2023-2024学年山东省淄博市周村二中九年级（上）段考数学试卷（12月份）（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市周村二中九年级（上）段考数学试卷（12月份）（五四学制），共24页。

A．B．
C．D．
2．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠CBE＝70°（ ）
A．110°B．70°C．140°D．160°
3．（4分）如图，A1B1是线段AB在投影面P上的正投影，AB＝20cm，∠ABB1＝70°，则投影A1B1的长为（ ）
A．20sin70°cmB．20cs70°cm
C．20tan70°cmD．
4．（4分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB垂直CD于点E，BC，AD，则下列结论不一定的是（ ）
A．AE＝BEB．CE＝OEC．AC＝BCD．AD＝BD
5．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，则∠ABD的大小为（ ）
A．68°B．58°C．48°D．21°
6．（4分）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°（ ）
A．160°B．164°C．162°D．170°
7．（4分）如图，AB，CD是⊙O的弦，CD相交于点E，已知∠E＝30°，则所对的圆心角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
8．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，则镜面半径是（ ）
A．24厘米B．26厘米C．28厘米D．30厘米
9．（4分）如图，在⊙O中，AB为直径，四边形CDEF是正方形，连接BD，OF＝1，则BD＝（ ）
A．B．C．13D．
10．（4分）已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5（ ）
A．6或B．6或7C．6或D．7或9
11．（4分）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，点D是半圆上的动点（不与点A，B，C重合），点D从点A出发向点B运动．过点D作DE⊥AB、DF⊥OC，分别取DE和DF的中点M，N，连接MN．若AB＝10（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．等于5D．等于2.5
12．（4分）如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，Q为弦AP上
一点，且AQ＝2PQ．若点A的坐标为（﹣6，0），则CQ的最小值为（ ）
A．3﹣3B．2﹣4C．6﹣4D．6﹣2
二．填空题（每题4分，共计20分）
13．（4分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AD∥OC，则∠AOD＝ ．
14．（4分）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，则BC长等于 ．
15．（4分）在半径为1的⊙O中，弦AB＝，AC＝ ．
16．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是 ．
17．（4分）某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：
为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为 元．
三．解答题
18．（12分）计算：
（1）2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
19．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D是，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若AC＝4，求⊙O的直径．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：点D是边BC的中点．
（2）记的度数为α，∠C的度数为β．探究α与β的数量关系．
21．（10分）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
22．（12分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
23．（14分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2
24．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点PA的最小值．
2023-2024学年山东省淄博市周村二中九年级（上）段考数学试卷（12月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（每题4分，共计48分）
1．【分析】根据简单几何体的三视图逐个判断即可．
【解答】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，故此选项不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图是三角形，故此选项不符合题意；
C．长方体的三视图都是矩形、宽不同；
D．球的三视图都是圆形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
2．【分析】利用圆内接四边形的性质即可．证明∠ADC＝∠CBE即可得到答案．
【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE＝70°．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可
3．【分析】如图，过点A作AH⊥BB1于点H，则四边形AHB1A1是矩形，解直角三角形求出AH，可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BB1于点H，则四边形AHB1A4是矩形，
∴AH＝A1B1，
在Rt△ABH中，AH＝AB•sin70°＝20•sin70°（cm），
∴A5B1＝AH＝20sin70°（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
4．【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB垂直CD于点E，
∴AE＝BE，弧AC＝弧BC，
∴AC＝BC，AD＝BD，
而CE＝OE不一定成立，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
5．【分析】连接AD，利用圆周角定理求解．
【解答】解：连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BCD＝∠BAD＝42°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣42°＝48°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理解决问题．
6．【分析】求出∠BCD的度数，根据圆内接四边形的对角互补得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝82°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠DCE＝82°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝98°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝82°，
∴∠BOD＝2∠A＝164°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的性质和圆周角定理是解此题的关键．
7．【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OA＝OC，∠AOC＝100°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠E＝30°，
∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，
∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，
∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是正确解答的前提．
8．【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，则点C，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，AC＝，
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）7，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．
9．【分析】连接OD，利用勾股定理求出OD，再利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：连接DO.
∵CO＝3，OF＝1，
∴CF＝5，
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠DCO＝90°，CD＝CF＝4，
∴OD＝＝＝5，
∴OB＝OD＝2，
∴CB＝CO+OB＝8，
∴BD＝＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查圆的认识，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得．
【解答】解：如图，
①若CD＝8，
则CF＝CD＝4，
∵OC＝OA＝2，
∴OF＝3，
∵EF＝1，
∴OE＝2，
则AE＝＝，
∴AB＝2AE＝5；
②若AB＝8，
则AE＝AB＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OE＝3，
∵EF＝1，
∴OF＝3，
则CF＝3，
∴CD＝2CF＝4；
综上，另一弦长为6或2，
故选：C．
【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
11．【分析】如图，连接EF，OD．证明四边形DEOF是矩形，推出EF＝OD＝5，再利用三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：如图，连接EF．
∵OC⊥AB，DE⊥OADF⊥OC，
∴∠FOE＝∠DEO＝∠DFO＝90°，
∴四边形OEDF是矩形，
∴EF＝OD＝AB＝7，
∵DM＝EN，DN＝FN，
∴MN＝EF＝，
故选：D．
【点评】本题考查圆的认识，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．【分析】连接PO，过Q作QM∥OP，交AO于M，以M为圆心，MA为半径作圆，连接MC交⊙M于Q′，得到AM：AO＝AQ：AP，求出AM的长，推出MQ＝AM＝4，由勾股定理求出CQ′的长即可．
【解答】解：连接PO，过Q作QM∥OP，以M为圆心，连接MC交⊙M于Q′，
∴AM：AO＝AQ：AP，
∵AQ＝2PQ，
∴AQ：AP＝2：7，
∵D的坐标是（0，﹣6），
∴OA＝OD＝7，
∴AM＝AO＝，
∵OA＝OP，
∴∠MAQ＝∠P，
∵QM∥PO，
∴∠MQA＝∠P，
∴∠MAQ＝∠MQA，
∴MQ＝MA＝4，
∴Q在⊙M上，
∴当Q与Q′重合时，CQ最小，
∵OM＝AO﹣AM＝3﹣3＝1，OC＝3，
∴MC＝＝＝2，
∴CQ′＝CM﹣MQ′＝2﹣4，
∴CQ的最小值是2﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，关键是作出辅助圆，当Q与Q′重合时，CQ最小．
二．填空题（每题4分，共计20分）
13．【分析】先根据题意求出∠AOC＝50°，再利用AD∥OC，得到∠DAO＝∠AOC＝50°，再结合三角形的内角和定理即可求出∠AOD＝80°．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠BOC＝130°，
∴∠AOC＝50°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠AOC＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠ADO﹣∠DAO＝180°﹣50°﹣50°＝80°
故答案为：80°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠A的度数，继而求得∠ABC＝30°，则可求得BC的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝2，
∴BC＝AC•tan60°＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握三角函数的定义，属于中考常考题型．
15．【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．
【解答】解：有两种情况：
①如图所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，
∴∠OEA＝∠OFA＝90°，
由垂径定理得：AE＝BE＝，AF＝CF＝，
cs∠OAE＝＝，cs∠OAF＝＝，
∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，
∴∠BAC＝30°+45°＝75°；
②如图所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，
∴∠OEA＝∠OFA＝90°，
由垂径定理得：AE＝BE＝，AF＝CF＝，
cs∠OAE＝＝，cs∠OAF＝＝，
∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，
∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：75°或15°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．此题比较好，但是一道比较容易出错的题目．
16．【分析】由主视图、俯视图得到三棱柱的左视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，从而可得结果．
【解答】解：由题意得，左视图为以底面高为一边，
其中底面高为一边长为，以棱柱高为另一边长为6，
所以左视图的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图，掌握三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”是关键．
17．【分析】根据题中信息，进行计算比对即可得出结论．
【解答】解：设定价为x元时，利润为y元，
当x＝100时，y＝（100﹣70）×80＝2400．
同理可求得：x＝110，120，140，y＝4000，6000，4800
比较可知当x＝130元时利润最大．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，难度一般．
三．解答题
18．【分析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×
＝﹣+
＝；
（2）原式＝﹣7+2×﹣++（）6
＝﹣1++5
＝2+．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
19．【分析】如图，连接OF．由垂径定理得到DE＝EF，，推出，得到DF＝AC＝4，因此EF＝DF＝2，设OA＝OF＝x，由勾股定理，垂径定理得到，求出x，即可得到圆的直径的长．
【解答】解：如图，连接OF，
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，，
∵点D是弧AC的中点，
，
∴，
∴DF＝AC＝4，
∴EF＝DF＝2，
设 OA＝OF＝x，
∵OF2＝OE2+EF7，
∴．
∴x＝4，
∴⊙O的直径AB＝2x＝7．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆心角、弧、弦的关系得到DF＝AC，由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．
20．【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质即可得出BD＝CD即可；
（2）根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，点D在圆上，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
即点D是BC的中点；
（2）解：β﹣α＝45°；
如图，连接OE，
∵的度数为α，
∴∠AOE＝α，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠OAE＝45°﹣α，
∵∠CAD+∠C＝90°，
∴45°﹣α+β＝90°
即β﹣α＝45°．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余是正确解答的前提．
21．【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．
（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x7+mx+m2﹣3得3＝4+2m+m8﹣3，
解得m1＝8，m2＝﹣3，
又∵m＞3，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+4＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有4个交点．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
22．【分析】（1）把A（m，4）代入反比例函数解析式求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D，由S△OBP＝2S△OAC得到，即，解得PD＝2，即可求得点P的纵坐标为2或﹣2，进一步求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数 ，
∴，
∴m＝1，
∴A（8，4），
又∵点A（1，3），3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+5；
（2）对于y＝x+3，当y＝0时，
∴OB＝2，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D，
∵S△OBP＝2S△OAC，
∴，即，
解得PD＝3，
∴点P的纵坐标为2或﹣2，
将y＝3或﹣2代入 得x＝4或﹣2，
∴点P（2，8）或（﹣2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
23．【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；
（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝30°，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴BC＝BD，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．
24．【分析】（1）根据对称轴x＝3，AB＝4，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当∠DAM＝90°时，求出直线AM的解析式为y＝﹣x+1，解方程组
，即可得到点M的坐标；②当∠ADM＝90°时，求出直线DM的解析式为y＝﹣x+5，解方程组
，即可得到点M的坐标；
（3）在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，证得，又∠PBF﹣∠ABP，得到△PBF∽△ABP，推出PF＝PA，进而得到当点C、P、F三点共线时，PC+PA的值最小，即为线段CF的长，利用勾股定理求出CF即可．
【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴x＝3，AB＝4，
∴A（8，0），0），
将A（8，0）代入直线y＝kx﹣1，
解得k＝2，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
将A（1，5），0）代入y＝ax2+bx+6，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+5；
（2）存在点M，
∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴x＝8与x轴交于点E，
∴当x＝3时，y＝x﹣1＝4，
∴D（3，2），
①当∠DAM＝90°时，
设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，将点A坐标代入，
得﹣7+c＝0，
解得c＝1，
∴直线AM的解析式为y＝﹣x+2，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为（4，﹣3）；
②当∠ADM＝90°时，
设直线DM的解析式为y＝﹣x+d，将D（3，
得﹣3+d＝2，
解得d＝5，
∴直线DM的解析式为y＝﹣x+7，
解方程组，解得或，
∴点M的坐标为（3，5）或（5，
综上，点M的坐标为（7，5）或（5；
（3）如图，在AB上取点F，连接CF，
∵PB＝5，
∴，
∵，
∴，
又∵∠PBF＝∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
∴，即PF＝，
∴PC+PA＝PC+PF≥CF，
∴当点C、P、F三点共线时 PA的值最小，
∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣2＝4，
∴CF＝，
∴PC+PA的最小值为．
【点评】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
定价（元）
100
110
120
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销量（个）
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