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01 第34讲 数列的概念与简单表示法 【答案】作业高考数学练习
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1.D [解析] 根据题意,数列的第1项为23,有(-1)1+1×212×1+1=23,数列的第2项为-45,有(-1)2+1×222×2+1=-45,数列的第3项为87,有(-1)3+1×232×3+1=87,以此类推,数列的第10项为(-1)10+1×2102×10+1=-102421,故选D.
2.C [解析] 因为a1=1,an+1=an2an+1,所以a2=a12a1+1=13,a3=a22a2+1=15,a4=a32a3+1=17,a5=a42a4+1=19.故选C.
3.C [解析] 由an+1=4an-6,得an+1-2=4(an-2),又a1-2=4-2=2≠0,∴数列{an-2}是以2为首项,4为公比的等比数列,∴an-2=2×4n-1=22n-1,即an=22n-1+2.故选C.
4.C [解析] 因为Sn=n2+n+1,所以当n=1时,a1=3,当n≥2时,Sn-Sn-1=an=(n2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n,故数列{an}从第2项开始都是偶数,而ap+aq=2027是奇数,故正整数p和q中必有一个等于1,则ap和aq中有一个是a1=3,另一个就是a1012=2024,故p+q=1+1012=1013,故选C.
5.A [解析] 因为an+1=11-an,a3=3,所以a3=11-a2=3,解得a2=23.由a2=11-a1=23,解得a1=-12,又a4=11-a3=-12,a5=11-a4=23,a6=11-a5=3,a7=-12,a8=23,a9=3,…,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,则a2023=a1+3×674=a1=-12.故选A.
6.an=2(n=1),1(n≥2) [解析] 当n=1时,a1=2;当n≥2时,由Sn=n+1,可得Sn-1=n,故有an=1(n≥2,n∈N*)(*).当n=1时,a1=2不符合(*)式,故an=2(n=1),1(n≥2).
7.C [解析] ∵an+1+anan+1-an=2n,∴an+1+an=2n(an+1-an),即(1-2n)an+1=(-2n-1)an,可得an+1an=2n+12n-1,∴a2023=a2023a2022×a2022a2021×a2021a2020×…×a3a2×a2a1×a1=40454043×40434041×40414039×…×53×31×1=4045.故选C.
8.A [解析] 依题意,a1a2a3…an=n2,其中n=1,2,3,…,当n=1时,a1=12=1,当n≥2时,a1a2a3…an-1=(n-1)2,又a1a2a3…an=n2,所以an=n2(n-1)2=1+1n-12(n≥2),易得当n≥2时,an随着n的增大而减小,故当n≥2时,an≤a2=4且an>1=a1,所以{an}有最小项a1=1,有最大项a2=4.故选A.
9.B [解析] 因为数列{an}是“等比差”数列,所以an+2an+1-an+1an=d(n∈N*),其中d为常数.因为a1=a2=1,a3=3,所以d=a3a2-a2a1=2,所以an+2an+1-an+1an=2,an+1an-anan-1=2,…,a3a2-a2a1=2,以上各式累加得an+2an+1-a2a1=2n,即an+2an+1=2n+1,所以anan-1=2n-3(n≥3,n∈N*),又a2a1=1满足上式,所以当n≥2时,有anan-1=2n-3,an-1an-2=2n-5,…,a2a1=1,以上各式累乘得ana1=(2n-3)(2n-5)·…·1(n≥2),即an=1×3×5×…×(2n-3)(n≥2),所以a24a22=1×3×5×…×41×43×451×3×5×…×41=1935,故选B.
10.BD [解析] 选项A中,an+1-an=(n+1)2-3(n+1)+1-n2+3n-1=2n-2,令2n-2=0,得n=1,所以a2-a1=0,此时{an}不是递增数列,不符合题意;选项B中,an+1-an=-12n+1+12n=12n+1>0,所以{an}是递增数列,符合题意;选项C中,an+1-an=n+1+2n+1-n-2n=(n+2)(n-1)n(n+1),令(n+2)(n-1)n(n+1)=0,得n=1,所以a2-a1=0,此时{an}不是递增数列,不符合题意;选项D中,an+1-an=lnn+1n+2-lnnn+1=lnn+1n+2×n+1n=ln1+1n2+2n>0,所以{an}是递增数列,符合题意.故选BD.
11.ABC [解析] 由an+1=an1+2an,且a1=1,得a2=a12a1+1=13>0,a3=a21+2a2=15>0,以此类推可知,对任意的n∈N*,an>0,所以1an+1=1+2anan=1an+2,即1an+1-1an=2,且1a1=1,所以数列1an是等差数列,且该数列的首项为1,公差为2,所以1an=1+2(n-1)=2n-1,则(2n-1)an=1,其中n∈N*,C正确;21an+121an=21an+1-1an=22=4,所以数列{21an}是等比数列,B正确;由1an是等差数列可得2a10=1a3+1a17,A正确;由an=12n-1,得3a5a17=3×12×5-1×12×17-1=199,a49=12×49-1=197,所以3a5a17≠a49,D错误.故选ABC.
12.5 [解析] ∵an=n+13n-16=131+193n-16,∴当n>5时,an>0,且{an}递减,当n≤5时,an<0,且{an}递减,∴当n=5时,an最小,即{an}的最小项是第5项.
13.(i)92 (ii)(k-1)k2 [解析] 第1行的数分别为1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…;第2行的数分别为1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,…;第3行的数分别为1,1+4,1+4+7,1+4+7+10,….通过以上的规律可得,第n行的第k个数为an=1+(n+1)+(2n+1)+…+[(k-1)n+1]=[(k-1)n+2]k2.
(i)当n=3,k=8时,a3=92.
(ii)当n≥2且n∈N*时,an-an-1=[(k-1)n+2]k2-[(k-1)(n-1)+2]k2=(k-1)k2.
14.解:由an+1=2an+3n两边同时除以3n+1,得an+13n+1=23·an3n+13,令bn=an3n,则bn+1=23bn+13,设bn+1+λ=23(bn+λ),解得λ=-1,则bn+1-1=23(bn-1),又b1-1=-23,所以数列{bn-1}是以-23为首项,23为公比的等比数列,所以bn-1=-23n,所以an=3n-2n.
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(进群送往届全部资料)15.解:(1)若选择条件①.
∵2Sn=3an-3,∴2Sn+1=3an+1-3,则2Sn+1-2Sn=3an+1-3an,即an+1=3an.
令n=1,则2S1=3a1-3,解得a1=3≠0,∴an+1an=3,
∴{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n.
若选择条件②.
∵a1=3,lg3an+1-lg3an=1,∴{lg3an}是以lg3a1=1为首项,1为公差的等差数列,∴lg3an=1+(n-1)×1=n,∴an=3n.
(2)∵bn=3n-9an+1=n-33n,∴bn+1-bn=n+1-33n+1-n-33n=7-2n3n+1.当1≤n≤3时,bn+1-bn>0,即b1b5>b6>b7>….
∴当n0=4时,bn0≥bn对任意n∈N*恒成立.
16.C [解析] 由题意可知,双曲线2y2-x2=1的斜率为正的渐近线方程为y=22x.因为点(an,an+1) 在双曲线2y2-x2=1上,所以2an+12-an2=1,又an>1(n∈N*),所以an+12-an2=1-an+12<0,则{an}为递减数列,可得an+1-an<0.由an+2-an+1>λ(an+1-an),可得λ>an+2-an+1an+1-an,记点An(an,an+1),则an+2-an+1an+1-an为直线AnAn+1的斜率,记kn=an+2-an+1an+1-an,因为{an}为递减数列,所以由双曲线的性质及点An在第一象限内可知,{kn}为递减数列,即kn≤k1,且随着a1的增大,直线A1A2的斜率越接近于渐近线y=22x的斜率,故k1越接近于22,所以k1<22,则kn<22,则λ≥22.故选C.
17.①②④ [解析] 令n=1,则1a1+1S1=2·1a1=1,所以a1=2,再令n=2,则1a2+1S2=1a2+1a1+a2=1a2+12+a2=1,又a2>0,所以a2=2,故①正确;依题意有an>0,Sn>0,因为1an+1Sn=1(n∈N*),所以1an=1-1Sn<1,所以an>1,Sn>1,由1an=1-1Sn得an=SnSn-1,所以an+1-an=Sn+1Sn+1-1-SnSn-1=Sn+1(Sn-1)-Sn(Sn+1-1)(Sn+1-1)(Sn-1)=Sn-Sn+1(Sn+1-1)(Sn-1),因为an>0,所以Sn随着n的增大而增大,所以Sn-Sn+1<0,所以an+1-an=Sn-Sn+1(Sn+1-1)(Sn-1)<0,即an+11+1×(n-1)=n,所以Sn-1≥n(n∈N*),所以an=SnSn-1=1+1Sn-1≤1+1n,an+1>1,所以nan≤n+1<(n+1)an+1,即nan<(n+1)an+1,故③错误;an≤1+1n对任意n∈N*恒成立,当且仅当n=1时取等号,故有a2022<1+12022=20232022,即存在n0=2022满足题意,故④正确.故填①②④.
1.D [解析] 根据题意,数列的第1项为23,有(-1)1+1×212×1+1=23,数列的第2项为-45,有(-1)2+1×222×2+1=-45,数列的第3项为87,有(-1)3+1×232×3+1=87,以此类推,数列的第10项为(-1)10+1×2102×10+1=-102421,故选D.
2.C [解析] 因为a1=1,an+1=an2an+1,所以a2=a12a1+1=13,a3=a22a2+1=15,a4=a32a3+1=17,a5=a42a4+1=19.故选C.
3.C [解析] 由an+1=4an-6,得an+1-2=4(an-2),又a1-2=4-2=2≠0,∴数列{an-2}是以2为首项,4为公比的等比数列,∴an-2=2×4n-1=22n-1,即an=22n-1+2.故选C.
4.C [解析] 因为Sn=n2+n+1,所以当n=1时,a1=3,当n≥2时,Sn-Sn-1=an=(n2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n,故数列{an}从第2项开始都是偶数,而ap+aq=2027是奇数,故正整数p和q中必有一个等于1,则ap和aq中有一个是a1=3,另一个就是a1012=2024,故p+q=1+1012=1013,故选C.
5.A [解析] 因为an+1=11-an,a3=3,所以a3=11-a2=3,解得a2=23.由a2=11-a1=23,解得a1=-12,又a4=11-a3=-12,a5=11-a4=23,a6=11-a5=3,a7=-12,a8=23,a9=3,…,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,则a2023=a1+3×674=a1=-12.故选A.
6.an=2(n=1),1(n≥2) [解析] 当n=1时,a1=2;当n≥2时,由Sn=n+1,可得Sn-1=n,故有an=1(n≥2,n∈N*)(*).当n=1时,a1=2不符合(*)式,故an=2(n=1),1(n≥2).
7.C [解析] ∵an+1+anan+1-an=2n,∴an+1+an=2n(an+1-an),即(1-2n)an+1=(-2n-1)an,可得an+1an=2n+12n-1,∴a2023=a2023a2022×a2022a2021×a2021a2020×…×a3a2×a2a1×a1=40454043×40434041×40414039×…×53×31×1=4045.故选C.
8.A [解析] 依题意,a1a2a3…an=n2,其中n=1,2,3,…,当n=1时,a1=12=1,当n≥2时,a1a2a3…an-1=(n-1)2,又a1a2a3…an=n2,所以an=n2(n-1)2=1+1n-12(n≥2),易得当n≥2时,an随着n的增大而减小,故当n≥2时,an≤a2=4且an>1=a1,所以{an}有最小项a1=1,有最大项a2=4.故选A.
9.B [解析] 因为数列{an}是“等比差”数列,所以an+2an+1-an+1an=d(n∈N*),其中d为常数.因为a1=a2=1,a3=3,所以d=a3a2-a2a1=2,所以an+2an+1-an+1an=2,an+1an-anan-1=2,…,a3a2-a2a1=2,以上各式累加得an+2an+1-a2a1=2n,即an+2an+1=2n+1,所以anan-1=2n-3(n≥3,n∈N*),又a2a1=1满足上式,所以当n≥2时,有anan-1=2n-3,an-1an-2=2n-5,…,a2a1=1,以上各式累乘得ana1=(2n-3)(2n-5)·…·1(n≥2),即an=1×3×5×…×(2n-3)(n≥2),所以a24a22=1×3×5×…×41×43×451×3×5×…×41=1935,故选B.
10.BD [解析] 选项A中,an+1-an=(n+1)2-3(n+1)+1-n2+3n-1=2n-2,令2n-2=0,得n=1,所以a2-a1=0,此时{an}不是递增数列,不符合题意;选项B中,an+1-an=-12n+1+12n=12n+1>0,所以{an}是递增数列,符合题意;选项C中,an+1-an=n+1+2n+1-n-2n=(n+2)(n-1)n(n+1),令(n+2)(n-1)n(n+1)=0,得n=1,所以a2-a1=0,此时{an}不是递增数列,不符合题意;选项D中,an+1-an=lnn+1n+2-lnnn+1=lnn+1n+2×n+1n=ln1+1n2+2n>0,所以{an}是递增数列,符合题意.故选BD.
11.ABC [解析] 由an+1=an1+2an,且a1=1,得a2=a12a1+1=13>0,a3=a21+2a2=15>0,以此类推可知,对任意的n∈N*,an>0,所以1an+1=1+2anan=1an+2,即1an+1-1an=2,且1a1=1,所以数列1an是等差数列,且该数列的首项为1,公差为2,所以1an=1+2(n-1)=2n-1,则(2n-1)an=1,其中n∈N*,C正确;21an+121an=21an+1-1an=22=4,所以数列{21an}是等比数列,B正确;由1an是等差数列可得2a10=1a3+1a17,A正确;由an=12n-1,得3a5a17=3×12×5-1×12×17-1=199,a49=12×49-1=197,所以3a5a17≠a49,D错误.故选ABC.
12.5 [解析] ∵an=n+13n-16=131+193n-16,∴当n>5时,an>0,且{an}递减,当n≤5时,an<0,且{an}递减,∴当n=5时,an最小,即{an}的最小项是第5项.
13.(i)92 (ii)(k-1)k2 [解析] 第1行的数分别为1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…;第2行的数分别为1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,…;第3行的数分别为1,1+4,1+4+7,1+4+7+10,….通过以上的规律可得,第n行的第k个数为an=1+(n+1)+(2n+1)+…+[(k-1)n+1]=[(k-1)n+2]k2.
(i)当n=3,k=8时,a3=92.
(ii)当n≥2且n∈N*时,an-an-1=[(k-1)n+2]k2-[(k-1)(n-1)+2]k2=(k-1)k2.
14.解:由an+1=2an+3n两边同时除以3n+1,得an+13n+1=23·an3n+13,令bn=an3n,则bn+1=23bn+13,设bn+1+λ=23(bn+λ),解得λ=-1,则bn+1-1=23(bn-1),又b1-1=-23,所以数列{bn-1}是以-23为首项,23为公比的等比数列,所以bn-1=-23n,所以an=3n-2n.
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(进群送往届全部资料)15.解:(1)若选择条件①.
∵2Sn=3an-3,∴2Sn+1=3an+1-3,则2Sn+1-2Sn=3an+1-3an,即an+1=3an.
令n=1,则2S1=3a1-3,解得a1=3≠0,∴an+1an=3,
∴{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n.
若选择条件②.
∵a1=3,lg3an+1-lg3an=1,∴{lg3an}是以lg3a1=1为首项,1为公差的等差数列,∴lg3an=1+(n-1)×1=n,∴an=3n.
(2)∵bn=3n-9an+1=n-33n,∴bn+1-bn=n+1-33n+1-n-33n=7-2n3n+1.当1≤n≤3时,bn+1-bn>0,即b1
∴当n0=4时,bn0≥bn对任意n∈N*恒成立.
16.C [解析] 由题意可知,双曲线2y2-x2=1的斜率为正的渐近线方程为y=22x.因为点(an,an+1) 在双曲线2y2-x2=1上,所以2an+12-an2=1,又an>1(n∈N*),所以an+12-an2=1-an+12<0,则{an}为递减数列,可得an+1-an<0.由an+2-an+1>λ(an+1-an),可得λ>an+2-an+1an+1-an,记点An(an,an+1),则an+2-an+1an+1-an为直线AnAn+1的斜率,记kn=an+2-an+1an+1-an,因为{an}为递减数列,所以由双曲线的性质及点An在第一象限内可知,{kn}为递减数列,即kn≤k1,且随着a1的增大,直线A1A2的斜率越接近于渐近线y=22x的斜率,故k1越接近于22,所以k1<22,则kn<22,则λ≥22.故选C.
17.①②④ [解析] 令n=1,则1a1+1S1=2·1a1=1,所以a1=2,再令n=2,则1a2+1S2=1a2+1a1+a2=1a2+12+a2=1,又a2>0,所以a2=2,故①正确;依题意有an>0,Sn>0,因为1an+1Sn=1(n∈N*),所以1an=1-1Sn<1,所以an>1,Sn>1,由1an=1-1Sn得an=SnSn-1,所以an+1-an=Sn+1Sn+1-1-SnSn-1=Sn+1(Sn-1)-Sn(Sn+1-1)(Sn+1-1)(Sn-1)=Sn-Sn+1(Sn+1-1)(Sn-1),因为an>0,所以Sn随着n的增大而增大,所以Sn-Sn+1<0,所以an+1-an=Sn-Sn+1(Sn+1-1)(Sn-1)<0,即an+1
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