)2≤3,即复数z在复平面内对应的点构成的图形是以(1,-1)为圆心,分别以1,3为半径的圆所夹的圆环,其面积为3π-π=2π.
● 课堂考点探究
探究点一
1.B [解析] 由题意知,a+3i=-1+bi,则a=-1,b=3,故选B.
2.D [解析] 设z=bi,b∈R,b≠0,则(z+2)2+8i=(bi+2)2+8i=4+4bi+b2i2+8i=4-b2+(4b+8)i为纯虚数,所以4-b2=0,4b+8≠0,解得b=2,所以z=2i,所以z=-2i.故选D.
3.A [解析] 因为|4-3i|=5,所以z(1+2i)=5,所以z=51+2i=5(1-2i)(1+2i)(1-2i)=1-2i,故复数z的虚部为-2.故选A.
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探究点二
1.D [解析] 由题知z=-1+3i,则z=-1-3i.故选D.
2.A [解析] 因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以(1+3i)(3-i)在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.
3.1+5 [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),∵|z+1-2i|=1,∴|a+1+(b-2)i|=1,即(a+1)2+(b-2)2=1,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是以A(-1,2)为圆心,以1为半径的圆.∵|z|表示复数z在复平面内对应的点到坐标原点O的距离,∴|z|的最大值为|OA|+r=(-1)2+22+1=1+5.
4.23 [解析] 在复平面内,设z1,z2对应的向量分别为a,b,则|a|=|b|=2,且a+b=(3,1).∵(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,∴4+(a-b)2=16,可得|a-b|=23,即|z1-z2|=23.
探究点三
1.D [解析] (2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.
2.A [解析] 因为z=1-i2+2i=(1-i)22(1+i)(1-i)=-2i4=-12i,所以z=12i,所以z-z=-12i-12i=-i.故选A.
3.C [解析] 5(1+i3)(2+i)(2-i)=5(1-i)5=1-i.故选C.
4.BCD [解析] 若z=i,则z2=-1≠|z|2=1,A错误;z2|z|2=z2z·z=zz,B正确;设z=a+bi,w=c+di,a,b,c,d∈R,且a,b不同时为0,c,d不同时为0,则z-w=(a-c)+(b-d)i,∴z-w=(a-c)-(b-d)i,又z-w=a-bi-c+di=(a-c)-(b-d)i,∴z-w=z-w,C正确;∵zw=a+bic+di=(ac+bd)+(bc-ad)ic2+d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2c2+d2=a2+b2c2+d2,|z||w|=|a+bi||c+di|=a2+b2c2+d2,∴zw=|z||w|,D正确.故选BCD.
5.-35 [解析] 因为2+i是关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,所以2-i是该方程的另一个根,所以1a=(2+i)(2-i),-ba=(2+i)+(2-i),解得a=15,b=-45,所以a+b=-35.
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