高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质导学案

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1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法
观察图，在函数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),( SKIPIF 1 < 0 ,1),( π,0),( SKIPIF 1 < 0 ,-1),(2π,0)在确定图象形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道 SKIPIF 1 < 0 ，而函数 SKIPIF 1 < 0 ,x∈R的图象可以通过正弦函
数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈R的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.

②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈R的图象可以看出，要作出函数y= SKIPIF 1 < 0 在[0,2 SKIPIF 1 < 0 ]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),( SKIPIF 1 < 0 ,0),( SKIPIF 1 < 0 ,-1),( SKIPIF 1 < 0 ,0),(2 SKIPIF 1 < 0 ,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y= SKIPIF 1 < 0 在[0,2 SKIPIF 1 < 0 ]上的简图，再通过左右平移(每次移动2 SKIPIF 1 < 0 个单位长度)即可得到余弦函数y= SKIPIF 1 < 0 ,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：
3．正弦型函数 SKIPIF 1 < 0 及余弦型函数 SKIPIF 1 < 0 的性质
函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质
(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(- SKIPIF 1 < 0 ,-1),(0,0),( SKIPIF 1 < 0 ,1);“两线”是指直线x=- SKIPIF 1 < 0 和x= SKIPIF 1 < 0 .在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(- SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )上的简图.
5．余切函数的图象及性质
正切函数的图象及性质：
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，即将 SKIPIF 1 < 0 的图象先向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，再以x轴为对
称轴上下翻折，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象.余切函数的图象与性质如下表：
【题型1 正、余弦函数图象的应用】
【方法点拨】
正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解.
【例1】（2022·上海高一期中）函数与函数的图像的交点个数是（ ）
A．3B．6C．7D．9
【解题思路】作出函数和的图象，由图象可得交点个数，
【解答过程】的最小正周期是，，
时，，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点，故选：C．
【变式1-1】（2022·湖南·高三开学考试）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】判断各选项中函数在区间或上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.
【解答过程】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；
对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；
对于C选项，当时，，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
当时，，D选项满足条件.故选：D.
【变式1-2】（2021·江苏·高一课时练习）从函数的图象来看，当时，对于的x有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】画出和的图象，看它们有几个交点即可.
【解答过程】先画出，的图象，即A与D之间的部分，
再画出的图象，如下图：
由图象可知它们有2个交点B、C，所以当时，的x的值有2个.故选：C.
【变式1-3】（2021·全国·高一专题练习）在上，满足的的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】作出和在的函数图象，数形结合即可求出.
【解答过程】作出和在的函数图象，
根据函数图象可得满足的的取值范围为.故选：C.
【题型2 定义域、值域与最值问题】
【方法点拨】
求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：
(1)借助正弦函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期
性.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1B．，C．1，D．1，
【解题思路】利用正弦型函数的性质求区间最值即可.
【解答过程】由题设，，故，
所以最大值和最小值分别为1，.故选：D.
【变式2-1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.
【解答过程】因为，所以.
故的定义域为.故选：A.
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【解答过程】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为 故选：C.
【变式2-3】（2022·湖南高三阶段练习）奇函数在区间上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由为奇函数且得，由已知有，根据正弦型函数的性质及最值分布列不等式组，求参数范围.
【解答过程】由为奇函数，则，，又，故，
所以，在，则，，
当，则，故无解；当，则，可得；
当，则，无解.综上，的取值范围是.故选：B.
【题型3 单调性问题】
【方法点拨】
单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与
性质进行求解即可.
【例3】（2022·广东广州·高二期中）下列区间中，函数单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用代入检验的方式，分别得到的范围，结合正弦函数的单调性可得结论.
【解答过程】对于A，当时，，此时单调递减，A正确；
对于B，当时，，此时先增后减，B错误；
对于C，当时，，此时先减后增，C错误；
对于D，当时，，此时先增后减，D错误.故选：A.
【变式3-1】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））已知函数，若在上为增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由可得，然后结合条件可建立不等式求得，然后可分析出答案.
【解答过程】令，整理得，
故，解得，，
∵，∴k＝0时，；k＝1时，；
时，∵，故不符合题意．综上所述，．故选：D．
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．，B．，
C． ，D． ，
【解题思路】利用正切函数的单调递增区间，可令，求得x的范围，即得答案.
【解答过程】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间，
令 ，，解得 ，，
所以函数的单调递增区间为，，故选：A.
【变式3-3】（2022·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数 在上单调递减，则ω的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【解题思路】根据题意得，即，再根据，的单调递减区间为得，解得，进而得当时，即可得答案.
【解答过程】因为函数在上单调递减，所以，所以.
所以因为的单调递减区间为，
所以，解得，由于，故.
所以当时，得的最大区间：.故的最大值是.故选：C.
【题型4 奇偶性与对称性问题】
【方法点拨】
掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性和对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，偶函数是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据诱导公式化简函数解析式，再根据正弦、余弦、正切函数的奇偶性可得答案.
【解答过程】对于A，为奇函数，故A不正确；
对于B，为奇函数，故B不正确；
对于C， 为奇函数，故C不正确；
对于D， 为偶函数，故D正确.故选：D.
【变式4-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A．B．1C．1或-1D．
【解题思路】由函数为偶函数得到，求出的值，代入后用诱导公式即可得到结果.
【解答过程】由函数得，，，其中，
.故选：B.
【变式4-2】（2023·北京市高三期中）函数f（x）的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是（，0），那么f（x）的解析式可以是（ ）
A．sinxB．csxC．D．
【解题思路】判断各选项中函数是否有对称中心即可得．
【解答过程】四个选项中函数都是连续函数，代入函数式，只有B选项函数值为0，其他三个均不为0，由余弦函数性质知，B正确．故选：B．
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用为对称中心，列出方程，求出，，求出的最小值.
【解答过程】由题意得：，，解得：，，
所以，，当时，取得最小值为.故选：D.
【题型5 三角函数的周期性】
【方法点拨】
证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：
(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周
期函数且T是它的一个周期.
(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.
(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.
【例5】在函数中，最小正周期为的函数是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据正余弦、正切函数的性质求各函数的最小正周期即可.
【解答过程】由正弦函数性质，的最小正周期为，的最小正周期为；
由余弦函数性质，的最小正周期为；由正切函数性质，的最小正周期为.
综上，最小正周期为的函数是.故选：A.
【变式5-1】（2022·河南安阳·高三期中（文））已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由周期性得，再由对称性与单调性判断，
【解答过程】因为的最小正周期为，所以，令得，
即在上单调递增，同理得在上单调递减，
而，，，
由三角函数性质得，故选：D.
【变式5-2】（2020·福建省高三阶段练习）给出下列函数：
①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
【解题思路】结合函数周期的定义以及三角函数的图像与性质即可.
【解答过程】对于①，，其最小正周期为;
对于②，结合图象，知的最小正周期为．
对于③，的最小正周期．对于④，的最小正周期．
故选：A．
【变式5-3】（2022·河南省高一阶段练习）下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据正弦、余弦函数的性质计算可得；
【解答过程】解：在区间上不单调，A不符合题意.在区间上单调递增，且最小正周期为，B符合题意.在区间上单调递减，C不符合题意.的最小正周期为，D不符合题意.故选：B.
【题型6 三角函数的图象与性质的综合应用】
【方法点拨】
解决正(余)弦型函数的图象与性质的综合应用问题的思路：
1.熟练掌握函数 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.
2.直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.
【例6】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数的最小正周期．
(1)求函数单调递增区间；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）由最小正周期求得，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；
（2）转化为求在上的值域．
【解答过程】（1）因为函数的最小正周期，
所以，由于，所以．所以，
所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，
令，解得，
所以函数单调递增区间为．
（2）因为函数在上有零点，所以函数的图像与直线在上有交点，
因为，故函数在区间上的值域为
所以当时，函数的图像与直线在上有交点，
所以当时，函数在上有零点．
【变式6-1】（2022·湖南·高二阶段练习）已知函数（，）的图象关于直线对称：
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由题意，利用正弦函数的周期性和对称性，求出和，可得函数的解析式；
（2）由题意，利用正弦函数的对称性、单调性，求出的取值集合.
【解答过程】（1）∵函数，的图象关于直线对称，
最小正周期为，∴，，，求得，，函数.
（2）若是的零点，由于的图象关于直线对称，
则，①，根据在上单调，有②，
由②可得，由①可得，所以，故的取值集合为：.
【变式6-2】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数的图象经过点.
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据最小正周期为得到，再根据的图象过点，得到，即可得到的解析式；
（2）根据得到是的一条对称轴，代入得到，，再根据的图象过点得到，，联立得到，根据在上单调得到，最后验证在上是否单调即可得到的取值集合.
【解答过程】（1）因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.因为的图象经过点，所以，，
即，.因为，所以.故.
（2）因为，，所以直线为图象的对称轴，
又的图象经过点.所以①，②，.
②-①得，所以
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.令，.
在上单调递增，在上单调递减，故在上不单调，不符合题意；
当时，，.
因为，所以，此时.令，.
在上单调递减，故在上单调，符合题意；
当时，，.
因为，所以，此时.令，.
在上单调递减，故在上单调，符合题意，
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
【变式6-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.
(1)求的解析式；
(2)将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，求曲线的对称中心的坐标.
【解题思路】（1）根据函数的最小值及最小正周期，求出，再根据函数图象关于对称，结合，求出，从而求出函数解析式；
（2）先求出平移后的解析式，再用整体法求解对称中心.
【解答过程】（1）依题意可得解得，
则，因为的图象关于直线对称，所以，
又，所以.故.
（2）依题意可得，
令，得，
故曲线的对称中心的坐标为.专题5.4 三角函数的图象与性质-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·新疆·高三阶段练习（理））函数在区间上的简图是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】代入特殊值排除不合题意的选项，即得解.
【解答过程】将代入到函数解析式中求出函数值为，可排除C，D;
将代入到函数解析式中求出函数值为负数，可排除B.故选：A.
2．（3分）（2023·陕西西安·高三期末（理））下列区间中，是函数单调递减的区间是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由，求出函数的单调减区间，从而可求得答案.
【解答过程】由，得，
则的减区间为，因为，
所以是函数的一个单调减区间，故选：B.
3．（3分）（2022·山东东营·高一期中）下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为RB．函数为奇函数
C．函数的最小值为0D．函数的最小正周期为
【解题思路】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D.
【解答过程】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;
对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，
又，则函数为偶函数，故选项B错误;
对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，根据图象变换作出函数草图如下：
由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;
对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.故选：D.
4．（3分）（2022·云南·高三阶段练习）函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，将原问题转化为函数在区间上恰有三个零点，根据正弦函数的性质，即可求出结果.
【解答过程】因为，所以，又函数在上恰有三个零点，等价于函数在区间上恰有三个零点，由正弦函数的性质可知，，
所以，故选：C.
5．（3分）（2022·湖北·高三期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】结合已知条件，利用中间值法即可比较大小.
【解答过程】由于，由三角函数的性质可知，，则，
由，则，故．故选：D.
6．（3分）（2022·浙江金华·高三阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.
【解答过程】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.所以的取值范围为.
故选：B.
7．（3分）（2022·安徽亳州·高一期末）已知函数，对于任意的，方程恰有一个实数根，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】将方程的根的问题转化为函数的图象与直线有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m的取值范围.
【解答过程】方程恰有一个实数根，等价于函数的图象与直线有且仅有1个交点．当得：，结合函数的图象可知，，
解得：.
故选：D.
8．（3分）（2022·江苏泰州·高三期中）已知函数（，），直线和点分别是图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上为单调函数
D．函数在区间上有12个零点
【解题思路】根据已知条件求得，代入法以及正余弦函数性质判断奇偶性、对称中心，由整体法，结合正弦函数的单调性、周期性判断区间单调性和区间零点个数.
【解答过程】由题设，，故，
所以，故且，
所以，，又，故，综上，，
为偶函数，A错误；
，图象不关于对称，B错误；
在上，，根据正弦函数的性质在该区间上不单调，C错误；
在上，在区间内有6个周期长度，每个周期有2个零点，所以该区间内有12个零点，D正确.故选：D.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．图象关于点对称
C．图象关于直线对称D．在区间的值域为
【解题思路】根据正弦函数的性质，分别求出函数的周期，对称轴，对称中心和在上的值域即可求解.
【解答过程】因为，所以最小正周期为，故A选项错误；
令，解得：，令，
所以图象不关于点对称，故选项B错误；
令，解得：，所以图象关于直线对称，故选项C正确；
当时，，所以，故选项D正确，故选：CD.
10．（4分）（2022·云南高三阶段练习）已知函数，则（ ）．
A．B．最小正周期为
C．为的一个对称中心D．在上单调递增
【解题思路】对A选项代入计算即可，对B选项利用结论正切函数最小正周期为，对B选项代入检验即可，对D选项利用整体代换法，求出的范围，再利用正切函数的单调性即可判断.
【解答过程】解：，A错误；的最小正周期为，B正确；
当时，，所以为的一个对称中心，C正确；
当时，，因为在上单调递增，D正确．
故选：BCD．
11．（4分）（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数，，，在上单调，则的取值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【解题思路】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案.
【解答过程】函数，,则①,
又 ，则是函数的一个对称中心，故②,
两式相减得： ，在上单调递增， 则 ,则 ，
故的取值在1,3,5,7,9,11之中；当时， ，，故 ，
此时在单调递增，符合题意；当时， ，，不符合题意；当时， ，，故 ，
此时，因为，则 ，
在单调递减，符合题意；
当时， ，，故 ，此时，，
故在上不单调，不符合题意；故选：AC.
12．（4分）（2022·山东德州·高三期中）已知函数同时满足下列三个条件：
①该函数的最大值为；
②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为；
③该函数图象关于对称.
那么下列说法正确的是（ ）
A．的值可唯一确定
B．函数是奇函数
C．当时，函数取得最小值
D．函数在区间上单调递增
【解题思路】根据题目条件求出函数解析式，进一步根据函数的性质，求出各选项.
【解答过程】由题可知：，,即，∴，
又∵该函数图象关于对称，∴，即，
又∵，∴当时，，∴，
A选项：此时的值可唯一确定，A正确；
B选项：，当时，，
∴此时函数不是奇函数，故B错误；
C选项：，此时函数取得最小值，故C正确；
D选项：已知，∴，
∴在函数在区间上单调递减，故D错误.
故选：AC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·江苏·模拟预测）函数的最小正周期为 .
【解题思路】根据函数的周期等于，得出结论.
【解答过程】函数的最小正周期为，故答案为：.
14．（4分）（2022·四川·高三期中）函数 的图像中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为，则函数 在区间 上的值域为 .
【解题思路】由已知条件先求出函数的解析式，在根据所给自变量的范围求函数的值域
【解答过程】由题意可得: ， 所以， 又，
又， 即，
又 ，所以 ，即，
又，则， 则， 则
故答案为：.
15．（4分）（2022·四川·高三阶段练习（理））函数在区间上单调递增，且存在唯一，使得，则的取值范围为 ．
【解题思路】根据函数得单调性可得，根据后一个条件可得，解之即可得解.
【解答过程】解：由，得，
因为函数在区间上单调递增，且，所以，解得，
由，得，因为存在唯一，使得
所以，解得，综上所述的取值范围为.故答案为：.
16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列5个结论正确的是 ①④⑤ .
①任取，都有；
②函数在区间上单调递增；
③对一切恒成立；
④函数有3个零点；
⑤若关于的方程有且只有两个不同实根，则.
【解题思路】根据函数解析式可求出当，时，据此可判断①，根据函数解析式利用特殊值可判断②③，由数形结合可判断④⑤.
【解答过程】对于①，由，当，时，，此时，所以任取，都有，故①正确；
对于②，当时，，，所以非单调递增，故②错误；
对于③，，，所以，故③错误；
对于④，如图，
由数形结合可知有3个零点，故④正确；对于⑤，如图，
由图可知，有且只有两个不同实根时，两个根关于对称，所以，故⑤正确.
综上所述，正确的结论是①④⑤.
故答案为：①④⑤.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·陕西·高一阶段练习）已知函数．
(1)求函数取得最大、最小值时自变量的集合；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
【解题思路】（1）先用诱导公式化简，再用整体法可得函数取最值时自变量的取值范围；
（2）利用函数奇偶性定义进行判断.
【解答过程】（1）因为，
令，，即，时，函数取得最大值；
令，，即，时，函数取得最小值，
所以函数取得最大值时自变量的集合是，
函数取得最小值时自变量的集合是；
（2）函数为奇函数；因为函数定义域为R，且，
故函数为奇函数.
18．（6分）（2022·福建高一期末）某同学作函数f (x) = Asin(x +)在一个周期内的简图时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并求出f (x)的解析式；
(2)若f (x)在区间(m，0)内是单调函数，求实数m的最小值.
【解题思路】（1）由题意，根据五点法作图，利用正弦函数的性质，补充表格，并求出函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的单调性，求出实数的最小值．
【解答过程】(1)解：作函数，，的简图时，
根据表格可得，，，．
结合五点法作图，，，故函数的解析式为．列表如下：
(2)解：因为，所以，若在区间内是单调函数，
则，且，解得，故实数的最小值为．
19．（8分）（2022·海南高一期末）已知函数.
(1)用“五点法”做出函数在上的简图；
(2)若方程在上有两个实根，求a的取值范围.
【解题思路】（1）根据“五点法”作图法，列表、描点、作图，即可得到结果；
（2）将原问题转化为与在上有两个不同的交点，作出函数在的图象，由数形结合即可得到结果.
【解答过程】(1)解：列表：
作图：
(2)解：若方程在上有两个实根，则与在上有两个不同的交点，因为，所以作出函数在的图象，如下图所示：
又，，，，由图象可得，或，
故a的取值范围是.
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）设函数．
(1)求函数的定义域和单调区间;
(2)求不等式的解集．
【解题思路】（1）由可求得定义域；令可解得的单调递增区间；
（2）将看作一个整体，可得，解不等式即可求得不等式的解集.
【解答过程】（1）由题意得：，解得：，
的定义域为；
令，解得：，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由得：，解得：，
则的解集为.
21．（8分）（2022·江西省高一期中）已知函数，，
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；
(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.
【解题思路】(1)根据复合函数单调性的求法，使即可；
(2)根据余弦函使其交集不为空集
(3)求两个函数在对应区间上的值域，根据包含关系求解即可.
【解答过程】（1），解不等式得： ，
所以函数的单调递减区间为.
（2），即时， ，
，即 时，；
（3）时，，，
时， ， ，
要使得，只需， .
22．（8分）（2022·西藏拉萨·高一期末）已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为．
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）分别选择条件①②和①③，求得周期，在计算的值，即可求解；
（2）由（1）中，化简得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【解答过程】（1）
解：选择①②：
由条件①即已知，可得，所以，
由条件②得，所以，即，解得，
因为，所以，所以，经验证，符合题意；
选择条件①③：
由条件①即已知，可得，所以，
由条件③得，解得，
因为，所以，所以，
选择条件：②③：
由条件②得，所以，即，解得，
因为，所以，所以，
由条件③得，解得，此时不唯一，不符合题意.
（2）解：由函数
，
因为，所以，
所以当，即时，函数取得最大值，最大值为.
0


-3
0
0
3
0
0
x
0
1
1
3
1