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02 第35讲 等差数列及其前n项和 【正文】听课高考数学练习
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这是一份02 第35讲 等差数列及其前n项和 【正文】听课高考数学练习，共8页。
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{an}的首项为a1,公差是d,前n项和为Sn,则
2.等差数列的性质
已知{an}是等差数列,其公差为d,Sn是{an}的前n项和.
(1)通项公式的推广:an=am+ (n,m∈N*).
(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 .
(3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
(6)Snn为等差数列.
3.等差数列与函数的关系
(1)等差数列{an}的通项公式可写成an= ,当d≠0时,它是关于n的 ,它的图象是直线y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的均匀分布的一群
的点.
(2)前n项和公式可变形为Sn= ,当d≠0时,它是关于n的常数项为0的 ,它的图象是抛物线y=d2x2+a1-d2x上横坐标为正整数的均匀分布的一群 的点.
常用结论
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.在公差为d的等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值,若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.公差为d的等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数).这里公差d=2A.
5.等差数列{an}(an≠0)的奇数项与偶数项的性质:
(1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd(d为{an}的公差),S奇S偶=anan+1.
(2)若项数为2n-1(n≥2),则S偶=(n-1)·an,S奇=nan,S奇-S偶=an,S奇S偶=nn-1.
6.两个各项均不为0的等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则anbn=S2n-1T2n-1.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知等差数列{an}中,a2=3,前5项和S5=10,则数列{an}的公差为 .
2.[教材改编] 已知等差数列{an}中,a1=12,公差d=-16,若am=-32,则m= .
3.[教材改编] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7+a8=a4+8,则S21= .
4.[教材改编] 一物体从1960 m的高空降落,如果第1秒降落4.9 m,以后每秒比前一秒多降落9.8 m,那么经过 秒该物体降落到地面.
题组二 常错题
◆索引:忽视等差数列中项为0的情况;考虑不全而忽视相邻项的符号;等差数列中各项的符号判断不正确.
5.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是 .
6.在首项为28的等差数列{an}中,从第8项开始为负数,则公差d的取值范围是 .
7.已知等差数列{an}的通项公式为an=10-n,则a1+a2+…+a20= ,|a1|+|a2|+…+|a20|= .
等差数列基本量的运算
例1 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a9=29,S5=35,则S8=( )
A.63B.92C.117D.145
(2)[2024·九省联考] 记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=( )
A.120B.140
C.160D.180
总结反思
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
变式题1 (1)(多选题)[2024·湖南益阳模拟] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,且a1+a7=a5,则( )
A.a3=0B.S5=0
C.S3=S4D.Sn的最大值为S4
(2)[2022·全国乙卷] 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d= .
变式题2 [2023·全国乙卷] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
等差数列的判定与证明
例2 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:Snn为等差数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(2)[2023·福建福州一中模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=13(n+2)an,且a1=1.
(i)求证:数列ann是等差数列;
(ii)求数列1an的前n项和Tn.
总结反思
判定数列{an}是等差数列的常用方法
①定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.
②等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1.
③通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为常数).
④前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数).
变式题 记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn+1bn=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
等差数列性质的应用
角度1 等差数列项的性质
例3 (1)[2023·全国甲卷] 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=( )
A.25B.22C.20D.15
(2)[2024·湖南邵阳邵东一中二模] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2023>0,S2024<0,则下列结论正确的是( )
A.数列{an}是递增数列
B.|a1013|>|a1012|
C.当Sn取得最大值时,n=1013
D.S1013 总结反思
1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
2.求等差数列前n项和的最值的常用方法:
(1)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用等差数列项的性质求其正负转折项,便可求得前n项和的最值;
(2)函数法:利用公差不为0的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)为关于n的二次函数,通过二次函数的性质求最值.
变式题 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=54,S8-S5=30,则S11=( )
A.77B.88
C.99D.110
(2)已知Sn为等差数列{an}的前n项和.若S16>0,a7+a9<0,则当Sn取最小值时,n的值为 .
角度2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)[2023·福建厦门四检] 等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=18,S3=3,则S6=( )
A.9B.212C.12D.272
(2)已知各项均不为0的等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若(2n+3)Sn=nTn,则a5b6=( )
A.925B.13C.37D.1125
总结反思
1.熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键,解题时注意化归与转化思想的合理运用.
2.和的性质:在各项均不为0的等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则等差数列定义式
(d为常数)
等差中项
A= (A是a与b的等差中项)
通项公式
或
前n项和公式
Sn= =
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(进群送往届全部资料)①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
②S2n-1=(2n-1)an;
③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
变式题 (1)已知等差数列{an}的项数为奇数,其所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为( )
A.28B.29
C.30D.31
(2)在等差数列{an}中,a1=-2024,{an}的前n项和为Sn,若S1010-S88=2,则S2024等于 .
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{an}的首项为a1,公差是d,前n项和为Sn,则
2.等差数列的性质
已知{an}是等差数列,其公差为d,Sn是{an}的前n项和.
(1)通项公式的推广:an=am+ (n,m∈N*).
(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 .
(3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
(6)Snn为等差数列.
3.等差数列与函数的关系
(1)等差数列{an}的通项公式可写成an= ,当d≠0时,它是关于n的 ,它的图象是直线y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的均匀分布的一群
的点.
(2)前n项和公式可变形为Sn= ,当d≠0时,它是关于n的常数项为0的 ,它的图象是抛物线y=d2x2+a1-d2x上横坐标为正整数的均匀分布的一群 的点.
常用结论
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.在公差为d的等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值,若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.公差为d的等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数).这里公差d=2A.
5.等差数列{an}(an≠0)的奇数项与偶数项的性质:
(1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd(d为{an}的公差),S奇S偶=anan+1.
(2)若项数为2n-1(n≥2),则S偶=(n-1)·an,S奇=nan,S奇-S偶=an,S奇S偶=nn-1.
6.两个各项均不为0的等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则anbn=S2n-1T2n-1.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知等差数列{an}中,a2=3,前5项和S5=10,则数列{an}的公差为 .
2.[教材改编] 已知等差数列{an}中,a1=12,公差d=-16,若am=-32,则m= .
3.[教材改编] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7+a8=a4+8,则S21= .
4.[教材改编] 一物体从1960 m的高空降落,如果第1秒降落4.9 m,以后每秒比前一秒多降落9.8 m,那么经过 秒该物体降落到地面.
题组二 常错题
◆索引:忽视等差数列中项为0的情况;考虑不全而忽视相邻项的符号;等差数列中各项的符号判断不正确.
5.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是 .
6.在首项为28的等差数列{an}中,从第8项开始为负数,则公差d的取值范围是 .
7.已知等差数列{an}的通项公式为an=10-n,则a1+a2+…+a20= ,|a1|+|a2|+…+|a20|= .
等差数列基本量的运算
例1 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a9=29,S5=35,则S8=( )
A.63B.92C.117D.145
(2)[2024·九省联考] 记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=( )
A.120B.140
C.160D.180
总结反思
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
变式题1 (1)(多选题)[2024·湖南益阳模拟] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,且a1+a7=a5,则( )
A.a3=0B.S5=0
C.S3=S4D.Sn的最大值为S4
(2)[2022·全国乙卷] 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d= .
变式题2 [2023·全国乙卷] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
等差数列的判定与证明
例2 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:Snn为等差数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(2)[2023·福建福州一中模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=13(n+2)an,且a1=1.
(i)求证:数列ann是等差数列;
(ii)求数列1an的前n项和Tn.
总结反思
判定数列{an}是等差数列的常用方法
①定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.
②等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1.
③通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为常数).
④前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数).
变式题 记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn+1bn=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
等差数列性质的应用
角度1 等差数列项的性质
例3 (1)[2023·全国甲卷] 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=( )
A.25B.22C.20D.15
(2)[2024·湖南邵阳邵东一中二模] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2023>0,S2024<0,则下列结论正确的是( )
A.数列{an}是递增数列
B.|a1013|>|a1012|
C.当Sn取得最大值时,n=1013
D.S1013
1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
2.求等差数列前n项和的最值的常用方法:
(1)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用等差数列项的性质求其正负转折项,便可求得前n项和的最值;
(2)函数法:利用公差不为0的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)为关于n的二次函数,通过二次函数的性质求最值.
变式题 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=54,S8-S5=30,则S11=( )
A.77B.88
C.99D.110
(2)已知Sn为等差数列{an}的前n项和.若S16>0,a7+a9<0,则当Sn取最小值时,n的值为 .
角度2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)[2023·福建厦门四检] 等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=18,S3=3,则S6=( )
A.9B.212C.12D.272
(2)已知各项均不为0的等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若(2n+3)Sn=nTn,则a5b6=( )
A.925B.13C.37D.1125
总结反思
1.熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键,解题时注意化归与转化思想的合理运用.
2.和的性质:在各项均不为0的等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则等差数列定义式
(d为常数)
等差中项
A= (A是a与b的等差中项)
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或
前n项和公式
Sn= =
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变式题 (1)已知等差数列{an}的项数为奇数,其所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为( )
A.28B.29
C.30D.31
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