湖北省荆门德艺高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（概率与立体几何）

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1．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35
2．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F与G互斥 B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥 D．E与G对立
3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
4．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
5．设M，N为两个随机事件，给出以下命题，不正确的是( )
A．若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)，则M，N为相互独立事件
B．若P(eq \x\t(M))＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,6)，则M，N为相互独立事件
C．若P(M)＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(N))＝eq \f(1,3)，P(MN)＝eq \f(1,3)，则M，N为相互独立事件
D．若P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)，P(eq \x\t(M) eq \x\t(N))＝eq \f(5,6)，则M，N为相互独立事件
6．已知空间向量＝（1，0，－1），＝（－1，1，0），则向量在向量上的投影向量是（ ）
A.（－eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)）B.（，－，0） C.（1，－1，0） D.（eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，0）
7．如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且GN＝2MG，现用向量OA，OB，OC表示向量OG，
设OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为（ ）
A. x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(1,3)，z＝eq \f(1,3), B. x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(1,3)，z＝eq \f(1,6)
C. x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(1,6)，z＝eq \f(1,6) D. x＝eq \f(1,6)，y＝eq \f(1,3)，z＝eq \f(1,3)
8．如图，以等腰直角△ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ）
A. AB·AC＝1 B. AB⊥DC C. BD⊥AC
D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分．
9．如图所示的电路中，5只盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( )
A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为eq \f(1,3)
B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为eq \f(1,30)
C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为eq \f(5,6)
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为eq \f(29,36)
10．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，
∠CAA1＝，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点，
则下列结论正确的是（ ）
A. AO＝eq \f(1,2)（AB＋AC＋AA1） B.｜AO｜＝ C. AO⊥BC D.平面ABC⊥平面B1BCC1
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ（0＜λ＜2）.
A. 不存在λ的值，使得直线BC1∥平面EFPQ.；
B.当λ＝1时，直线BC1∥平面EFPQ.
C.当时，平面EFPQ⊥平面PQMN.
D.当时，平面EFPQ⊥平面PQMN.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率为________．
13．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，CC1＝2，AA1与AB，AC都成60°角，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 。
14．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别
是AB，AD的中点，点B到平面GEF的距离为 .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，
第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设a＝（1，5，－1），b＝（－2，3，5）.
①若（ka＋b）∥（a－3b），求k；
②若（ka＋b）⊥（a－3b），求k.
16．本着低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人单独来该租车点租车骑游(各租一车一次)，租车费用分别为x、y元．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率P(x=y)；
(2)设ξ=x+y，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
17．甲、乙二人进行一次围棋比赛，一共赛5局，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
18．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝5，AB＝AA1＝2，M为棱AB的中点，N是A1C的中点.
（1）证明：MN∥平面BCC1B1；
（2）求直线A1C与平面B1MN所成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝eq \f(1,2)AD＝1，CD＝3.
（1）求证：PQ⊥AB；
（2）求平面PQB与平面MQB夹角的余弦值.