2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县八年级（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．70°B．40°C．40°或70°D．100°
3．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．周长相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个钝角三角形全等
C．周长相等的两个等腰三角形全等
D．周长相等的两个等边三角形全等
4．（3分）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，2B．32，42，52C．5，12，13D．6，6，6
5．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
6．（3分）如图所示，三个居民小区分别座落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（ ）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三个内角平分线的交点
C．△ABC三边的垂直平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
7．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A＝54°，∠C'＝26°，则∠B等于（ ）
A．36°B．154°C．80°D．100°
8．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上的一点，将△AEB沿BE所在的直线折叠，使点A落在BD上的点G处，则AE的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝60，大正方形的面积为169．则小正方形的边长为（ ）
A．7B．13C．10D．17
11．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠CAD＝∠C，若AB＝5，AD＝2，则BC的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
12．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6cmB．8cmC．9cmD．10cm
二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分.不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上）
13．（4分）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝ ．
14．（4分）若一个等腰三角形的两边长分别为3cm和1cm，则这个等腰三角形周长为 cm．
15．（4分）一个三角形的三边长分别为6cm、8cm、10cm，则最大边上的中线长为 cm．
16．（4分）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为 ．
18．（4分）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 个．
19．（4分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝ ．
三、解答题（本大题共8题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在直线L上求作一点Q使QB+QC的值最小，此时（QB+QC）2＝ ．
（3）△ABC的面积是 ．
22．（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥BF，EC∥FD，AB＝CD．求证：EC＝FD．
23．（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．求风筝的垂直高度CE．
24．（10分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD．
求证：（1）BC＝AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
25．（10分）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）在图①中，作出该图形的对称轴l；
（2）在图②中，作出点P的对称点P'．
26．（12分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）试说明AD垂直平分EF；
（2）若AB＝8，AC＝6，S△ABC＝28，求DE的长．
27．（12分）构造模型问题：
问题背景：如图1，P是等边△ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2．
小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成这个证明；
（1）迁移应用：如图2，P是等边△ABC内一点，且PC2+PB2＝PA2；求∠BPC的度数；
（2）拓展提升：如图3，在等腰直角△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若PC＝6，则△APC的面积是 （不必证明）．
28．（14分）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“形似分割线”．
理解概念：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中的“形似三角形”（写出两对即可）．
（2）概念应用：如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的形似分割线．
（3）在△ABC中，若∠A＝48°，CD是△ABC的形似分割线，直接写出∠ACB的度数．
2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2．【分析】已知给出了等腰三角形的底角等于40°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形的底角等于40°，
∴顶角等于180°﹣40°×2＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题．
3．【分析】根据全等三角形的判定方法即可确定．
【解答】解：周长相等的两个直角三角形不一定全等，
故A选项不符合题意；
周长相等的两个钝角三角形不一定全等，
故B选项不符合题意；
周长相等的两个等腰三角形不一定全等，
故C选项不符合题意；
周长相等的两个等边三角形，三边对应相等，
根据SSS可证这两个等边三角形全等，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．【分析】根据勾股数的定义：两数的平方和等于一个数的平方，逐项验证即可得到答案．
【解答】解：A、12＝1，22＝4，22＝4，1+4≠4，根据勾股数的定义，这组数不是勾股数，不符合题意；
B、（32）2＝81，（42）2＝256，（52）2＝625，81+256≠625，根据勾股数的定义，这组数不是勾股数，不符合题意；
C、由52＝25，122＝144，132＝169得25+144＝169，根据勾股数的定义，这组数是勾股数，符合题意；
D、62＝36，62＝36，62＝36，36+36≠36，根据勾股数的定义，该选项不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查勾股数定义，根据定义逐项验证是解决问题的关键．
5．【分析】根据全等三角形的判定可得答案．
【解答】解：由作图可知，OC＝O'C'＝OD＝O'D'，CD＝C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS）．
故答案为：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定以及作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
6．【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断．
【解答】解：∵供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，
∴点P为△ABC三边的垂直平分线的交点．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了线段垂直平分线的性质．
7．【分析】根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠C＝∠C′＝26°，
在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣54°﹣26°＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
8．【分析】因为BC＝PB+PC，根据已知PA+PB＝BC，所以PA＝PC，根据线段中垂线的性质可知：P在AC的中垂线上，可以作判断．
【解答】解：∵PA+PB＝BC，BC＝PB+PC，
∴PA＝PC，
∴P在AC的中垂线上，
作AC的中垂线，交BC于点P，则PA＝PC，
∵BC＝PB+PC，
∴PA+PB＝BC，
故选：B．
【点评】本题是作图﹣复杂作图，考查了线段中垂线的作法，明确线段垂直平分线的性质是关键．
9．【分析】设AE＝x，则ED＝8﹣x，由翻折的性质得：AE＝GE＝x，BG＝AB＝6，则DG＝4，在Rt△EGD中，由勾股定理列方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD＝＝10，
设AE＝x，则ED＝8﹣x，
由翻折的性质得：AE＝GE＝x，BG＝AB＝6，∠EGD＝∠A＝90°，
∴GD＝10＝6＝4，
在Rt△EGD中，由勾股定理得：
x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AE＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．
10．【分析】勾股定理得：a2+b2＝169，又（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝169﹣2×60＝49，由此即可求出a﹣b＝7（a＞b），因此小正方形的边长为7．
【解答】解：由题意知小正方形的边长是a﹣b，由勾股定理得：a2+b2＝169，
∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝169﹣2×60＝49，
∴a﹣b＝7（a＞b），
∴小正方形的边长为7．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．【分析】延长AD交BC于点E，如图，证明△ABD≌△EBD，得到BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，可得AE＝4，由∠CAD＝∠C可得EC＝EA＝4，进而可得答案．
【解答】解：延长AD交BC于点E，如图，
∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，
∴AE＝4，
∵∠CAD＝∠C，
∴EC＝EA＝4，
∴BC＝BE+EC＝9；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，正确添加辅助线、证明△ABD≌△EBD是解题的关键．
12．【分析】根据垂直平分线的性质可得AM＝CM，即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，根据面积求出AD的长，即可解决问题．
【解答】解：连接AM，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，
∴AM＝CM，
∴CM+DM＝DM+AM，
即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝2cm，
∵等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，
∴AD＝8cm，
∴△CDM周长的最小值为AD+CD＝10cm，
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，将CM+MD转化为AM+DM是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分.不需写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上）
13．【分析】根据全等三角形对应边相等求出x、y，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴x＝6，y＝5，
∴x+y＝6+5＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键．
14．【分析】分3cm是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①3cm是腰长时，三边分别为3cm、3cm、1cm，
∵3+1＞3，
∴能组成三角形；
∴周长＝3+3+1＝7cm；
②3cm是底边时，三边分别为3cm、1cm、1cm，
∵1+1＜3，
∴不能组成三角形，
综上，这个等腰三角形的周长为7cm．
故答案为：7．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
15．【分析】首先根据勾股定理的逆定理可判定此三角形是直角三角形，则最大边上的中线即为斜边上的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而得出结果．
【解答】解：∵62+82＝100＝102，
∴三边长分别为6cm、8cm、10cm的三角形是直角三角形，最大边是斜边为10cm．
∴最大边上的中线长为5cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理及直角三角形的性质．
16．【分析】直接利用全等图形的性质得出∠1＝∠DEC，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：△ACB≌△ECD，
则∠1＝∠DEC，
∵∠2+∠DEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
17．【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，然后即可求得结论．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN．
∵BM+CN＝9
∴MN＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME，△CNE是等腰三角形．
18．【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．
【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形．
故在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
19．【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2，进一步得BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，再根据AD2＝AO2+DO2，BC2＝OC2+OB2，最后求得AD2+CB2＝136．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，
∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，
∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，
∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；
故答案为：136．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
三、解答题（本大题共8题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）连接BC1交直线l于点Q，连接CQ，点Q即为所求；
（3）利于割补法计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，点Q即为所求．此时（QB+QC）2＝C1B2＝32+42＝25．
故答案为：25；
（3）△ABC的面积＝3×4﹣×3×2﹣×1×4﹣×2×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
22．【分析】由平行线的性质得∠A＝∠FBD，∠ACE＝∠D，再证AC＝BD，然后证△AEC≌△BFD（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：∵EA∥BF，EC∥FD，
∴∠A＝∠FBD，∠ACE＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴EC＝FD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
23．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．
【解答】解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
24．【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC＝BD，AB＝BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC＝AD，
（2）根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB＝∠DBA，从而证出OA＝OB，△OAB是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC＝AD，
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA，
∴OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．
25．【分析】（1）连接两组对应点，进而交点连接即可；
（2）延长对应边，进而交点连接即可．
【解答】解：
（1）如图①：
（2）如图②．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．【分析】（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再由Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE＝AF，从而证明结论；
（2）由S+＝28，代入计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵DE＝DF，
∴S+＝28，
∵AB+AC＝14，
∴DE＝4．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
27．【分析】问题背景：将△PAB绕点A逆时针旋转60°，得到△P′AC，连接PP′，则△PAP′是等边三角形，得PP′＝PA，∠PP′A＝60°，再证∠PP′C＝90°，得PC2＝PP′2+P′C2，即可解决问题；
（1）迁移应用：把△PBC绕点B逆时针旋转60°，得到△P′BA，连接PP′，则△PBP'是等边三角形，得∠BP'P＝60°，PP'＝BP，再由勾股定理的逆定理得△APP'是直角三角形，∠AP'P＝90°，即可解决问题；
（2）拓展提升：过点B作BM⊥BP交PC的延长线于点M，连接AM，证△BPM为等腰直角三角形，得BP＝BM，∠BMP＝45°，再证△PBC≌△MBA（SAS），得PC＝MA，∠BPC＝∠BMA＝45°，则∠AMP＝∠BMP+∠BMA＝90°，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【解答】问题背景：
证明：如图1，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，得到△P′AC，连接PP′，
则AP＝AP′，∠PAP′＝60°，
∴△PAP′是等边三角形，
∴PP′＝PA，∠PP′A＝60°，
由旋转的性质得：∠APB＝∠AP′C＝30°，PB＝P′C，
∴∠PP′C＝∠PP′A+∠AP′C＝60°+30°＝90°，
∴PC2＝PP′2+P′C2，
∵PP′＝PA，P′C＝PB，
∴PA2+PB2＝PC2；
（1）迁移应用：
解：如图2，把△PBC绕点B逆时针旋转60°，得到△P′BA，连接PP′，
由旋转的性质得：BP＝BP'，∠PBP'＝60°，PC＝P'A，∠BPC＝∠BP'A，
∴△PBP'是等边三角形，
∴∠BP'P＝60°，PP'＝BP，
∵PC2+PB2＝PA2，
∴P'A2+P'P2＝PA2，
∴△APP'是直角三角形，∠AP'P＝90°，
∴∠BPC＝∠BP'A＝∠AP′P+∠BP′P＝90°+60°＝150°；
（2）拓展提升：
解：如图3，过点B作BM⊥BP交PC的延长线于点M，连接AM，
则∠PBM＝90°，
∵∠BPC＝45°，
∴△BPM为等腰直角三角形，
∴BP＝BM，∠BMP＝45°，
∵∠MBA+∠MBC＝∠ABC＝90°，∠PBM＝∠PBC+∠MBC＝90°，
∴∠PBC＝∠MBA，
在△PBC和△MBA中，
，
∴△PBC≌△MBA（SAS），
∴PC＝MA，∠BPC＝∠BMA＝45°，
∴∠AMP＝∠BMP+∠BMA＝45°+45°＝90°，
∴S△APC＝PC×MA＝PC2＝×62＝18，
故答案为：18．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题目．
28．【分析】（1）△ACD，△BCD和△ABC均符合三角对应相等；
（2）通过计算得出∠ACB＝80°，从而∠ACD＝∠BCD＝40°，进一步得出结果；
（3）当△ACD是等腰三角形时，分为∠A是顶角和底角两种情形；当△BCD是等腰三角形时，∠BCD是顶角和底角两种情形．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝∠DC＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
同理可得，
△CBD∽△ABC；
（2）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝×80°＝40°，
∴∠A＝∠ACD，∠BCD＝∠A，∠BDC＝∠ACB，
∴AD＝CD，△BCD和△ABC是“形似三角形”；
∴CD是△ABC的“形似三角形”；
（3）解：如图3.1，
∠BCD＝∠A＝48°，AC＝AD，
则∠ACD＝∠ADC＝＝66°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝66°+48°＝114°，
如图3.2，
当∠ACD＝∠A＝∠BCD＝48°时，
则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°，
如图3，
当∠ACD＝∠B＝∠ACD时，
由∠A+∠B+∠ACB＝180°得，
48°+3∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝44°，
∴∠ACB＝2∠ACD＝88°，
如图3.4，
当∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠BDC时，
设∠ACD＝∠B＝α，
则∠BCD＝∠BDC＝∠A+∠ACD＝α+48°，
由∠B+∠BCD+∠BDC＝180°得，
α+2（α+48°）＝180°，
∴α＝28°，
∴∠ACB＝2α+48°＝104°，
综上所述：∠ACB＝114°或96°或88°或104°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．