福建省福州市金山中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份福建省福州市金山中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，则（ ）
A．B．5C．D．
4．如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ）
A．B．C．16D．8
5．已知正方体的棱长为2，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面面积是（ ）
A．B．C．D．
6．已知不共线的向量、，若向量与共线，则实数的值为（ ）
A．1B．C．D．
7．如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．桂林日月塔又称金塔银塔、情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称．如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的，两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ）
A．米B．米C．50米D．米
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知复数的虚部不为零，同时满足，则（ ）
A．B．为纯虚数
C．在复平面内对应的点在实轴上D．的最大值为
10．已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A． 非零向量、，满足且与同向，则
B．
C．若，则不与垂直
D．
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若是锐角三角形，恒成立
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，，则是等边三角形
12．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，cm，且，下列说法正确的是（ ）
A．该圆台轴截面面积为cm2
B．该圆台的体积为cm3
C．该圆台的表面积为cm2
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为5cm
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若是实系数方程的一个根，则______．
14．如图为了测量，两点间的距离，选取同一平面上，两点，测出四边形的各边的长度（单位：km）：，，，，如图所示，且、、、四点共圆，则的长为__________km.
15．已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为______．
16．已知梯形中，，，，，点，在线段上移动，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题10分）
已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成60°角，求该圆柱的体积．
18．（本小题12分）
若复数，复数
（1）若，求实数的值；
（2）若，求.
19．（本小题12分）
已知向量，.
（1）若，求与夹角的正弦值；
（2）若，求向量的坐标．
20．（本小题12分）
已知中，内角，，所对边分别为，，，若.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
21．（本小题12分）
已知在圆锥中，底面的直径，的面积为48.
（1）求圆锥的表面积；
（2）一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间．
22．（本小题12分）
如图，在中，已知，，，边上的中点为，边上的中点为，，相交于点.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）过点作直线交边，于点，，求该直线将分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围．
答案和解析
1．【答案】B
【解析】解：由复数，，则，
则复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．
故选：B.
根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】解：，
故选B.
直接用三角形面积公式求得答案．
本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
3．【答案】C
【解析】因为向量，，
所以，
所以则，
故选：C.
计算，代入模长公式计算即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】解：在正方形中可得，
由斜二测画法可知，，
且，，，
所以四边形为平行四边形，
所以
故选：B.
根据斜二测画法规则求出，，判断的形状，确定，由此求出原四边形的面积．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：如图所示，分别取，，的中点，，，连接，，，，
在正方体中，可得，，，
所以经过点，，的截面为正六边形，
又因为正方体的棱长为2，
在直角中，可得，
所以截面正六边形的面积为
故选：D.
根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案．
本题考查正方体中的截面问题，属于中档题．
6．【答案】B
【解析】解：由题意知，向量，为不共线的向量，
若向量与共线，则存在实数使得，
则，解得
故选：B.
根据题意，结合向量的共线定理，得到，列出方程组，即可求解．
本题考查共线向量定理的应用，是基础题．
7．【答案】A
【解析】解：，
又，
，
又
，
，，
则，
故选：A.
根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．
本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键，属于中档题．
8．【答案】B
【解析】解：由题意可知，，，
设米，
在中，米，
在中，米，
由余弦定理可得，
即，解得，
因为米，所以米．
故选：B.
利用仰角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解．
本题考查了余弦定理的实际应用，属于中档题．
9．【答案】AB
【解析】解：设，则，
因为，所以，即，得，
可得，故A正确；
，
因为，则，所以为纯虚数，故B正确；
在复平面内对应的点为，因为，
所以在复平面内对应的点不在实轴上，故C错误；
因为，
所以，
因为，，所以点在以为圆心，半径的圆上（除点，外），
又表示点与的距离，
且圆心到点的距离，
所以，即的最大值为，故D错误．
故选：AB.
设，根据复数代数形式的乘法运算推导出，即可判断A、B、C，根据复数模的几何意义判断D.
本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查运算求解能力，是中档题．
10．【答案】BD
【解析】解：对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误；
对于B中，由向量的数量积的定义，可得，
因为，可得，所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以，所以C错误；
对于D中，由，
又，
因为，所以，所以D正确．
故选：BD.
根据向量的概念，可判定A错误；根据向量的数量积的定义，以及，可判定B正确；根据向量的运算律，得到，可判定C错误；根据向量的运算法则，可判定D正确．
本题主要考查平面向量的概念与平面向量的模，属于基础题．
11．【答案】ACD
【解析】解：因为，所以，所以，故A正确；
若是锐角三角形，则且A，B为锐角，
所以，
所以，故B不正确；
，故符合条件的有两个，故C正确；
选项D，由余弦定理知，，即，所以，
又，所以为等边三角形，故D正确．
故选：ACD
结合正弦定理与“大边对大角”，可判断A；由，结合正弦函数的单调性可判断B；，可判断C；利用余弦函数可判断
本题考查解三角形的综合，熟练掌握正弦定理、余弦定理，正弦函数的单调性等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．【答案】ABD
【解析】解：对于A，由，且，
可得，高，
则圆台轴截面的面积为cm2，故A正确；
对于B，圆台的体积为cm3，故B正确；
对于C，圆台的表面积为，故C错误；
对于D，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，
侧面展开图的圆心角，
设的中点为，连接，
可得，，，
则，
所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为5cm，故D正确．
故选：ABD.
求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的表面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D.
本题考查命题真假的判断，考查圆台的结构特征、梯形面积公式、圆台表面积和体积公式、圆锥侧面展开图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13．【答案】
【解析】解：是方程的根，则也是方程的根，
，，
，的值为，
则
故答案为：.
利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理即可求得、的值，推出结果；
本题考查复数代数形式的混合运算，突出考查复数相等的应用，属于基础题．
14．【答案】7
【解析】【分析】
本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于中档题．
利用余弦定理，结合，即可求出的长．
【解答】
解：、、、四点共圆，圆内接四边形的对角和为
，
由余弦定理可得，
，
，即，
，
可解得
故答案为：7.
15．【答案】12
【解析】解：在正四棱锥中，底面的边长为2，如下图所示，
设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高：，
则为的中点，且，，
取的中点，连接，则，
可得，，
故正四棱锥的表面积为
故答案为：12.
计算出正四棱锥的侧棱长以及侧面三角形的高，进而可计算出该正四棱锥的表面积．
本题考查空间几何体的表面积的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，是中档题．
16．【答案】
【解析】解：过作的垂线交与点，
则以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
则，，，，
设，，，
，，
，
当时，有最小值.
故答案为：
根据题意建立平面直角坐标系，设出，的坐标，利用坐标表示向量数量积，由此求出最小值．
本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算，属于中档题．
17．【答案】解：设圆柱的底面半径为，则侧面展开图是一个长为，宽为4的矩形，
依题意，即，
所以该圆柱的体积为：
【解析】利用母线与侧面展开图的对角线成60°角，求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式可求出结果．
本题主要考查圆柱的结构特征，圆柱体积的计算等知识，属于基础题．
18．【答案】解：（1）由已知，则，解得.
（2）当时，
【解析】（1）利用复数的加法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数的等式，即可求得实数的值；
（2）当时，利用复数的除法可求得复数
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
19．【答案】解：（1）因为，，所以，
又，所以，即，所以，
设与夹角为，则，又，
所以，即与夹角的正弦值为；
（2）设，因为，则，
又，所以，解得
或，所以或.
【解析】（1）首先求出，再根据数量积的运算律求出，设与夹角为，利用夹角公式求出，即可求出；
（2）设，根据向量模的坐标表示及得到方程组，解得即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
20．【答案】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由，，
可得：，
又，
，即，
又，
的周长的范围为.
【解析】（1）由正弦定理把已知等式边化角，再由，得；
（2）由余弦定理及重要不等式得，利用两边之和大于第三边可得，即可得解的周长的范围．
本题考查三角形的解法，正弦定理、余弦定理、重要不等式以及三角形内角和定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
21．【答案】解：（1）设圆锥的母线长为，底面的直径为，所以，
因为的面积为48，所以，解得，
由勾股定理，可得母线，
由圆锥的表面积公式有：；
（2）如图所示，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为，
则于，（其中为球的半径），
则，可得即，解得cm，
所以球的体积cm3，圆锥的体积cm3，
圆锥体剩余的空间体积为cm3
【解析】（1）设圆锥的母线长为，底面的直径为，由的面积为48，求得，结合圆锥的表面积，即可求解；
（2）作出圆锥的轴截面，设球心为，根据，求得cm，利用体积公式求得球和圆锥的体积，即可求解．
本题考查了圆锥的表面积和球的半径计算，属于中档题．
22．【答案】解：（1）在中，且，，由余弦定理得，解得，（负根舍去），故
以为原点，建立平面直角坐标系，易知，，
如图所示：
设，由两点间距离公式得，解得，，（负根舍去），
故，由中点坐标公式得，，
故，，设与的夹角为，
故
（3）易知由于边上的中点为，边上的中点为，而是两条中线的交点，故是的重心，所以，
设，，，
由于在直线上，所以，即，
而，，所以，，
故得，
所以，，
故得；
所以上下两部分的面积之比为，
因为，所以上下两部分的面积之比的取值范围是.
【解析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标求法处理即可；
（3）设出线段的比例关系，用向量共线的条件合理转化，消去变量求范围即可．
本题考查的知识点：平面向量与解三角形，基本不等式的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．