广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

这是一份广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是虚数单位，化简为（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
5．在中，点是线段的中点，点是线段上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．内含D．内切
7．设点 P是椭圆 上一点, 分别为椭圆C的左、右焦点, 且的重心为G，若 ,则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若直线：，：，：，且，，则（ ）
A．B．
C．，之间的距离为D．，的交点坐标为
10．已知空间四点，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．
C．∥D．点到平面的距离为
11．已知直线与圆O：交于点M，N，若过点M和的直线与y轴交于点C，过点M和的直线与x轴交于点D，则（ ）
A．面积的最大值为2B．的最小值为4
C．D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知空间向量，，，则向量与的夹角为 ．
13．已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 .
14．已知为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）分别求出适合下列条件的方程：
(1)已知三个顶点的坐标分别是.求外接圆的方程.
(2)焦点坐标为和，且经过点的椭圆的标准方程.
16．（15分）已知的顶点所在直线方程为，角A平分线所在直线的方程为.
(1)求点A的坐标；
(2)求直线的方程.
17．（15分）如图，绕边BC旋转得到，其中，平面ABC，∥．
(1)证明：平面ACD；
(2)若二面角的平面角为，求锐二面角平面角的正弦值．
18．（17分）甲、乙、丙、丁四只球队进行单循环小组赛（每两个队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，打平两队各记1分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四只球队水平相当，即每场比赛双方获胜、负、平的概率都为.
（1）三轮比赛结束后甲的积分记为X，求；
（2）若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四个球队积分分别为3、3、0、6，求甲队能小组出线的概率.
19．（17分）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为.
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.
南宁三中2024~2025学年度上学期2026届高二月考（一）
数学试题参考答案
1．C【详解】，故选C．
2．B【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角为.故选：B.
3．B【详解】由题设，解得或.故，.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B.
4.B【详解】令，得；令,得．故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得.故选：B
5．A【详解】因为，所以，即，又，所以，因为点是线段上一点，即、、三点共线，所以，解得.故选：A
6．C【详解】圆即圆的圆心半径分别为，圆的圆心和半径分别为，因为，解得或（舍去），从而，所以，因为，所以圆M与圆的位置关系是内含.
7．B【详解】如图所示：由椭圆的定义知，，而，得，而，得，在中，由余弦定理得，，所以，得，根据三角形的重心性质，可知，，故，所以，故选：B
8．A【详解】当时，，此时，交点为.当时，由，斜率为，由，斜率为，，综上，.又， 直线恒过，，直线恒过， 若为的交点，则，设点，所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为，故的轨迹方程为，即，则有.又，易知O、Q在该圆内，又由题意可知圆上一点满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即，，又，.所以，又，
所以， 如图，当且仅当三点共线，
且位于之间时，等号成立即最小值为.故选：A.
9．BCD【详解】由及得，解得，故选项A错误，B正确；则：，：，又：即，所以，之间的距离为.故选项C正确；由得，所以，的交点坐标为.
10．AD【详解】对于选项A: 结合题意可得，因为，所以，故选项A正确；对于选项B: 结合题意可得，故选项B错误；对于选项C：结合题意可得，,故选项C错误；对于选项D：结合题意可得,设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离为,故选项D正确.
11．ACD【详解】A项：因为直线与圆O交于点M，N，所以，所以，当，即，时，面积的最大值为2，A正确；B项：设，则，，所以，因为，所以．所以，即，所以当时，取得最小值，B错误；C项：当直线MB斜率存在时，则直线．令，可得，故．直线，令，可得，所以．
故
；当直线斜率不存在时，，，则，综上所述，为定值，C正确；D项：当时，，设，联立消去y可得，则，，则．
12．【详解】依题意，所以，所以，由于，所以向量与的夹角为.
13．或【详解】当直线有斜率时，设直线方程为，到直线的距离相等，则，解得，所以直线方程为，即，当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意，综上可得：或，故答案为：或
14．6【详解】如图：取中点，因为，圆的半径为2，所以，点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，.
，由点到直线距离公式，得：，所以，所以.
15．(1) (2)
【详解】（1）三个顶点的坐标分别是，
直线的斜率，直线的斜率，
则，即，外接圆是以线段AB为直径的圆，线段的中点为，
半径，所以外接圆的方程是分
（2）由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为，
已知焦点坐标及椭圆上一点，
由椭圆的定义可知，
因此.又因为，所以.
因此，所求椭圆的标准方程为分
16．(1)(2)
【详解】（1）联立两直线方程，所以分
（2）设点关于直线的对称点为，
则，解得，由于是角的角平分线，故在直线上，
故直线方程为，即分
17．(1)证明见详解(2)
【详解】（1）由题意可知：，
且，平面，所以平面分
（2）过作，垂足为，连接，即，
因为平面ACD，平面ACD，
则，且，平面，则平面，
由平面，可得，
可知二面角的平面角为，且，可得，
由（1）可知：，则锐二面角平面角为，
且∥，可知，可得，
所以锐二面角平面角的正弦值为分
18．（1）；（2）.
【详解】（1）设甲的第i场比赛获胜记为，第i场比赛获平记为，第i场比赛获输记为，
分
（2）分类1：若第三轮甲胜丁，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6、3、0、6，
另一场比赛乙胜丙，这时甲、乙、丁积6分，丙积0分，所以要抽签决定，抽中前两名的概率为，这时甲出线的概率为，另一场比赛乙平丙或乙输丙，这时甲一定出线，甲出线的概率为；
分类2：若第三轮甲平丁，则甲、乙、丙、丁积分变为4、3、0、7，
另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为4、3、3、7，甲一定出线，甲出线的概率为，另一场比赛乙平丙，则甲、乙、丙、丁积分变为4、4、1、7，所以要抽签决定，抽中前两名的概率为，这时甲出线的概率为；
分类3：若第三轮甲输丁，则甲、乙、丙、丁积分变为3、3、0、9，
另一场比赛乙输丙，甲、乙、丙、丁积分变为3、3、3、9，甲出线的概率为，
甲出线的概率为分
19．(1)(2)
【详解】（1）由题知：直线方程为，则由，得到，即，
点为线段的中点，，即，分
(2)即圆心C-2,0；到直线距离为，，又到直线的距离为，边上的高为分
（3）由上可知,不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，因为，则直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，
则线段的中点为，半径平方为，
所以，以线段为直径的圆的方程为，
即，
由，解得，
因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
B
B
A
C
B
A
BCD
AD
ACD