人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题3.6 函数的概念与性质全章综合测试卷-基础卷+提高卷（原卷版+教师版）

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第三章 函数的概念与性质全章综合测试卷-基础篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022秋•开福区校级月考）函数f（x）的定义域为（　　）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]【解题思路】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答过程】解：由题意，，解得0＜x≤2．∴函数f（x）的定义域为（0，2]．故选：C．2．（5分）（2022•民勤县校级开学）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（　　）A．， B．y1＝|x|， C．，y2＝x+1 D．，【解题思路】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答过程】解：对于选项A，第一个函数的定义域为R，第二个函数的定义域为[0，+∞），故错误；对于选项B，第一个函数与第二个函数的定义域都为R，对应关系也相同，故正确；对于选项C，第一个函数的定义域为{x|x≠1}，第二个函数的定义域为R，故错误；对于选项D，第一个函数的定义域为[1，+∞），第二个函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故错误；故选：B．3．（5分）（2021秋•香坊区校级期中）已知函数，则的值为（　　）A． B． C． D．【解题思路】由已知中函数，先求出值，进而代入可求出的值．【解答过程】解：∵已知函数，∴，1，故选：B．4．（5分）（2021秋•新乡期末）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣11）xm在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（　　）A．2 B．16 C． D．【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，用待定系数法求出函数的解析式，可得要求函数的值．【解答过程】解：由题意得，3m2﹣11＝1，且m＜0，解得m＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2，故f（4）＝4﹣2，故选：D．5．（5分）（2021秋•凉山州期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（　　）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．【解题思路】由题意，根据①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数α∈（0，1），从而得出结论．【解答过程】解：由于①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数α∈（0，1），故选：D．6．（5分）（2022•深州市模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）＝3x2﹣2x+m，则f（x）在[1，2]上的最大值为（　　）A．1 B．8 C．﹣5 D．﹣16【解题思路】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝m＝0，可得x≤0时，f（x）的解析式，由此可得f（x）在区间[﹣2，﹣1]上的单调性，结合奇偶性可得f（x）在[1，2]上为减函数，据此分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）＝3x2﹣2x+m，则有f（0）＝m＝0，即m＝0，则f（x）＝3x2﹣2x，（x≤0），在区间[﹣2，﹣1]上，f（x）为减函数，则f（x）在[1，2]上为减函数，则f（x）在[1，2]上的最大值f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣5，故选：C．7．（5分）（2022秋•项城市校级月考）已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0恒成立，设，b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解题思路】由题意得f（x）的图象关于x＝1对称且在[1，+∞）上单调递增，结合对称性及单调性即可比较函数值大小．【解答过程】解：因为函数f（x+1）是偶函数，所以f（x）的图象关于x＝1对称，又当1＜x1＜x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0恒成立，即f（x）在[1，+∞）上单调递增，a＝f（）＝f（），b＝f（2），c＝f（3），所以c＞a＞b．故选：A．8．（5分）（2022秋•东城区校级月考）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所用的时间．若用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），长期的实验和分析表明，f（x）与x有以下关系：，则下列说法错误的是（　　）A．讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散 B．讲课开始后第5分钟比讲课开始后第20分钟，学生的接受能力更强一点 C．讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强 D．需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成【解题思路】分段研究函数f（x）的单调性，由此可判断选项A，求出f（5）和f（20），比较大小即可判断选项B，由函数的单调性以及最值，即可判断选项C，计算学生注意力至少达到55以上的持续时间，与13分钟比较即可判断选项D．【解答过程】解：由题意，：，当0＜x≤10时，f（x）＝﹣0.1x2+2.6x+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9，故函数f（x）在（0，10]上单调递增，最大值为f（10）＝59.9；当10＜x≤16时，f（x）＝59，故f（x）为常数函数，当16＜x≤30时，f（x）＝﹣3x+107，故f（x）单调递减，所以f（x）＜f（16）＝59，则讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，故选项A正确；因为f（5）＝﹣0.1×（5﹣13）2+59.9＝59.9﹣6.4＝53.5，f（20）＝﹣3×20+107＝47＜53.5，所以讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点，故选项B正确；由选项A的分析可知，讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强，故选项C正确；当0＜x≤10时，令f（x）＝55，则﹣0.1×（x﹣13）2＝﹣4.9，所以（x﹣13）2＝49，解得x＝20或x＝6，又0＜x≤10，故x＝6，当16＜x≤30时，令f（x）＝55，则﹣3x+107＝55，解得x＝17，因此学生达到（或超过）55的接受能力的时间为176＝1113，所以需要13分钟讲解的复杂问题，老师不可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成，故选项D错误．故选：D．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021秋•黄梅县校级期末）下列函数中，值域为[1，+∞）的是（　　）A． B． C． D．f（x）＝x3+1【解题思路】结合二次函数，幂函数，反比例函数的性质先求出各选项中函数的值域，然后检验各选项即可判断．【解答过程】解：A：f（x）1，符合题意；B：f（x）22，不符合题意；C：令t，则x且t≥0，所以y＝1t（t﹣1）2+1≥1，符合题意；根据幂函数性质可得f（x）＝1+x3的值域为R，不符合题意．故选：AC．10．（5分）（2022春•营口期末）已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则下列命题正确的有（　　）A．函数f（x）为非奇非偶函数 B．函数f（x）的定义域为R C．f（x）的单调递增区间为[0．+∞） D．若x2＞x1＞0，则【解题思路】求出函数的解析式，根据幂函数的性质分别判断即可．【解答过程】解：设f（x）＝xα，则4α＝2，解得α，故f（x），函数的定义域是[0，+∞），函数f（x）是非奇非偶函数，故A正确，B错误，且f（x）在[0，+∞）为增函数，故C正确；因为函数f（x）是凸函数，所以对定义域内任意x2＞x1＞0，都有，故D错误，故选：AC．11．（5分）（2022•瑶海区校级开学）下列说法不正确的是（　　）A．函数在定义域内是减函数 B．若g（x）是奇函数，则一定有g（0）＝0 C．已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣1D．若f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为【解题思路】由反比例函数的性质可判断A，由奇函数的性质可判断B，由分段函数的单调性可判断C，由抽象函数的定义域可判断D．【解答过程】解：对于A，由反比例函数的性质可知，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减，但是在定义域内不是减函数，故A错误，对于B，若g（x）是奇函数，不一定有g（0）＝0，例如g（x）为奇函数，但在x＝0处无意义，故B错误，对于C，若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则，解得﹣3≤a≤﹣2，故C错误，对于D，若f（x）的定义域为[﹣2，2]，则﹣2≤2x﹣1≤2，解得，所以f（2x﹣1）的定义域为[，]，故D正确，故选：ABC．12．（5分）（2022春•新兴区校级期末）已知y＝f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，，设g（x）＝f（x）+f（x+1），则（　　）A．g（2022）＝1 B．函数y＝g（x）为周期函数 C．函数y＝g（x）在区间（6，7）上单调递减 D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心【解题思路】根据题意，先分析函数g（x）在区间[﹣2，2]上的解析式，依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，y＝f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，，当﹣2≤x＜﹣1时，1＜﹣x≤2，f（﹣x）＝2+x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣2﹣x，当﹣1≤x＜0时，0＜﹣x≤1，f（﹣x）＝﹣x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x，对于g（x）＝f（x）+f（x+1），当﹣2≤x＜﹣1时，﹣1≤x+1＜0，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝﹣1，当﹣1≤x＜0时，0≤x+1＜1，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝2x+1，当0≤x＜1时，1≤x+1＜2，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝1，当1≤x＜2时，2≤x+1＜3，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝3﹣2x，故在区间[﹣2，2]上，g（x）；由此分析选项：对于B，因为f（x）是周期为4的奇函数，所以f（x+4）＝f（x），所以g（x+4）＝f（x+4）+f（x+5）＝f（x）+f（x+1）＝g（x），所以函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，故B正确；对于A，函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，则g（2022）＝g（2）＝f（2）+f（3）＝f（2）+f（﹣1）＝f（2）﹣f（1）＝2﹣2﹣1＝﹣1，故A错误；对于C，函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，在区间（6，7）上，有g（x）＝﹣1，C错误；对于D，函数y＝g（x）的图象的对称中心为（2n，0），n∈Z，对称轴为x＝2n，n∈Z，故D正确，故选：BD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022•南京模拟）函数的定义域为 　[﹣2，4）∪（4，6]　．【解题思路】根据根式的定义及分式的定义即可得到不等式组，即可求解．【解答过程】解：由题可得，解得，﹣2≤x≤6，且x≠4；∴f（x）的定义域为：[﹣2，4）∪（4，6]．故答案为：[﹣2，4）∪（4，6]．14．（5分）（2022秋•富阳市校级期中）某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k（Q）＝40QQ2，则总利润L（Q）的最大值是　2500万元　．【解题思路】先计算单位产品数Q时的总成本，再确定利润L（Q），利用配方法，即可求得结论．【解答过程】解：∵每生产一单位产品，成本增加10万元，∴单位产品数Q时的总成本为2000+10Q万元，∵k（Q）＝40QQ2，∴利润L（Q）＝40QQ2﹣10Q﹣2000Q2+30Q﹣2000（Q﹣300）2+2500，∴Q＝300时，利润L（Q）的最大值是2500万元，故答案为：2500万元.15．（5分）（2022•渝水区校级开学）已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，若正数a，b满足2a+3b＝m，求的最小值 　24　．【解题思路】结合幂函数性质求出f（x），利用基本不等式能求出的最小值．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，∴，解得m＝1，∴正数a，b满足2a+3b＝1，∴（）（2a+3b）＝1212+224，当且仅当，即2a＝3b时，等号成立，∴的最小值为24．故答案为：24．16．（5分）（2022春•鹤峰县月考）已知定义域为[﹣2，2]的函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增，且f（x）+f（﹣x）＝0，若，则不等式的解集为 　{x|x≤1}　．【解题思路】由已知可判断出函数f（x）为奇函数且在[﹣2，2]上单调递增，结合单调性及奇偶性即可求解．【解答过程】解：由题意可知f（x）为奇函数且在[﹣2，0]上单调递增，根据奇函数对称性可知f（x）在[﹣2，2]上单调递增，又，则f（1），则不等式可转化为f（2x﹣1）≤f（1），所以﹣2≤2x﹣1≤1，解得x≤1．故答案为：{x|x≤1}.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021秋•泰安期中）判断下列各组函数是否为相等函数：（1）f（x）＝f（x），g（x）＝x﹣5；（2）f（x）＝2x+1（x∈Z），g（x）＝2x+1（x∈R）；（3）f（x）＝|x+1|，g（x）．【解题思路】运用函数的定义域和对应关系完全相同，才是相等函数，对（1）（2）（3）一一判断，即可得到结论．【解答过程】解：（1）（2）不是，（3）是．对于（1），f （x）的定义域为{x|x≠﹣3}，g（x）的定义域为R；对于（2），f（x）的定义域为Z，g（x）的定义域为R，所以（1）（2）中两组函数均不是相等函数；对于（3），两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．18．（12分）（2022•桂林开学）已知函数f（x）＝x3+2x，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）用定义证明函数f（x）的单调性．【解题思路】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析f（x）与f（﹣x）的关系，即可得答案；（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．【解答过程】解：（1）根据题意，函数f（x）＝x3+2x，x∈R，其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数；（2）根据题意，设x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x13+2x1）﹣（x23+2x2）＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+2）＝（x1﹣x2）[（x1x2）2+2x22]，又由x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x）在R上为增函数．19．（12分）（2021秋•房山区期末）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1），试求实数a的取值范围．【解题思路】（Ⅰ）利用待定系数法求解．（Ⅱ）由偶函数的性质可知原不等式可化为f（|2﹣a|）＞f（|a﹣1|），再利用函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，即可求出结果．【解答过程】解：（Ⅰ）∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点，∴，∴α＝2，∴f（x）＝x2．（Ⅱ）函数f（x）＝x2为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，且满足f（x）＝f（|x|），∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）可化为f（|2﹣a|）＞f（|a﹣1|），∴|2﹣a|＞|a﹣1|，两边平方得（2﹣a）2＞（a﹣1）2，解得a，即实数a的取值范围为（﹣∞，）．20．（12分）（2021秋•虎丘区校级月考）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝a|x﹣2|，F（x）＝f（x）+g（x）．（1）a＝2，求F（x）在x∈[0，3]上的值域；（2）a＞2，求F（x）在x∈[0，3]上的值域．【解题思路】（1）求出F（x）的解析式，再结合图象可求出值域．（2）求出F（x）的解析式，分0≤x≤2和2＜x≤3讨论．【解答过程】解：（1）当a＝2时，F（x）＝x2﹣2x+2|x﹣2|，当0≤x≤2时，F（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，则值域为[0，4]；当2＜x≤3时，F（x）＝x2﹣4，则值域为（0，5]；∴F（x）的值域为[0，5]．（2）当a＞2时，F（x），当0≤x≤2时，F（x）＝x2﹣（a+2）x+2a，对称轴为x，所以值域为[0，2a]；当2＜x≤3时，F（x）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，对称轴为x，所以值域为[0，a+3]；∴当2＜a＜3时，F（x）的值域为[0，a+3]；当a≥3时，F（x）的值域为[0，2a]．21．（12分）（2021秋•越秀区校级期中）某车间生产一种仪器的固定成本是7500元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H（x），其中x是仪器的月产量．（利润＝总收入﹣总成本）．（Ⅰ）将利润表示为月产量x的函数；（Ⅱ）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？【解题思路】（Ⅰ）设月产量为x台时的利润为f（x）．则总成本t＝7500+100x，由f（x）＝H（x）﹣t，可得答案；（Ⅱ）根据（I）中函数的解析式，分类讨论得到函数的性质，进而可得最值．【解答过程】解：（Ⅰ）设月产量为x台时的利润为f（x）．则总成本t＝7500+100x，又∵f（x）＝H（x）﹣t，∴利润f（x） （Ⅱ）当0≤x≤200时，f（x）＝﹣（x﹣150）2+15000，∴f（x）max＝f（150）＝15000； 当x＞200时，f（x）＝﹣100x+32500在（200，+∞）上是减函数，∴f（x）＜f（200）＝12500． 而12500＜15000，所以当x＝150时，f（x）取最大，最大为15000元．答：当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是15000元． 22．（12分）（2022•句容市校级开学）函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且．（1）确定f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【解题思路】（1）由题意，根据f（0）＝0、f（1），求出b和a的值，可得函数的解析式．（2）由题意，利用单调性函数的定义，证明函数的单调性．（3）由题意，利用函数的定义域和单调性解不等式，求得t的范围．【解答过程】解：（1）∵函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，则，解可得b＝0．又由f（1），则有，解可得a＝2，故．（2）由（1）的结论，，设﹣3＜x1＜x2＜3，则 ，再根据﹣3＜x1＜x2＜3，可得9+x1x2＞0，x1﹣x2＜0，，，故有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），可得函数f（x）在（﹣3，3）上为增函数．（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且在（﹣3，3）上为增函数，关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即式f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），可得，解可得：，即不等式的解集为． 第三章 函数的概念与性质全章综合测试卷-提高篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021秋•阿勒泰地区期末）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（　　）A．f（x）＝1，g（x）＝x0 B．f（x）＝x（x∈R）与g（x）＝x（x∈Z） C．f（x）＝|x|与 D．，【解题思路】运用定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，对选项一一求得定义域和对应法则判断即可求解．【解答过程】解：对于A，f（x）＝1（x∈R），g（x）＝x0＝1（x≠0），两函数的定义域不同，故不为同一函数，对于B，f（x）＝x（x∈R），g（x）＝x（x∈Z），两函数的定义域不同，故不为同一函数，对于C，f（x）＝|x|g（x）（x∈R），两函数的定义域相同，对应法则相同，故为同一函数，对于D，f（x）•（x≥2），g（x）（x≥2或x≤﹣2），两函数的定义域不相同，故不为同一函数．故选：C．2．（5分）（2022秋•宛城区校级月考）若函数f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，则函数的定义域为（　　）A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]【解题思路】根据函数的解析式及函数的定义，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答过程】解：因为f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，所以0≤x+1≤16，所以，解得1＜x≤4．故选：B．3．（5分）（2022•华州区校级开学）已知f（x）是R上的奇函数，且f（2﹣x）＝f（x），f（1）＝3，则f（2022）+f（2023）＝（　　）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【解题思路】由已知先求出函数的周期，结合奇偶性及周期性进行转化即可求解．【解答过程】解：由题意，得f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2022）+f（2023）＝f（2）+f（﹣1），因为f（﹣x+1）＝f（x+1），令x＝1，得f（2）＝f（0），因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，所以f（2022）+f（2023）＝0﹣3＝﹣3．故选：A．4．（5分）（2021秋•大通县期末）幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在区间（0，+∞）上单调递增，且a+b＞0，则f（a）+f（b）的值（　　）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【解题思路】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断．【解答过程】解：幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在区间（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝2，∴f（x）＝x5，∴f（x）在R上为奇函数，由a+b＞0，得a＞﹣b，∵f（x）在R上为单调增函数，∴f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0恒成立．故选：A．5．（5分）（2021•博野县校级开学）函数y＝x，y＝x2和的图象如图所示，有下列四个说法：①如果，那么0＜a＜1； ②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0； ④如果时，那么a＜﹣1．其中正确的是（　　）A．①④ B．① C．①② D．①③④【解题思路】先求出三个函数图象的交点坐标，再结合图象判断即可．【解答过程】解：易知函数y＝x，y＝x2和的图象交点坐标为（1，1），函数y＝x与y的图象还有一个交点（﹣1，﹣1），当三个函数的图象依y，y＝x，y＝x2次序呈上下关系时，0＜x＜1，故①正确，当三个函数的图象依y＝x2，y＝x，y次序呈上下关系时，﹣1＜x＜0或x＞1，故②错误，由于三个函数的图象没有出现y，y＝x2，y＝x次序的上下关系，故③错误，当三个函数的图象依y＝x2，y，y＝x次序呈上下关系时，x＜﹣1，故④正确，所以正确的有①④，故选：A．6．（5分）（2022春•湖北期末）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且f（﹣1）＝0，若对于任意两个实数x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，不等式0恒成立，则不等式xf（x）＞0解集是（　　）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）【解题思路】先判断函数的单调性，然后结合奇偶性及单调性即可求解．【解答过程】解：因为对于任意两个实数x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，不等式0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，因为函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且f（﹣1）＝0，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减且f（1）＝0，由xf（x）＞0得或，解得0＜x＜1或﹣1＜x＜0．故选：D．7．（5分）（2022•泸州模拟）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入成本为G（x），当年产量不足80千件时，G（x）x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，G（x）＝51x1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（　　）A．1150万元 B．1000万元 C．950万元 D．900万元【解题思路】根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案．【解答过程】解：∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）x2﹣10x﹣250x2+40x﹣250；②当x≥80时，L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x1450﹣250＝1200﹣（x）．当0＜x＜80时，L（x）x2+40x﹣250（x﹣60）2+950，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（ x）≤1200﹣21200﹣200＝1000，当且仅当x，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．故选：B．8．（5分）（2022•天津三模）定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣3）＝f（x+1），且，则下列说法正确的是（　　）A．f（x）的值域为[0，1] B．f（x）图象的对称轴为直线x＝4k（k∈Z） C．当x∈（﹣3，﹣2）时，f（x）＝2x+6 D．方程3f（x）＝x恰有5个实数解【解题思路】依题意可得f（x）是以4为最小正周期的周期函数，再根据（﹣1，3]上的解析式，画出函数的部分图象，结合函数图象一一分析即可；【解答过程】解：因为f（x﹣3）＝f（x+1），所以f[（x+3）﹣3]＝f[（x+3）+1]，即f（x）＝f（x+4），即f（x）是以4为最小正周期的周期函数，因为，所以f（x）的部分函数图象如下所示：所以函数的值域为[0，2]，故A错误；函数的对称轴为x＝2k（k∈Z），故B错误；当x∈（﹣3，﹣1]时，x+4∈（1，3]，所以f（x）＝f（x+4）＝2﹣2|（x+4）﹣2|＝2﹣2|x+2|，所以当x∈（﹣3，﹣2）时f（x）＝2+2（x+2）＝2x+6，故C正确；方程3f（x）＝x的解的个数，即f（x）的解的个数，即函数y＝f（x）与y的交点个数，结合函数图象可知，函数y＝f（x）与y只有4个交点，故D错误．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022春•琼山区校级月考）已知函数f（2x）＝4x2+1（x∈[﹣2，2]），下列说法正确的是（　　）A．f（1）＝5 B．f（x）＝x2+1 C．f（x）的定义域为[﹣1，1] D．f（x﹣1）的图像关于x＝1对称【解题思路】根据f（2x）求得f（x）解析式，再判断即可．【解答过程】解：∵f（2x）＝4x2+1，令t＝2x，则x，代入f（2x），得f（t）＝4×（）2+1＝t2+1，∴f（x）＝x2+1，B正确；f（1）＝2，A错误；x∈[﹣2，2]，2x∈[﹣4，4]，∴f（x）的定义域为[﹣4，4]，C错误；f（x）为偶函数，图像关于y轴对称，故f（x﹣1）的图像关于x＝1对称，D正确．故选：BD．10．（5分）（2021秋•宣城期末）已知函数f（x）＝xα的图像经过点（4，2），则下列说法正确的是（　　）A．函数f（x）为偶函数 B．函数f（x）在其定义域内为增函数 C．当x＞1时，f（x）＞1 D．当0＜x1＜x2时，【解题思路】由题意，利用幂函数的性质，得出结论．【解答过程】解：由于函数f（x）＝xα的图像经过点（4，2），故有4α＝2，∴α，故f（x）．显然，函数f（x）为非奇非偶函数，故A错误；函数f（x）在其定义域内为增函数，故B正确；当x＞1时，f（x）1，故C正确；由于函数f（x）为上凸型函数，故有当0＜x1＜x2时，，故D正确，故选：BCD．11．（5分）（2022春•重庆月考）函数，则下列结论正确的是（　　）A．f（x）为奇函数 B．f（x）为增函数 C．∀x∈R，|f（x）|＜1 D．∃x0∈R，|f（x0）|＞1【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用反比例型函数的单调性奇偶性可判断B选项；求出函数f（x）的值域，可判断CD选项．【解答过程】解：函数f（x）的定义域为R，f（0）＝0，当x＞0时，﹣x＜0，则，当x＜0时，﹣x＞0，则，所以，对任意的x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，A对；当x≥0时，，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，因为函数f（x）为奇函数，则函数f（x）在（﹣∞，0]上也为增函数，故函数f（x）在R为增函数，B对：当x≥0时，，因为函数f（x）为R上的奇函数，则当x≤0时，f（x）＝﹣f（﹣x）∈（﹣1，0]，故f（x）∈（﹣1，1），所以，∀x∈R，|f（x）|＜1，C对，D错．故选：ABC．12．（5分）（2021秋•武汉期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则下列结论正确的是（　　）A．f（0）＝﹣2 B．|f（x）|的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞） C．当x＜0时， D．xf（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解题思路】由奇函数f（x）在x＝0处有定义，可得f（0）＝0，可判断A；由x＞0的函数的解析式，结合奇函数的定义可得x＜0时的函数解析式，可判断C；判断x＞0时的f（x）的单调性，可得x＜0时的f（x）的单调性，不等式xf（x）＜0等价为x＞0且f（x）＜0，x＜0且f（x）＞0，结合f（﹣1）＝f（1）＝0，解不等式可判断D；由y＝|f（x）|的图象与y＝f（x）的图象特点，结合单调性可判断B．【解答过程】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，故A错误；当x＞0时，，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x，又f（﹣x）＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x，故C正确；由x＞0时，，可得f（1）＝0，又y＝x和y在（0，+∞）递增，可得f（x）在（0，+∞）递增，由奇函数的图象关于原点对称，可得f（x）在（﹣∞，0）递增，且f（﹣1）＝0，所以xf（x）＜0等价为或，解得0＜x＜1或﹣1＜x＜0，故D错误；由y＝|f（x）|的图象可看作y＝f（x）的图象位于x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，所以y＝|f（x）|的递增区间为（﹣1，0），（1，+∞），故B正确．故选：BC．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021秋•滦南县校级月考）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 　[0，4）　．【解题思路】根据函数的定义域为R，转化为mx2+2mx+4＞0恒成立，然后进行求解即可．【解答过程】解：∵f（x）的定义域为R，∴mx2+2mx+4＞0恒成立，当m＝0时，不等式等价为4＞0，满足条件，当m≠0时，要使不等式mx2+2mx+4＞0恒成立，则，得，得0＜m＜4，综上0≤m＜4，即实数m的取值范围是[0，4），故答案为：[0，4）．14．（5分）（2021秋•湖北期中）已知幂函数（p∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是　（﹣1，4）　．【解题思路】根据幂函数的性质求出p的值，根据幂函数的单调性得到关于a的不等式解出即可．【解答过程】解：∵幂函数（p∈N*）在（0，+∞）上是减函数，∴p2﹣2p﹣3＜0，解得﹣1＜p＜3，∵p∈N*，∴p＝1或2．当p＝1时，y＝x﹣4为偶函数满足条件，当p＝2时，y＝x﹣3为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即，∵y为增函数，∴a2﹣1＜3a+3，解得：﹣1＜a＜4，故答案为：（﹣1，4）．15．（5分）（2022春•河南月考）已知函数，若存在0＜a＜b＜2，使得f（x）在[a，b]上单调，且f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]，则m的取值范围为 　　．【解题思路】首先判断函数f（x）＝x的单调性，结合已知对a，b进行分类，可知0＜a＜b＜1时不合题意，当1≤a＜b＜2时，可得m，得到m关于a的函数，再由配方法求最值得答案．【解答过程】解：函数f（x）＝x在（0，1）上单调递减，在[1，2）上单调递增．∵存在0＜a＜b＜2，使得f（x）在[a，b]上单调，∴0＜a＜b＜1或1≤a＜b＜2．当0＜a＜b＜1时，有，可得af（a）＝bf（b）．当0＜x＜1时，令函数g（x）＝xf（x）＝x2+1，g（x）在（0，1）上单调递增，则g（a）≠g（b），即af（a）≠bf（b），不符合题意；当1≤a＜b＜2时，有，可得．当1≤x＜2时，令函数，根据对称性可知，，则．综上可知，m的取值范围为：．故答案为：．16．（5分）（2021秋•巴州区期末）已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断：（1）f（5）＝0；（2）f（x）在[1，2]上是减函数；（3）函数y＝f（x）没有最小值；（4）函数f（x）在x＝0处取得最大值；（5）f（x）的图象关于直线x＝1对称．其中正确的序号是　①②④　．【解题思路】分别利用函数的奇偶性，单调性和周期性进行推理和判断，由f（1﹣x）+f（1+x）＝0得到f（1+x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），得到函数的周期为4．f（x+2）＝﹣f（x），【解答过程】解：（1）由f（1﹣x）+f（1+x）＝0得到f（1+x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），设t＝x﹣1．x＝t+1，∴f（t+2）＝﹣f（t），f（t+4）＝f（t）所以f（4+x）＝f（x），所以函数的周期是4．当x＝0时，f（1）+f（1）＝0，所以f（1）＝0，因为f（5）＝f（4+1）＝f（1）＝0，所以①正确．（2）因为y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，周期为4，f（x+2）＝﹣f（x），所以函数在区间[1，2]上单调递减，所以②正确．（3）函数有最小值，也有最大值，且是相反数，故③错，（4）∵偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，f（x+2）＝﹣f（x），∴函数f（x）在x＝0处取得最大值；（5）因为y＝f（x）是偶函数，所以f（2+x）＝﹣f（x），f（1）＝0所以函数关于（1，0）对称．故⑤错误，因为偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，则在[0，1]上单调递减，且周期为4，所以y＝f（x）在x＝0处取得最大值，在x＝﹣1时取得f（﹣1）＝0．所以④正确，⑤错误．故答案为：①②④.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021秋•梁溪区校级期中）已知函数．（1）若函数定义域为R，求a的取值范围；（2）若函数值域为[0，+∞），求a的取值范围．【解题思路】（1）依题意，﹣ax2+2x+5≥0对任意x∈R都成立，由此建立关于a的不等式组，解出即可；（2）依题意，g（x）＝﹣ax2+2x+5能取遍所有正数，由此建立关于a的不等式组，解出即可．【解答过程】解：（1）∵函数定义域为R，∴﹣ax2+2x+5≥0对任意x∈R都成立，当a＝0时，2x+5≥0显然不恒成立，不合题意；当a≠0时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，综上，实数a的取值范围为；（2）∵函数值域为[0，+∞），∴g（x）＝﹣ax2+2x+5能取遍所有正数，∴，解得，∴实数a的取值范围为．18．（12分）（2021秋•上饶期中）已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm+1（m∈R）为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2a+1）＞16，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据幂函数的定义求出m的值，再根据偶函数的定义写出f（x）的解析式；（2）把不等式化为（2a+1）4＞16，求出解集即可．【解答过程】解：（1）幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm+1（m∈R）为偶函数，∴m2﹣5m+7＝1，解得m＝2或m＝3；当m＝2时，m+1＝3不符合题意，舍去；当m＝3时，m+1＝4，满足题意；∴f（x）＝x4；（2）由（1）知，不等式f（2a+1）＞16化为（2a+1）4＞16，解得2a+1＜﹣2或2a+1＞2，即a或a，∴实数a的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）．19．（12分）（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知幂函数，且在定义域内单调递增．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝[f（x）]2+kf（x）﹣1，x∈，是否存在实数k，使得g（x）的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【解题思路】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值，可得结论．（2）先求出g（x）的解析式，由题意利用二次函数的性质，分类讨论，求得k的值，可得结论．【解答过程】（1）∵幂函数，且在定义域内单调递增，∴m21，且m＞0，求得m＝1，故f（x）＝x．（2）∵函数g（x）＝[f（x）]2+kf（x）﹣1＝x2+kx﹣1，它的图象的对称轴方程为x，x∈，若，即k＞﹣1时，g（x）在[，1]内单调递增，根据它的最小值为g（）1＝0，求得k．若1，即﹣2≤k≤﹣1时，g（x）的对称轴x在[，1]内，根据它的最小值为g（）1＝0，求得k∈∅．若1，即k＜﹣2时，g（x）在[，1]内单调递减，根据它的最小值为g（1）＝1+k﹣1＝0，求得k＝0（舍去）．综上，存在实数k，使得g（x）的最小值为0．20．（12分）（2022秋•徐州期末）经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）＝125﹣|t﹣25|．（1）试写出该商品的日销售金额w（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；（2）求该商品的日销售金额w（t）的最大值与最小值．【解题思路】（1）函数关系近似满足，、g（t）＝125﹣|t﹣25|，即可得到商品的日销售金额w（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；（2）由函数关系近似满足，判断函数的单调性判断出函数的最值，即该商品的日销售金额w（t）的最值．【解答过程】解：（1）由题意，得 （2）①当1≤t＜25时，因为，所以当t＝10时，w（t）有最小值12100；当t＝1时，w（t）有最大值20200；②当25≤t≤30时，∵在[25，30]上递减，∴当t＝30时，w（t）有最小值12400∵12100＜12400，∴当t＝10时，该商品的日销售金额w（t）取得最小值为12100．最大值为20200．21．（12分）（2021秋•张家口期中）已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0成立，求实数t的取值范围；（3）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+1（x∈[﹣2，﹣1]），求函数g（x）的最大值h（a）．【解题思路】（1）根据函数的奇偶性求出函数的解析式即可；（2）根据函数的图像判断函数的单调性，结合函数的奇偶性得到关于t的不等式，解出即可；（3）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据函数的单调性求出函数的最大值，从而求出h（a）的解析式．【解答过程】解：（1）函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+2x，设x＜0，则﹣x＞0，得f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，且f（0）＝0，故函数f（x）；（2）由（1）可得f（x）；画出函数f（x）的图像，如图示：得函数在定义域上为单调递增函数，又函数f（x）为奇函数，故不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0成立，可化为f（t﹣2）＞﹣f（2t+1）＝f（﹣2t﹣1），故t﹣2＞﹣2t﹣1，解得：t，故实数t的取值范围是（，+∞）；（3）当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）＝f（x）﹣2ax+1＝﹣x2+（2﹣2a）x+1，则函数g（x）开口向下，且对称轴的方程为x＝1﹣a，当1﹣a≤﹣2即a≥3时，函数g（x）在区间[﹣2，﹣1]单调递减，故当x＝﹣2时，函数g（x）取得最大值，最大值是h（a）＝g（﹣2）＝4a﹣7，当﹣2＜1﹣a＜﹣1即2＜a＜3时，函数g（x）在[﹣2，1﹣a]单调递增，在[1﹣a，﹣1]单调递减，故当x＝1﹣a时，函数g（x）取最大值，最大值是h（a）＝g（1﹣a）＝a2﹣2a+2，当1﹣a≥﹣1即a≤2时，函数g（x）在区间[﹣2，﹣1]单调递增，故当x＝﹣1时，函数g（x）取得最大值，最大值是h（a）＝g（﹣1）＝2a﹣2，故函数g（x）的最大值h（a）．22．（12分）（2021秋•海陵区校级期中）已知a∈R，函数f（x）＝x|x﹣a|．（1）判断函数f（x）的奇偶性，请说明理由；（2）设a＞0，求函数f（x）在区间[1，3]上的最小值；（3）设a≠0，函数f（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）【解题思路】（1）讨论a＝0，a≠0，结合奇偶性的定义可得结论；（2）讨论a的范围与二次函数的对称轴的关系，结合函数的单调性，可得最小值；（3）求得f（x）的分段函数的形式，讨论a＞0，a＜0时，结合图象可得所求范围．【解答过程】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x|x|，则f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），f（x）是R上的奇函数；当a≠0时，f（a）＝0，f（﹣a）＝﹣2a|a|，则有f（﹣a）≠f（a），且f（﹣a）≠﹣f（a），即f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，所以，当a＝0时，f（x）是奇函数；当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数；（2）因x∈[1，3]，则当1≤a≤3时，f（x）≥0，当且仅当x＝a时取“＝”，即f（x）min＝f（a）＝0．当0＜a＜1时，，显然，即f（x）在[1，2]上递增，f（x）min＝f（1）＝1﹣a，当a＞3时，，对称轴，当3＜a≤4时，f（x）min＝f（3）＝3a﹣9；当a＞4时，f（x）min＝f（1）＝a﹣1．综上得，f（x）min；（3）当a≠0时，函数，函数f（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，当a＞0时，函数f（x）图象如上左图，由x（x﹣a）（x＞a），解得，则有，当a＜0时，函数f（x）图象如上右图，由ax﹣x2（x＜a）解得：，则有．