2023-2024学年山东省泰安市新泰市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省泰安市新泰市九年级（上）期中数学试卷（五四学制），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）tan60°的值等于（ ）
A．B．C．3D．
2．（4分）若点（2，3）是反比例函数图象上一点（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，﹣2）C．（1，﹣6）D．（﹣1，﹣6）
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，下列结论正确的是（ ）
A．sinC＝B．sinC＝C．sinC＝D．sinC＝
4．（4分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）
B．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
C．当x取0和2时，所得到的y的值相同
D．当x＝1时，y有最大值是1
5．（4分）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜0＜x2＜x3，下列结论中正确的是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3
6．（4分）如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（2，t），连接OP，下列结论错误的是（ ）
A．t＝3
B．k＝1
C．△OAP 的面积是3
D．点B（m，n）在y＝（x＞0）上，当m＞2时，n＞t
7．（4分）如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟（ ）米
A．600•tan31°B．
C．600•sin31°D．
8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b（a≠0）（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）函数y＝﹣2x，y＝，y＝﹣x2的共同性质是（ ）
A．它们的图象都经过原点
B．它们的图象都不经过第二象限
C．在x＞0的条件下，y都随x的增大而增大
D．在x＞0的条件下，y都随x的增大而减小
10．（4分）如图，一辆小车沿着坡度为i＝1：的斜坡向上行驶了100米（ ）
A．50米B．50米C．50米D．100米
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，sinB＝，则AC的长为（ ）
A．3B．C．D．4
12．（4分）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“关联点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（4，10），Q2（﹣2，﹣4）都是点P1的“关联点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“关联点”，则点A的坐标为（0，2）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P的“关联点”；其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（每小题4分，共24分，只要求填最后结果）
13．（4分）若csA＝，则锐角∠A＝ ．
14．（4分）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa mL．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，，那么AD＝ ．
16．（4分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，垂足为B，点C为y轴上的一点，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是 ．
17．（4分）某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，该种商品的销售单价应降 元．
18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 ．
三、解答题（本题共7个小题，共78分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（9分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AC＝5，∠A＝30°．
①求BD和AD的长；
②求tanC的值．
20．（10分）求二次函数y＝x2﹣2x﹣3在0≤x≤3范围内的最小值和最大值．
21．（10分）在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔AB．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的C处测得电视发射塔顶A的仰角为45°，后沿地平线向山脚方向行走20米到达D处，如图，若电视发射塔的高度AB为60米，求小山的铅直高度（精确到1米）．（参考数据：，）
22．（10分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于点A（1，3），B（m，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）根据图象，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
23．（12分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，，从A处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝ax2+bx+c（x＞0），已知水流的最高点到OA的水平距离是，最高点离水面是．
（1）求二次函数表达式；
（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
24．（13分）某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决
构建模型
（1）当m＝10时，设矩形的长和宽分别为x，y，则xy＝4，2（x+y），满足要求的（x，y）可以看成反比例函数，交点坐标为 ，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的；
问题探究
（2）根据（1）的结论，当xy＝4，2（x+y），满足要求的（x，y），可以看成反比例函数 的交点坐标，而此一次函数图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为 ；
拓展应用
（3）写出周长m的取值范围．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0）（0，﹣6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x＝1．
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，过点P作PM⊥l，垂足为M，求
2023-2024学年山东省泰安市新泰市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．
【解答】解：tan60°＝×
＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
2．【分析】将点（2，3）代入，求出k的值，再根据k＝xy对各项进行逐一检验即可．
【解答】解：∵点（2，3）是反比例函数，
∴k＝4×3＝6，
A．4×（﹣3）＝﹣6；
B．4×（﹣2）＝﹣6；
C．7×（﹣6）＝﹣6；
D．﹣7×（﹣6）＝6；
∴只有点（﹣3，﹣6）在反比例函数图象上．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．只要点在函数的图象上，则点的坐标一定满足函数的解析式．反之，只要点的坐标满足函数解析式，则点就一定在函数的图象上．
3．【分析】根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得∠C＝∠BAD，从而在Rt△BAD中，利用锐角三角函数的定义即可求出cs∠BAD＝，即可判断D．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，csC＝，
故A、B不符合题意；
在Rt△BAC中，sinC＝，
故C符合题意；
∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
在Rt△BAD中，cs∠BAD＝，
∴csC＝cs∠BAD＝，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．【分析】在y＝（x﹣1）2+1中，令x＝0得y＝2，可判定A不符合题意；由1＞0，对称轴直线x＝1可判断B不符合题意；根据当x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝2，可判定C符合题意；由y＝（x﹣1）2+1，根据函数性质可判定D不符合题意．
【解答】解：令x＝0，则y＝（0﹣2）2+1＝6，
∴二次函数y＝（x﹣1）2+7的图象与y轴的交点坐标为（0，2），
故A不符合题意；
∵二次函数y＝（x﹣7）2+1的对称轴为x＝7，开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
故B不符合题意；
当x＝0时，y＝22+1＝3，
故C符合题意；
∵二次函数y＝（x﹣1）2+5的对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x＝1时，y有最小值，
故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握抛物线与y轴交点、抛物线增减性及函数的最值等知识．
5．【分析】当x1＜0＜x2＜x3时，在反比例函数y＝的图象上将这三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）的大致位置表示出来，进而得出y的值大小关系即可．
【解答】解：如图，当x1＜0＜x2＜x3时，点（x1，y4），（x2，y2），（x6，y3）在反比例函数y＝的图象上的位置如图所示，
所以y7＜0＜y3＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据自变量的取值范围，利用图象法，在反比例函数的图象上将这三个点的大致位置确定后，再得出y值的大小是解决问题的关键．
6．【分析】由反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（2，t），可得t＝3，判断A正确；把（2，3）代入y＝kx+1k＝1，判定B正确；由反比例函数中k的几何意义可判断C正确；根据y＝的增减性可D错误．
【解答】解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（6，
∴t＝3，故A正确；
∴P（2，4），
把（2，3）代入y＝kx+2得：
2k+1＝8，
解得k＝1，故B正确；
∵PA⊥x轴，y＝，
∴△OAP 的面积是，故C正确；
当x＞0时，y＝中，
∴m＞2时，n＜3，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，求出t和k的值．
7．【分析】作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．
【解答】解：如图，作BC⊥AC．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝31°，AB＝40×15＝600（米），
sin∠BAC＝，
∴BC＝sin∠BAC•AB＝600•sin31°．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的运算是解题的关键．
8．【分析】根据二次函数的图象可以得到a＜0，b＞0，然后即可得到一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过哪几个象限．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象，可知：a＜6，
则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出a、b的正负．
9．【分析】根据题目中的函数解析式可以写出它们共同的性质，本题得以解决．
【解答】解：函数y＝﹣2x，y＝3的共同性质是有当x＞0时，y随x的增大而减小，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确它们各自的性质．
10．【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：设此时该小车上升的高度为x米，则水平前进了．
根据勾股定理可得：x2+（x）2＝1002，
解得x＝50．
即此时该小车上升的高度为50米．
故选：A．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．
11．【分析】过A作AH⊥BC，交BC延长线于H，由锐角的正弦求出AH＝3，由勾股定理即可解决问题．
【解答】解：过A作AH⊥BC，交BC延长线于H，
∵sinB＝＝，AB＝5，
∴AH＝3，
∴BH＝＝4，
∴HC＝BH﹣BC＝4﹣5＝2，
∴AC＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正弦求出AH的长，由勾股定理即可求出AC的长．
12．【分析】依据题意，由“关联点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“关联点”A为（x，x+2），从而可以求得A（0，2），进而可以判断②；设抛物线上的“关联点”为（x，x2﹣2x﹣3），从而建立方程求得解，可以判断③．
【解答】解：依据题意，由“关联点”的意义，
∵2（1+8）＝8+10，2（3﹣2）≠0﹣4，
∴点Q1（4，10）是点P3的“关联点”，Q2（﹣2，﹣6）不是点P1的“关联点”．
∴①错误．
设直线y＝x+2上的点A为（x，x+7），
∴2（x+1）＝x+2+0．
∴x＝0．
∴A（2，2）．
∴②正确．
设抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的“关联点”为（x，x2﹣4x﹣3），
∴2（x+3）＝x2﹣2x﹣7．
∴x＝5或﹣1．
∴此时满足题意的“倍增点”有（3，12），0）两个．
∴③正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解．
二、填空题（每小题4分，共24分，只要求填最后结果）
13．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵csA＝，
∴锐角∠A＝60°．
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
14．【分析】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝，
当p＝100kPa时，V＝，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
15．【分析】依据题意，在Rt△ABC中，由csC＝，AC＝10，可得BC＝6，在由BD⊥AC，从而求出CD，最后由AD＝AC﹣CD进行计算可以得解．
【解答】解：∵csC＝，AC＝10，
∴BC＝AC•csC＝10×＝6．
又BD⊥AC，
∴CD＝BC•csC＝8×＝．
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键．
16．【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB＝6，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝6，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB＝6，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣12．
故答案为﹣12．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
17．【分析】设降价x元时，则日销售可以获得利润为W，由销售问题的数量关系表示出W与x之间的关系，根据关系式的性质就可以求出结论．
【解答】解：设该种商品的销售单价应降价x元时，日销售可以获得利润为W元，
由题意，得W＝（100﹣70﹣x）（20+x）
＝﹣x2+10x+600
＝﹣（x﹣5）8+625，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝6时，W最大＝625．
故答案为：5．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，利润＝（售价﹣进价）×销量的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是解题的关键
18．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c＞n的解集，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），q）两点，
∴ax7+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3，
∴ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3，
故答案为：x＜﹣8或x＞3．
【点评】本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本题共7个小题，共78分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．【分析】（1）由BD⊥AC得到∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD＝AB＝3，再得到AD＝BD＝3；
（2）先计算出CD＝2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝BD＝5；
（2）CD＝AC﹣AD＝5﹣3，
在Rt△BCD中，tan∠C＝＝＝．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
20．【分析】使用配方法将y＝x2﹣2x﹣3改写为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则根据二次函数的性质可得当x＝h时取得最小值k（a＞0）；当x＝3时取得最大值，然后代入计算即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，
∵6≤x≤3，
∴当x＝1时，取得最小值y＝﹣4，取得最大值y＝0．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握并运用二次函数的性质以及运用配方法将二次函数改为顶点式，是本题的解题关键．
21．【分析】延长AB交直线CD于点E，设BE＝x米，则AE＝（60+x）米，在Rt△BDE中，＝＝，可得米，则CE＝（20+）米，在Rt△ACE中，可得AE＝CE，即，求出x，即可得出答案．
【解答】解：延长AB交直线CD于点E，
由题意得，CD＝20米，∠ACE＝45°，∠AEC＝90°，
设BE＝x米，则AE＝（60+x）米，
在Rt△BDE中，＝＝，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴CE＝（20+）米，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE＝45°，
∴AE＝CE，
∴，
解得．
∴小山的铅直高度约为55米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22．【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）将A（1，3）代入，
则反比例解析式为y＝，
将B（m，﹣1）代入y＝，
∴B（﹣7，﹣1），
将A与B坐标代入y＝ax+b中，得：，
解得：，
则一次函数解析式为y＝x+2；
（2）观察图象，当﹣3＜x＜2或x＞1时．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
23．【分析】（1）根据抛物线的顶点式求解即可．
（2）令y＝0得到求得抛物线与x轴正半轴的交点坐标，其横坐标就是所求．
【解答】解：（1）∵水流的最高点到OA的水平距离是，最高点离水面是，，
∴抛物线的顶点坐标为，
故设抛物线的解析式为，
∴，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的解析式为．
（2）令y＝7得到，
解得（舍去），
故水池的半径至少为8米．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数实际意义是解题的关键．
24．【分析】（1）通过观察图象直接求解即可；
（2）当x2﹣mx+4＝0时，Δ＝m2﹣16＝0，求出m的值即可；
（3）根据（2）的结论直接求解即可．
【解答】解：（1）根据图象可得，交点为（1、（4，
故答案为：（3，4），1）；
（2）∵6（x+y）＝m，
∴y＝﹣x+m，
当﹣x+m＝时，x5﹣mx+4＝0，
∴Δ＝m2﹣16＝0，
解得m＝±7，
∵反比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+，
∴m＝8，
故答案为：y＝﹣x+m，8；
（3）由（2）可得m≥7．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，数形结合是解题的关键．
25．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据抛物线的对称轴是直线x＝1，可设y＝a（x﹣1）+k，利用待定系数法即可求得答案；
（3）根据A，B坐标，得出OA＝OB＝6，在△AOB中，∠AOB＝90°，推出∠OAB＝∠OBA＝45°，又因为PC⊥x轴，PM⊥l，得出∠PCA＝∠PND＝90°，在Rt△ADC中，因为∠PCA＝90°，∠OAB＝45°，推出∠ADC＝45°，则∠PDM＝∠ADC＝45°，在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，∠PDM＝45°，则sin，得．
则，推出，设点 ，则D（t，t﹣6），所以，因为，当t＝3时，PD有最大值是 ，此时PM+PD最大，得出PM+PD的最大值为 ，当t＝3时，，则．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∵直线l与x轴交于点A（6，5），﹣6），
∴，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x﹣6；
（2）设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣h）2+k（a≠8），
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴y＝a（x﹣1）4+k，
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）∵A（6，6），﹣6），
∴OA＝OB＝6，在△AOB中，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PC⊥x轴，PM⊥l，
∴∠PCA＝∠PND＝90°，
在Rt△ADC中，∵∠PCA＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠PDM＝∠ADC＝45°，
在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，
∴sin ，
∴．
∴，
，
∴设点 ，
∴D（t，t﹣2），
∴，
∵，
∴当t＝3时，PD有最大值是 PM+PD最大，
∴PM+PD的最大值为 ，
当t＝3时，，
∴，
∴D的最大值为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形等，本题难度适中，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题关键．