湖南省常德市第一中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题

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时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A． B．C．D．
2．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（ ）
A．B．C．D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1B．2C．3D．
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6． 已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则
A． B． C．D．
8．已知函数，若存在的极值点，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9．下列式子中，结果为的是（ ）
① ②
③ ④
A．① B．② C．③ D．④
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．在上有且仅有四个零点
11．已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为 .
13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数 .
14．若定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得(为常数)，则称与具有关系. 已知函数，，且与具有关系，则的取值范围为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
15．（13分）已知函数．在锐角中，角的对边分别是，且满足．
（1）求A的值；
（2）若，求的取值范围．

16.（15分）已知在多面体中，，，，，且平面平面.
（1）设点F为线段BC的中点，证明：平面；
（2）若直线BE与平面ABC所成的角为，求锐二面角的余弦值．
17.（15分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
18．（17分）已知两点､，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为､.
①证明：为定值；
②若点关于轴的对称点成点，探究：是否存在直线，使得的面积为，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
19．（17分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围.